专题 利用勾股定理解决折叠问题（解析版）.docx

1、八年级下册数学第十七章 勾股定理专题 利用勾股定理解决折叠问题题型一利用勾股定理解决三角形中的折叠问题【例题1】（2021西城区校级模拟）如图，RtABC中，AB18，BC12，B90，将ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A8B6C4D10【分析】设BNx，则由折叠的性质可得DNAN18x，根据中点的定义可得BD6，在RtBND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解【解答】解：设BNx，由折叠的性质可得DNAN18x，D是BC的中点，BD6，在RtNBD中，x2+62（18x）2，解得x8即BN8故选：A【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠

2、的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强【变式1-1】如图，ABC中，C90，AC3，AB5，点D是边BC上一点，若沿将ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，则BD等于（）A2B52C3D103【分析】由勾股定理可知BC4由折叠的性质得：AEAC3，DEDC，AEDC90，设BDx，由勾股定理可得出答案【解答】解：C90，AC3，AB5，BC=AB2AC2=5232=4，设 BDx，则DC4x，由折叠可知DEDC4x，AEAC3，AEDC90，BEABAE2在 RtBDE 中，BD2BE2+DE2，x222+（4x）2，解得：x=52，即BD=52故选：B【点评】本题考查了翻折变换的

3、性质，勾股定理，主要利用了翻折前后的两个图形对应边相等，对应角相等，利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键【变式1-2】如图所示，有一块直角三角形纸片，C90，AC8cm，BC6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A1cmB2cmC3cmD4cm【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AEAB，已知AC的长，可将CE的长求出【解答】解：在RtABC中，AB=AC2+BC2=82+62=10，根据折叠的性质可知：AEAB10AC8CEAEAC2即CE的长为2故选：B【点评】此题考查翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等

4、，是解决折叠问题的突破口【变式1-3】（2021鞍山一模）如图的三角形纸片中，AB8，BC6，AC5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则AED的周长是（）A7B8C11D14【分析】根据翻折变换的性质得到DCDE，BEBC，根据已知求出AE的长，根据三角形周长公式计算即可【解答】解：由折叠的性质可知，DCDE，BEBC6，AB8，AEABBE2，AED的周长为：AD+AE+DEAC+AE7，答：AED的周长为7故选：A【点评】本题考查的是翻折变换的知识，掌握翻折变换的性质、找准对应关系是解题的关键【变式1-4】（2021秋高邮市期末）如图，在ABC中，C9

5、0，AC8cm，BC6cm，点D、E分别在AC、BC边上现将DCE沿DE翻折，使点C落在点H处连接AH，则AH长度的最小值为（）A0B2C4D6【分析】当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，根据勾股定理得到AB10cm，由折叠的性质知，BHBC6cm，于是得到结论【解答】解：当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，C90，AC8cm，BC6cm，AB10cm，由折叠的性质知，BHBC6cm，AHABBH4cm故选：C【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键【变式1-5】（2022秋秦淮区校级月考）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，

6、使点C落在BD边上的点E处若BC12，BE2，则AB2AC2的值为（）A20B22C24D26【分析】根据折叠，可得ACAE，EDCD，ADE90，根据勾股定理可得AB2AD2+BD2，AE2AD2+DE2，根据AB2AC2AB2AE2BD2DE2（BD+DE）（BDDE）BCBE，求解即可【解答】解：根据折叠，可得ACAE，EDCD，ADE90，在RtABD中，根据勾股定理，得AB2AD2+BD2，在RtAED中，根据勾股定理，得AE2AD2+DE2，AB2AC2AB2AE2BD2DE2（BD+DE）（BDDE）BCBE，BC12，BE2，AB2AC212224，故选：C【点评】本题考查了折

7、叠问题，勾股定理等，熟练掌握折叠变换是解题的关键【变式1-6】（2022天津模拟）如图，RtABC中，AB8，BC6，B90，M，N分别是边AC，AB上的两个动点将ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的三等分点处，则线段BN的长为（）A3B53C3或53D3或154【分析】由题意可知BD2或BD4，分两种情况由勾股定理可得出答案【解答】解：D为BC的三等分点，BD2或BD4，由折叠可知ANDN，AN8BN，当BD2时，在RtBDN中，DN2BD2+BN2，（8BN）24+BN2，BN=154；当BD4时，在RtBDN中，DN2BD2+BN2，（8BN）24+BN2，BN3；综上所

