上海市格致中学2022-2023学年高一数学下学期3月月考试题（Word版附解析）.docx

1、格致中学 2022 学年度第二学期第一次测验高一年级数学试卷一、填空题：（本题共有 10 个小题，每小题 4 分，满分 40 分）1.若扇形圆心角为 135，扇形面积为3，则扇形半径为_.【答案】2 2【解析】【分析】先将角度转化为弧度，然后利用扇形面积公式列方程，由此求得扇形的半径.【详 解】依 题 意 可 知，圆 心 角 的 弧 度 数 为 34，设 扇 形 半 径 为 r，则2133,2 224Srr.故答案为：2 22.在 ABC 中，2,3,60BCACB，则A _.【答案】90【解析】【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】根据正弦定理可知 sinsinBCACAB，代入题中数据23

2、2sinsin60A，可知sin1A ，所以90A 故答案为：903.tan3，则 sincossincos_.【答案】12#0.5【解析】【分析】弦化切求解.【详解】sincostan11sincostan12.故答案为：124.已知函数34()log(2)f xx，则方程1()4fx的解 x _【答案】1【解析】【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1()4fx的 x 值，即求(4)f的值【详解】由题意得 x 值即为(4)f值，因为34()log(2)f xx，所以34(4)log(2)14f，所以1x.故答案为1x.【点睛】本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点(,

3、)x y，则反函数过点(,)y x，考查对概念的理解和基本运算求解能力.5.已知3sin()coscos()sin5，是第三象限角，则sin4_.【答案】210【解析】【分析】先利用两角和的正弦公式将条件变形得到sin ，根据角所在象限可得cos，再利用两角差的正弦公式将sin4展开计算即可.【详解】由已知3sin()coscos()sinsin()sin()sin5，3sin5，又 是第三象限角，24cos1 sin5 ，32422sinsincoscossin444525210.故答案为：210.6.已知函数 231xf xx的图像关于点 P 中心对称，则点 P 的坐标是_【答案】()1,

4、2-；【解析】【分析】由题意，对函数进行简化，可得 235211xf xxx，即可求得点 P 的坐标.【详解】235211xf xxx，函数 231xf xx的图像关于点 P 中心对称，点 P 的坐标是()1,2-.故答案为：()1,2-【点睛】本题主要考查函数的中心对称点，对于分式形式可采用分离参数法求解，属于基础题.7.已知函数 22sinsin,6f xxxxR，则 f x 的最小正周期为_【答案】【解析】【分析】利用倍角公式以及辅助角公式变形为sinyAx的形式，进而可得周期.【详解】221 cos 2cos 2cos21 cos233sinsin6222xxxxf xxx31cos2

5、 cossin 2 sincos2sin 2cos213322sin 22226xxxxxx，所以 f x 的最小正周期为 22.故答案为：.8.函数2cossin2yxx的最小值是_【答案】1【解析】【分析】化简可得2113sin24yx，根据sin x 的范围结合二次函数的性质，即可求出函数的最小值.【详解】22cossin21 sinsin2yxxxx 2113sin24x，因为，1sin1x，根据二次函数的性质可知，当sin1x 时，函数有最小值为2min1131124y.故答案为：1.9.已知0 x，0y，若2282yxmmxy恒成立，则实数m 的取值范围是_.【答案】4,2【解析】

6、【分析】先利用基本不等式求出 28yxxy的最小值，然后解不等式2min282yxmmxy即可.【详解】0 x，0y，282828yxyxxyxy，当且仅当 28yxxy，即2yx时等号成立，228mm，解得 42m.故答案为：4,2.10.已知()f x 满足()(8)f xf x，当0,8)x，4sin,0,4428,4,8x xf xxx，若函数2()()()1g xfxaf xa 在 8,8x 上恰有八个不同的零点，则实数a 的取值范围为_.【答案】(9,5)【解析】【分析】根据函数的周期性，作出函数在 8,8x 上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，

