一类无理函数最大值求法.docx

1、一类无理函数最大值求法 提出问题 求的最大值方法1.求导法.通性通法,求函数最值大多可以通过求导研究函数单调性,极值来研究。,时,所以的最大值在时取得,最大值为=4。这是解决函数最值问题最常见的方法,但求导过程以及求极值点时计算量大。方法2.三角换元把代数问题转化为三角函数最值问题,利用辅助角公式。令,则函数可化为,因为所以,当时取最大值,值为4,即时取得。方法3.数形结合+换元(1) 令，可得的关系，即所以点（）的轨迹为第一象限的椭圆。问题转化为，与椭圆相关的线性规划问题，斜率为-1的直线与椭圆在第一象限相切时截距最大，即z最大，联立直线与椭圆可得，所以即最大值为4。(2) 在（1）的基础上

2、三角换元，即利用参数方程），=所以最大值为4。(3) 令，此时（）的轨迹为第一象限的圆，令，与圆相关的线性规划问题，斜率为的直线与椭圆在第一象限相切时截距最大，即z最大，即,所以最大值为4。方法4.向量法（1） 函数可看作是向量=（，）与向量=（1,1）的数量积，即最大，因为所以只需在的正摄影数量最大时最大，将向量的始点平移到原点，终点的轨迹方程为，做一个斜率为-1的直线与椭圆在第一象限相切，切点即为的终点，设直线方程为，联立椭圆可得，所以，此时=。（2） 函数函数可看作是向量=（，）与向量=（,1）的数量积，即最大，因为，所以只需在的正摄影数量最大时最大，将向量的始点平移到原点，终点的轨迹方程为，因为=（,1）的终点也在圆上，所以，同向共线时最大，值为22=4 。方法5.柯西不等式=，凑柯西不等式形式，即16，所以函数最大值为4。