8、述：BN的长为3或154，故选：D【点评】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键【变式1-7】（2022平果市模拟）如图，在ABC中，AC5，BC8，C60，BD3，点D在边BC上，连接AD，如果将ABD沿AD翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线DC的距离为（）A332B4C32D52【分析】先证ACD是等边三角形，可得ADC60，由折叠的性质可得ADBADE120，BDED3，由直角三角形的性质可求解【解答】解：如图，过点E作ENBC于N，BC8，BD3，CD5，AC5，ACDC，又ACB60，ACD是等边三角形，ADC60，ADB120，将ABD沿AD翻

9、折后，点B的对应点为点E，ADBADE120，BDED3，EDC60，ENBC，DEN30，DN=12DE=32，NE=3DN=332，点E到直线DC的距离为332，故选：A【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键【变式1-8】（2023沙坪坝区校级开学）如图，在ABC中，C90，ACBC6，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF2，则BE的长为（）A6B52C322D722【分析】过F作FGAB于点G先求出AB62，BF624，则FGGB=22BF22，所以AGABBG62

10、22=42，设AEx，则根据折叠的性质得出EFx，EG42x，在RtEGF中，EG2+FG2EF2，利用勾股定理解列出（42x）2+（22）2x2，解得x=522，即求出BE【解答】解：过F作FGAB于点G，如图，C90，ACBC6，CF2，AB62，BF624，FGGB=22BF22，AGABBG6222=42，设AEx，则EFAEx，EG42x，在RtEGF中，EG2+FG2EF2，即（42x）2+（22）2x2，解得x=522，BEABAE62522=722，故选：D【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用勾股定理，属于中考常考题型【变式1-9】如图，在

11、ABC中，D为BC中点，连接AD，把ABD沿着AD折叠得到AED，连接EC，若DE5，EC6，AB42，则线段AD的长是（）A4B5C6D7【分析】连接BE交AD于点F，由折叠的性质得出BDDE，ADBE，求出BE的长，可求出AF，DF的长，则可得出答案【解答】解：连接BE交AD于点F，把ABD沿着AD折叠得到AED，BDDE，ADBE，D为BC的中点，BDCD，BDCDDE，BEC为直角三角形，BEC90，CE6，BC10，BE=BC2CE2=8，BECBFD90，DFCE，BFEF4，DF=12CE3，AB42，AF=AB2BF2=4，ADAF+DF7，故选：D【点评】此题考查了直角三角形

12、的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理熟练掌握折叠的性质是解题的关键【变式1-10】（2022秋南海区校级月考）如图，RtABC中，ABC90，AB8，BC22，点D在AC上，将ABD沿BD折叠，点A落在点A处，AB与AC相交于点E，则AE的最大值为（）A22B83C163D832【分析】首先利用勾股定理求出AC，然后确定AE取最大值时BE最小，然后利用垂线段最短解决问题【解答】解：RtABC中，ABC90，AB8，BC22，AC=AB2+BC2=62，AEABBE，ABAB8，当BE最小时，AE最大，当BEAC时BE最小，而SABC=12ABBC=12BEAC，BE的最小值

13、为83，AE的最大值为883=163故选：C【点评】本题考查了翻折变换，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题的关键【变式1-11】如图，在ABC中，D是BC边上的中点，连接AD，把ACD沿AD翻折，得到ADC，DC与AB交于点E，连接BC，若BDBC2，AD3，则点D到AC的距离（）A332B3217C7D13【分析】连接CC，交AD于点M，过点D作DHAC于点H，由翻折知，ADCADC，AD垂直平分CC，证BDC为等边三角形，利用解直角三角形求出DM1，CM=3DM=3，AM2，在RtAMC中，利用勾股定理求出AC的长，在ADC中利用面积法求出DH的长【解答】解：如图，连接CC，交AD于点M，