7、可得答案.【详解】由题意知()f x 满足()(8)f xf x，故()f x 是以 8 为周期的函数，结合 4sin,0,4428,4,8x xf xxx，作出函数在 8,8x 上的图象，如图示：因为2()()()1()1()(1)g xfxaf xaf xf xa，故()0g x 时，即()1f x 或()(1)f xa，则()g x在 8,8x 上 恰 有 八 个 不 同 的 零 点，即 等 价 于()f x 的 图 象 和 直 线1,(1)yya 有八个不同的交点，由图象可知，1y 和()f x 的图象有 6 个不同的交点，则(1)ya 和()f x 的图象需有 2 个不同的交点，即4

8、(1)8a，故 95a ，则实数 a 的取值范围为(9,5)，故答案为：(9,5)【点睛】方法点睛：根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解.二、选择题：（本题共有 4 个小题，每小题 4 分，满分 16 分）11.设 xR，则“2x”是“20 xx”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C 充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式，根据集合的包含关系判断充分必要性即可【详解】由“20 xx”，解得：0 x 或1x ，故“2x”是“0 x 或1x ”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查了充

9、分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题12.已知曲线12:sin 23Cyx，2:sinCyx，则下面结论正确的是（）A.把2C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 3个单位长度，得到曲线1CB.把2C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 23个单位长度，得到曲线1CC.把2C 上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 3个单位长度，得到曲线1CD.把2C 上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 23个单位长度，得到曲线1C【答案】C【解析】【分析】根

10、据函数图像的伸缩变换与平移变换的法则，即可得解【详解】已知曲线2:sinCyx，把曲线2C 上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，得到曲线sin2yx，再把曲线sin2yx向左平移 3个单位长度，得到曲线2sin 2sin 233yxx，即曲线1C.故选：C.13.下列函数中，最小正周期为 2，且在(,0)4上单调递减的是（）A.)sin(42yxB.)cos(42yxC.tan(2)yxD.|sin(2)|yx【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详 解】csin(4)os42yxx，函 数 的 最 小 正 周 期 为

11、 2；当)(,04x 时，4(,0)x，则此函数在区间(,0)4上单调递增，故 A 错误；scos(4)in42yxx，函数的最小正周期为 2；当)(,04x 时，4(,0)x，则此函数在区间(,48)上是单调递减，在区间()8,0上是单调递增，故 B 错误；tan(2)tan2yxx，函数的最小正周期为 2；当)(,04x 时，2(,0)2x，则此函数在区间(,0)4上单调递增，故 C 错误；|sin(2)|sin2|sin2|yxxx，因为sin2yx的最小正周期为 ，则此函数的最小正周期为 2；当)(,04x 时，2(,0)2x，|sin 2|sin 2yxx，则此函数在区间(,0)4上

12、单调递减，故 D 正确.故选：D.14.已知函数2sin03yx图象与函数2sin06yx图象相邻的三个交点依次为 A，B，C，且 ABC 是钝角三角形，则 的取值范围是（）A.2,4B.,4C.0,4D.20,4【答案】D【解析】【分析】画出两函数图象，求出 A纵坐标为 2，利用钝角三角形得到不等关系，求出答案.【详解】作出函数2sin03yx和2sin06yx的图象，如图所示由图可知2AC取 AC 的中点 D，连接 BD，则 BDAC因为 ABC 是钝角三角形，所以4ABD，则 tan1ADABDBD，即 ADBD由2sin2sin36xx，得236xxk，k Z，即712xk，k Z，则

13、72sin2sin23123yxk，即 A 的纵坐标为 2，故2 2BD 因为 ADBD，所以 2 2，所以24 故选：D三、解答题：（本题共有 4 大题，满分 44 分.解题时要有必要的解题步骤）15.已知sin()cos 2()3costan(2)f.（1）化简()f ；（2）已知162f ，求cos 23 的值.【答案】（1）()cosf （2）12【解析】【分析】（1）直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系化简；（2）直接利用倍角公式求解.【小问 1 详解】sin()cossinsinsinsin2()cossin3sintansincostan()co2sf；【小问 2 详解】由（1

