【机构秘籍】小学奥数题库《计算》公式类完全平方公式-3星题（含详解）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、计算-公式类计算-完全平方公式-3星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率完全平方公式B1.熟悉完全平方公式2.能够运用完全平方公式进行计算。少考知识提要完全平方公式 完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 精选例题完全平方公式 1. 设 a，b 为有理数，且 a+b=20，设 a2+b2 的最小值为 m，ab 的最大值为 n，则 m+n= 【答案】300【分析】a2+b2=(a+b)2+(a-b)22=12202+(a-b)2，因为 (a-b)20，所以 a2+b2 最小值 m=200；ab=(a+b)2-(a-b)24=14400-(a-b)2，

2、所以 ab 的最大值 n=100，故 m+n=300 2. 若 (x+2)2+(x-3)2=13，则 (x+2)(3-x)= 【答案】6【分析】(x+2)2+(x-3)2=(x+2)2+(3-x)2=(x+2)+(3-x)2-2(x+2)(3-x)=25-2(x+2)(3-x)=13所以 2(x+2)(3-x)=12，(x+2)(3-x)=6 3. 填空： a2+b2=(a+b)2- ； a2+b2=(a-b)2+ ； a2+b2=12 + ； (a-b)2=(a+b)2- ； ab= = = 【答案】见解析【分析】 2ab； 2ab； a2+b2=12(a+b)2+(a-b)2； 4ab；

3、12(a+b)2-a2-b2，12a2+b2-(a-b)2，14(a+b)2-(a-b)2 4. 如图所示的几何图形可以表示的公式是 【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2【分析】如图，整个大正方形的面积为 (a+b)2，而四个小图形的面积之和为 a2+2ab+b2，因此验证的公式为：(a+b)2=a2+2ab+b2 5. 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于 a、b 的恒等式 【答案】见解析【分析】(a-b)2=(a+b)2-4ab 或 4ab=(a+b)2-(a-b)2 6. 计算：（1）314159262-314159253141592

4、7= ；（2）12342+87662+24688766= 【答案】（1）1；（2）100000000【分析】（1）观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设 a=31415926，原式=a2-a-1a+1=a2-a2-1=1;（2）原式=12342+87662+212348766=1234+87662=100002=100000000. 7. 计算 (20142014+2012)-20132013= 【答案】6039【分析】方法一：找规律 32+1-22=6、42+2-32=9、52+3-42=12、62+4-52=15 规律找到了，(n+1)2+(

5、n-1)-n2=3n,20142014+2012-20132013=32013=6039.方法二：原式=(2013+1)(2013+1)+2013-1-20132013=20132013+22013+1+2013-1-20132013=6039.方法三：原式=2014(2013+1)+2012-20132013=20132014+2014+2012-20132013=6039. 8. 3737+26337+6363= 【答案】10000【分析】原式=37+632=1002=10000 9. 314159262-3141592531415927= ； 12342+87662+24688766=

6、【答案】 1； 100000000【分析】观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设 a=31415926，原式=a2-a-1a+1=a2-a2-1=1;原式=12342+87662+212348766=1234+87662=100002=100000000.10. 计算：31431.4+62868.6+68.6686= 【答案】100000【分析】原式=10(31.42+231.468.6+68.62)=10(31.4+68.6)2=101002=100000本题利用到完全平方和公式 a2+2ab+b2=(a+b)211. 计算：201022009

7、2011+1= 【答案】1【分析】设 a=2009，原式=(a+1)2a(a+2)+1=a2+2a+1a2+2a+1=112. 计算： (-8a+11b)2； (-2x-3y)2【答案】见解析【分析】 原式=(11b-8a)2=121b2-176ab+64a2； 原式=(2x+3y)2=4x2+12xy+9y213. 计算： (4m+n)2； x-122； (3x-2y)2； -4y-142【答案】见解析【分析】 (4m+n)2=(4m)2+24mn+n2=16m2+8mn+n2； (x-12)2=x2-2x12+(12)2=x2-x+14； (3x-2y)2=(3x)2-23x2y+(2y)

8、2=9x2-12xy+4y2；-4y-142=-4y+142=(4y+14)2=(4y)2+24y14+142=16y2+2y+116.14. 计算： (3a2b+0.5ab2)2； (11am-13bn)2； (2x-5)(5-2x)-(2x-5)2【答案】见解析【分析】 (3a2b+0.5ab2)2=9a4b2+3a3b3+0.25a2b4； (11am-13bn)2=121a2m-286amnn+169b2n；(2x-5)(5-2x)-(2x-5)2=-(2x-5)2-(2x-5)2=-2(2x-5)2=-8x2+40x-50.15. 请设计一个几何图形，验证 (a-b)2=a2-2ab