14、过点D作DHAC于点H，BDBC2，D是AC边上的中点，BDDC2，由翻折知，ADCADC，AD垂直平分CC，DCDC2，ACAC，CMCM，BDBCDC2，BDC为等边三角形，BDCBCDCBC60，DCDC，DCCDCC=126030，在RtCDM中，DCC30，DC2，DM1，CM=3，AMADDM312，在RtAMC中，AC=AM2+CM2=7，SADC=12ACDH=12ADCM，7DH33，DH=3217故选：B【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度【变式1-12】（2020春沙坪坝区校级月考）如图，在ABC中，ACB120，A

15、C6，BC3，将边BC沿CE翻折，使点B落在AB上的点D处，再将边AC沿CF翻折，使点A落在CD的延长线上的点A处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段CF的长为（）A3B3721C377D6721【分析】过点A作AHBC交BC的延长线于H，由直角三角形的性质可求HC=12AC3，AH=3HC33，由勾股定理可求AB的长，由面积法可求CE的长，由折叠的性质可求BECDEC90，BCEDCE，ACFDCF，即可求解【解答】解：如图，过点A作AHBC，交BC的延长线于H，ACB120，ACBH+HAC，HAC30，HC=12AC3，AH=3HC33，BH6，AB=AH2+BH2=27+36=

16、37，SACB=12BCAH=12ABCE，33337CE，CE=3217，将边BC沿CE翻折，使点B落在AB上的点D处，再将边AC沿CF翻折，BECDEC90，BCEDCE，ACFDCF，ECF=12ACB60，CFE30，CF2CE=6217，故选：D【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键题型二 利用勾股定理解决长方形中的折叠问题【例题2】（2021春东昌府区期末）如图，在矩形ABCD中，BC8，CD6，将ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则EF的长是（）A3B245C5D8916【分析】由折叠可得BFAB6，AE

17、EF，可求DF4，根据勾股定理可求EF的长【解答】解：四边形ABCD是矩形ABCD8，A90AB6，AD8BD=AB2+AD2=10将ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处ABBF6，AEEF，ABFE90DF4RtDEF中，DE2EF2+DF2（8AE）2AE2+16AE3即EF3故选：A【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键【变式2-1】如图，在长方形纸片ABCD中，AB12，BC5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点F处，求AE的长【分析】由折叠性质得出DFAD5，EFEA，EFBD，在RtBAD中，由勾股定理求出

18、BD，求出BF，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x即可【解答】解：由折叠性质可知：DFAD5，EFEA，EFBD，在RtBAD中，由勾股定理得：BD=AD2+AB2=52+122=13，则BFBDDF1358，设AEEFx，则BE12x，在RtBEF中，由勾股定理可知：EF2+BF2BE2，即x2+82（12x）2，解得：x=103，即AE=103【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x的方程是解此题的关键【变式2-3】（2021秋锦江区期末）如图，长方形ABCD中，AB5，AD25，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则BE的长为（）A12

19、B8C10D13【分析】根据折叠可得：BEDE，在直角ABE中，利用勾股定理可以即可求出BE【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，BEEDAD25cmAE+DEAE+BEAE25BE，根据勾股定理可知AB2+AE2BE252+（25BE）2BE2，解得BE13，故选：D【点评】本题考查了折叠的性质以及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及方程思想的应用是解此题的关键【变式2-4】（2021春栾城区期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB4，AD8，将矩形沿BD折叠，点A落在点E处，DE与BC交于点F，则重叠部分BDF的面积是（）A20B16C12D10【分析】由折叠可得ADBBDE，由题意可证

20、DBCBDE，则可得BDEDBC即DFBF，在RtDFC中，根据勾股定理可列方程，解得DF的长度，即可求BDF的面积【解答】解：折叠，ADBBDE，BEAB4，四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC8，CDAB4，ADBDBC，BDEDBC，BFDF，在RtDFC中，DF2FC2+CD2，DF2（8DF）2+16，DF5，SBDF=12DFBE10，故选：D【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，关键是根据勾股定理列出方程【变式2-5】（2021斗门区一模）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB4cm，BC8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为 【分析】设AFxcm，则DF（