14、）得1cos662f ，1cos62，2211cos 22cos1213226 .16.已知函数 2sin 26f xx（1）求函数 f x 的单调递减区间；（2）求 f x 在区间,4 4上的最值【答案】（1）5,Z36kkk（2）maxmin3,2f xf x【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可；（2）先求出26x 的范围，再根据正弦函数的性质求解即可.小问 1 详解】因为 2sin 26f xx，令 32 22 262kxk，Zk，解得 536kxk，Zk，所以 f x 的单调递减区间为 5,Z36kkk.【小问 2 详解】令 26xt，由,4 4x 知2

15、,33t，所以要求 f x 在区间,4 4上的最值，即求2sinyt在2,33t 上的最值，当2t 时，min2sin22y，当3t 时，max2sin33y，所以 maxmin3,2f xf x .17.如图，,A B 是某海域位于南北方向相距15 13海里两个观测点，现位于 A 点北偏东 45，B 点南偏东 30的 C 处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于 B 点正西方向且与 B 点相距 50 海里的 D 处的救援船立即前往营救，其航行速度为 40 海里/时.（1）求,B C 两点间的距离；（2）该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达 C 处需要多长时间？（参考

16、数据：cos21.790.93，角度精确到 0.01）【答案】（1）30 海里（2）南偏东68.21；1.75 小时【解析】【分析】（1）求得ACB度数，根据正弦定理即可求得答案；（2）确定DBC的度数，由余弦定理即可求得CD 的长，即可求得救援时间，利用余弦定理求出cosBDC的值，即可求得应该沿南偏东多少度的方向航行.【小问 1 详解】依题意得45,30BACABC，15 13AB，所以)180(180(4530)105ACBBACABC，在 ABC 中，由正弦定理得15(13),sinsinsin 45sin105BCABBCBACACB,232162sin105sin75sin(452

17、222)430,故215(13)230624BC（海里），所以求,B C 两点间的距离为 30 海里.【小问 2 详解】依题意得9030120,50DBCDBAABCBD，在DBC中，由余弦定理得22250302 50 30 cos1204900CD，所以70CD（海里），所以救搜船到达 C 处需要的时间为70401.75小时，在DBC中，由余弦定理得 22222250703013cos0.9322 50 7014BDDCBCBDCBD DC,因为090,cos21.790.93BDC ，所以21.79BDC，所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东9021.7968.2118.已知 A、B

18、是函数 yf x，,xa b图像的两个端点，,M x y 是 f x 上任意一点，过,M x y 作 MNx轴交直线 AB 于 N，若不等式 MNk恒成立，则称函数 f x在,a b 上“k 阶段性近似”.（1）若 1f xxx，1,22x，证明：f x 在 1,22上“12 阶段性近似”；（2）若 2f xx在1,2上“k 阶段性近似”，求实数k 的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）94【解析】【分析】（1）根据对勾函数的图像与性质，得到 1f xxx，1,22x，满足12MN，进而得到答案.（2）由已知可得 N 和 M 的横坐标相同，根据221992244MNxxx 以及1,2x，求出

19、 MN 的范围，再由 MNk恒成立，求得实数k 的取值范围.【详解】解：（1）证明：由题意得1 5,2 2A、52,2B可知 AB 的方程为：52y，又,M x y 是 f x 上任意一点，由已知得点 N 和点 M 的横坐标相同，51522MNyxx，1,22x，又1,22x时，1xx在 1,12上单调递减，在1,2 上单调递增，152,2xx，15515122222MNxxxx，即12MN 满足 f x 在 1,22上“12 阶段性近似”；（2）由题意得 1,1A、2,4B，直线 AB 的方程是：4 11121yx 整理得2yx，22MNMNyyxx，1,2x，220 xx221992244MNxxx 又 2f xx在1,2上“k 阶段性近似”，即 MNk，94k，所以实数k 的最小值是 94.【点睛】本题考查的是函数的新定义、直线的点斜式方程以及不等式恒成立，属于中档题.