9、+b2【答案】见解析【分析】如图整个大正方形的面积为 a2，两个小正方形的面积分别为 (a-b)2、b2，另外两个长方形的面积均为 b(a-b)，故 (a-b)2=a2-b2-2(a-b)b=a2-2ab+b2，这就是差的完全平方公式的几何意义16. 已知 a+b=3，ab=12，求下列各式的值： a2+b2； a2-ab+b2； (a-b)2【答案】 33； 45； 57【分析】a2+b2=a2+2ab+b2-2ab=(a+b)2-2ab=32-2(-12)=33;a2-ab+b2=a2+2ab+b2-3ab=(a+b)2-3ab=45;(a-b)2=a2-2ab+b2=a2+2ab+b2-

10、4ab=(a+b)2-4ab=57.17. 计算： (a+b+c)2； (a-b-c)2； (a-2b+3c)2【答案】见解析【分析】 原式=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； 原式=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc； 原式=a2+2b3+3c2-4ab+6ac-18bc18. 已知实数 a、b 满足 (a+b)2=1，(a-b)2=25，求 a2+b2+ab 的值【答案】7【分析】a2+b2=(a+b)2+(a-b)22=13，ab=(a+b)2-(a-b)24=-6，a2+b2+ab=719. 已知 a(a-1)-(a2-b)=-5，求 a2+b22-ab 的值【答案】25

11、2【分析】由条件得 a-b=5，a2+b22-ab=(a-b)22=25220. 计算： (x+2)2(x-2)2； (x+5y-9)(x-5y+9)； (a+b+c)(a-b-c)；先化简，再求值：(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1)2，其中 x=-13【答案】 x4-8x2+16； x2-25y2+90y-81； a2-b2-c2-2bc； -8【分析】(x+2)2(x-2)2=(x+2)(x-2)2=(x2-4)2=x4-8x2+16;(x+5y-9)(x-5y+9)=x2-(5y-9)2=x2-(25y2-90y+81)=x2-25y2+90y-81;原式=a+(b+

12、c)a-(b+c)=a2-(b+c)2=a2-b2-c2-2bc;(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1)2=9x2-4-5x2+5x-(4x2-4x+1)=9x-5,又 x=-13，故 原式=9x-5=9-13-5=-821. 计算：（1）(-2x+3y)2；（2）(a-2b)(2b-a)；（3）(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)；（4）(2x-y+2)(y-2x+2)【答案】（1）4x2-12xy+9y2；（2）-a2+4ab-4b2；（3）a4+a2b2+b4；（4）4-4x2+4xy-y2【分析】（1）原式=(2x-3y)2=4x2-12xy+9y2；（2）原式=-

13、(a-2b)2=-(a2-4ab+4b2)=-a2+4ab-4b2;（3）原式=(a2+b2)+ab(a2+b2)-ab=a4+a2b2+b4;（4）原式=2+(2x-y)2-(2x-y)=4-(2x-y)2=4-4x2+4xy-y2.22. 计算： (x-y)2-(x+y)(x-y)； 2x-35y-13z35y-13z+2x； (a2+ab+b2)(a2-ab+b2)【答案】 2y2-2xy； 4x2-43xz+19z2-925y2； a4+a2b2+b4【分析】(x-y)2-(x+y)(x-y)=x2-2xy+y2-(x2-y2)=2y2-2xy;2x-35y-13z35y-13z+2x

14、=2x-13z2-35y2=4x2-43xz+19z2-925y2;原式=(a2+b2)+ab(a2+b2)-ab=a4+a2b2+b4.23. 先化简后求值：(x-y)2+(x+y)(x-y)2x，其中 x=3，y=1.5计算：(2x-y+2)(y-2x+2)【答案】 1.5； 4-4x2+4xy-y2【分析】(x-y)2+(x+y)(x-y)2x=(x2-2xy+y2+x2-y2)2x=(2x2-2xy)2x=x-y.又 x=3，y=1.5，故原式 =x-y=3-1.5=1.5法 2：(x-y)2+(x+y)(x-y)2x=(x-y)2x2x=x-y=1.5.原式=2+(2x-y)2-(2

15、x-y)=4-(2x-y)2=4-4x2+4xy-y2.24. 82112+11282-811+1181+811+11818-1112.【答案】88【分析】方法一：设 x=811，则 原式=x2+1x2-x-1x1+x+1xx-2+1x188=x2+1x2-x-1xx2+1x2-x-1x188=88. 方法二：设 x=811+118，那么 x2=82112+11282+2，所以 82112+11282=x2-2而 18-1112=182+1112-2811=81182+811112-2188=(x-2)188. 这样原式转化为 x2-x-2(1+x)(x-2)188=x2-x-2x2-x-288=88.