21、8x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可【解答】解：设AFxcm，则DF（8x）cm，矩形纸片ABCD中，AB4cm，BC8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，DFDF，在RtADF中，AF2AD2+DF2，x242+（8x）2，解得：x5（cm）故答案为：5cm【点评】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键【变式2-6】（2021秋历城区期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE4，BC6，将CBE沿直线CE翻折，使点B落

22、在点G，延长EG交CD于点F，则线段FG的长为 【分析】由折叠的性质可得BEGE4，CEBCEG，BCCG6，BCGE90，由勾股定理可求解【解答】解：四边形ABCD是矩形，ABCD，B90，将CBE沿直线CE翻折，BEGE4，CEBCEG，BCCG6，BCGE90，CDAB，DCECEB，DCECEG，EFFC，FC2FG2+CG2，（FG+4）2FG2+36，FG=52，故答案为：52【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键【变式2-7】如图，在矩形ABCD中，AB2，BC4，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长

23、为（）A2.5B3C5D25【分析】先连接BD，在RtABD中，求得BD的长，在RtABE中运用勾股定理求得BF的长，即可得到DF长，最后在RtDOF中求得FO的长，即可得到FG的长【解答】解：如图，连接BD，交EF于O，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分BD，RtABD中，BD=AD2+AB2=25DO=5，由折叠可得，BFODFO，由ADBC可得，DFOBGO，BFOBGO，BFBG，即BFG是等腰三角形，BD平分FG，设BFDFx，则AF4x，在RtABF中，（4x）2+22x2，解得x=52，即DF=52，RtDOF中，OF=DF2DO2=52，FG2FO=5故选：C【点评】本题是折叠

24、问题，主要考查了折叠的性质，勾股定理以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据勾股定理列方程求解本题也可以运用面积法求得FO的长【变式2-8】如图，在矩形ABCD中，连接BD，将ABD沿BD进行折叠，使得点A落到点M处，DM交BC于点N，若AB2，BD5，则MN的长度为（）A172142B172121C1721D3421【分析】先根据勾股定理求得AD的长，再设MNx，求得BNDN=21x，最后在RtBMN中根据勾股定理列出关于x的方程，求得x的值即可【解答】解：在矩形ABCD中，AB2，BD5，A90，AD=5222=21，BM2，DM=21，设MNx，则DN=21x，由题得，ADBMDB

25、，ADBDBC，MDBDBC，BNDN=21x，在RtBMN中，BM2+MN2BN222+x2（21x）2解得x=172142，即MN的长度为172142故选：A【点评】本题以折叠问题为背景，主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是依据直角三角形的三边数量关系，列出关于x的方程求得线段的长，这是方程思想的应用【变式2-9】（2022秋梅县区校级期末）如图是一张矩形纸片ABCD，点E，G分别在边BC，AB上，把DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；把DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处，HF1，BF8，则矩形ABCD的面积为（）A420B360C42

26、02D3602【分析】由折叠的性质得HDAD，FDCD，设ADx，则HDx，得ABCDx+1，BDx+9，再在RtABD中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题【解答】解：四边形ABCD是矩形，ABCD，A90，由折叠的性质得：HDAD，FDCD，设ADx，则HDx，ABCDFDHD+HFx+1，BDFD+BFx+9，在RtABD中，由勾股定理得：x2+（x+1）2（x+9）2，解得：x20或x4（舍去），AD20，AB21，BDx+929，矩形ABCD的面积ADAB2021420，故选：A【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，

27、由勾股定理得出方程是解题的关键【变式2-10】（2022春柯桥区期末）在矩形ABCD中，将边AB翻折到对角线BD上，点A落在点M处，折痕BE交AD于点E将边CD翻折到对角线BD上，点C落在点N处，折痕DF交BC于点FAB5，MN3，则BC的长（）A5B12或 26C12D12或13【分析】分两种情况：点M在线段AN时，点M在线段DN上时，由折叠性质和线段和差分别求得BD，进而由勾股定理求得BC【解答】解：当点M在线段AN上时，如下图，由折叠性质得ABBMBCDN5，BDBM+MN+DN13，C90，BC=BD2CD2=13252=12；当点M点在线段DN上时，如下图，由折叠性质得ABBMBCD

28、N5，MDDNMN532，BDAM+DM5+27，C90，BC=BD2CD2=7252=26；综上，BC12或26，故选：B【点评】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，关键是由折叠性质求得BD的长度题型三 利用勾股定理解决正方形中的折叠问题【例题3】（2021春永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A6cmB5cmC4cmD3cm【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角CEN中，若设CNx，则DNNE8x，CE4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长【解答】

29、解：由题意设CNx cm，则EN（8x）cm，又CE=12DC4cm，在RtECN中，EN2EC2+CN2，即（8x）242+x2，解得：x3，即CN3cm故选：D【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键【变式3-1】（2022宽城区一模）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G，若AE1，AFE30，则AB的长为（）A2B1+3C23D2+3【分析】先求出AF和EF的长，再根据翻折变换的知识得到EFBF，进而求出AB的长【解答】解：四边形ABCD是

30、正方形，A90，AE1，AFE30，EF2，AF=3，正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，EFBF，BF2，ABAF+BF2+3，故选：D【点评】本题主要考查了翻折变换以及正方形的性质，解题的关键是根据翻折变换得到EFBF，此题难度不大【变式3-2】（2022春桂林期末）如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC3：1，则线段CH的长是（）A3B158C1D2【分析】由折叠的性质得DHEH，设CHx，则DHEH4x，再由BE：EC3：1得CE2，然后由勾股定理列出方程，解方程即可【解答】解：四边形ABCD是正方形，C9

31、0，BCCD4，由折叠的性质得：EHDH，设CHx，则DHEH4x，BE：EC3：1，CE=14BC1，在RtECH中，由勾股定理得：EH2EC2+CH2，即（4x）212+x2，解得：x=158，即CH=158故选：B【点评】本题主要考查了正方形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键【变式3-3】（2022春大连月考）如图，在正方形ABCD中，AB4，点E是CD边的中点，将该纸片折叠，使点B与点E重合，折痕交AD，BC边于点M，N，连接ME，NE则ME的长为 【分析】连接BM，由折叠性质可得MEBE，由正方形的性质可得A

32、D90，由勾股定理可得BM2AB2+AM2，ME2DE2+DM2，设AMx，则DM4x，即可求解【解答】解：如图，连接BM，四边形ABCD为正方形，AB4，AD90，ADCDAB4，点E是CD边的中点，DE2，在RtABM和RtDEM中，由勾股定理可得：BM2AB2+AM2，ME2DE2+DM2，设AMx，则DM4x，BM242+x2，ME222+（4x）2，由折叠性质可得MEBE，42+x222+（4x）2，解得：x=12，DMADAM=72，ME=DM2+DE2=(72)2+22=652，故答案为：652【点评】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是明确折叠前后对应图形全

33、等【变式3-4】（2022春荔城区校级月考）如图，在边长为7的正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点，连接AE、EF，将ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A处，若AD2，则BE的长度为（）A2714B137C2514D2【分析】由正方形的性质和折叠的性质可得ABBCCD7，BC90，ACCDAD5，AEAE，BEBE，由勾股定理可求BE的长度【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABBCCD7，BC90，ACCDAD5，ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A处，AEAE，BEBE，在RtABE中，AE2AB2+BE2，在RtACE中，AE2AC2+EC2，49+BE2

34、25+（7BE）2，BE=2514=BE，故选：C【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是解决问题的关键【变式3-5】如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF若AD4cm，则CF的长为（）cmA625B623C32D54【分析】设BFx，则FGx，CF4x，在RtGEF中，利用勾股定理可得EF2（254）2+x2，在RtFCE中，利用勾股定理可得EF2（4x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4x即可【解答】解：设BFx，则FGx，CF4x在RtADE中，利用勾股定理可得AE25根据折叠

35、的性质可知AGAB4，所以GE254在RtGEF中，利用勾股定理可得EF2（254）2+x2，在RtFCE中，利用勾股定理可得EF2（4x）2+22，所以（254）2+x2（4x）2+22，解得x252则FC4x625故选：A【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键【变式3-6】（2022春社旗县期末）如图，点E和点F分别在正方形纸片ABCD的边CD和AD上，连接AE，BF，沿BF所在直线折叠该纸片，点A恰好落在线段AE上点G处若正方形纸片边长12，DE5，则GE的长为（）A4913B5013C4D3【分析】由折叠及轴

36、对称的性质可知，ABFGBF，BF垂直平分AG，先证ABFDAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在RtABF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长【解答】解：设BF与AE的交点为H，四边形ABCD为正方形，ABAD12，BADD90，由折叠及轴对称的性质可知，ABFGBF，BF垂直平分AG，BFAE，AHGH，BAH+ABH90，又FAH+BAH90，ABHFAH，ABFDAE（ASA），AFDE5，BF=122+52=13，SABF=12ABAF=12BFAH，12513AH，AH=6013，AG2AH=12013，AEBF13，GEAEAG1312013

37、=4913故选：A【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质【变式3-7】（2022春长清区期末）如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，AD4，则CH的长为（）A52B65C34D54【分析】设DHx，表示出CH，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，即可得出答案【解答】解：设DHx，CH2x，由翻折的性质，DE=12AD2，EHCH4x，在

38、RtDEH中，DE2+DH2EH2，即22+x2（4x）2，解得x=32，CH4x=52；故选：A【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，设出DH边长，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键【变式3-8】（2022秋和平区期末）如图，已知正方形ABCD面积为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（）A2B2C8D42【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，可以将图中阴影部分的周长表示出来，然后根据正方形ABCD面积为2，即可求得图中阴影部分的周长【解答】解：设EF交AB于点G，交CD于点O，AD交AB于点H，交BC于点M，OD交BC于点N，由图可知：AG+GBAG+G

39、BAB=2，ADAD=2，BC=2，CDDO+OC+DO+OCCD=2，阴影部分的周长为：（AG+GH+HA）+（HB+BM+HM）+（MN+MD+DN）+（NC+CO+NO）AG+GH+HA+HB+BM+HM+MN+MD+DN+NC+CO+NO（AG+GH+HB）+（HA+HM+MD）+（BM+MN+NC）+（DN+NO+CO）AB+AD+BC+CD=2+2+2+2 42，故选：D【点评】本题考查正方形的性质、折叠变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答【变式3-9】（2022春满洲里市校级期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将AED沿着AE翻折得到AEF，点D的

40、对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF若EF2，则BF2（）A42+4B6+42C12D8+42【分析】点F作FGBC交于G点，设正方形的边长为x，则AC=2x，由折叠可知，DEEF，ADAF，DDFA90，可得DE2，ECx2，在RtEFC中，由勾股定理可得（x2）24+（2xx）2，解得x，即为正方形的边长为22+2，再求出FC2，由ACB45，可求FGCG2，BG=2+2，在RtBFG中，由勾股定理可得BF2（2+2）2+28+42【解答】解：过点F作FGBC交于G点，由折叠可知，DEEF，ADAF，DDFA90，设正方形的边长为x，EF2，DE2，ECx2，AC=2x，在RtEFC中，

41、EC2FE2+FC2，（x2）24+（2xx）2，解得x22+2，FC2xx2，ACB45，FGCG=2，BG=2+2，在RtBFG中，BF2BG2+GF2（2+2）2+28+42，故选：D【点评】本题考查正方形的性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键【变式3-10】如图，正方形ABCD中，CD6，点E在边CD上，且CD3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF（1）求证：ABGAFG；（2）求GC的长；（3）求FGC的面积【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出ABAF，BAFG90，利用HL定理得出ABGAFG即可；（2）利用勾股定

42、理得出GE2CG2+CE2，进而求出BG即可；（3）首先过C作CMGF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM2.4，进而得出答案【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，ADABBCCD，DBBCD90，将ADE沿AE对折至AFE，ADAF，DEEF，DAFE90，ABAF，BAFG90，又AGAG，在RtABG和RtAFG中，AG=AGAB=AF，RtABGRtAFG（HL）；（2）解：CD3DE，DE2，CE4，设BGx，则CG6x，GEx+2，GE2CG2+CE2，（x+2）2（6x）2+42，解得x3，CG633；（3）解：如图，过C作CMGF于M，BGGF3，CG3，EC624，GE=32+42=5，CMGEGCEC，CM534，CM2.4，SFGC=12GFCM=1232.43.6【点评】本题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键