专题02立体几何中存在性问题的向量解法（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、专题02 立体几何中存在性问题的向量解法题型一 与平行有关的存在性问题1如图，在正方体中，是棱的中点（1）求二面角的余弦值；（2）在棱（包含端点）上是否存在点，使平面，给出你的结论，并证明【解答】（1）解：设正方体的边长为单位长度，建立如图直角坐标系， 则，0，1，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，又因为平面的一个法向量为，所以，所以二面角的余弦值为；（2）棱（包含端点）上不存在点，使平面证明如下：设的坐标为，1，因为的坐标为，1，所以，若在棱（包含端点）上存在点，使平面，则，所以，即，这与矛盾，所以棱（包含端点）上不存在点，使平面2如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边

2、长的倍，为侧棱上的点（1）若平面，求二面角的大小；（2）在（1）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由【解答】解：（1）连接，设交点为，连接，为正方形，点为与的中点，由题意可知，故，同理，且，平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，平面，所以平面的一个法向量为，平面，所以平面的一个法向量为，设平面的平面角为锐角，则，则，二面角的大小为；（2），设，故，于是，平面的一个法向量为，且平面，解得，即点为线段的三等分点且靠近点3已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，试问：在线段上是否存

3、在点，使二面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：连接，四边形为菱形，又平面，平面，又，平面，又平面，平面平面；（2）解：平面，为在平面上的射影，为直线与平面所成角，则，得，令，则，又四边形为菱形，为等边三角形，得，取的中点，连接，可得，且，以为原点，分别以，所在直线为，建立空间直角坐标系，如图所示，则，2，0，2，设，三点共线，则，解得，由（1）知平面，平面的法向量，取，令平面的法向量为，则，令，则，二面角为，解得，当时，点与点重合，存在点即为点时，二面角为4如图：平面，四边形为直角梯形，（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值；（）在棱上是否存在点，使得平面？

4、若存在，求的值，若不存在，请说明理由【解答】（）证明：取中点，连接，因为四边形为直角梯形，所以四边形为正方形，因为平面，平面，所以，又因为，、平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，于是平面平面（）解：因为平面，所以、，又因为，所以、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，1，设平面的法向量为，令，1，平面的法向量为，0，所以二面角的余弦值为（）解：不存在，理由如下：假设在棱上存在点，使得平面，令，则，0，0，由（）知平面的法向量为，1，因为平面，所以，解得，与，矛盾，所以在棱上不存在点，使得平面5如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，是线段的中点，连结（）求证：；（）求二面角的余弦值；（

5、）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解答】解：（）证明：因为四边形为菱形，所以，又因为，为的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以（）连结因为，为的中点，所以由（）可知平面，所以，设，则如图，以为原点，、所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系则所以，因为平面，所以是平面的一个法向量设平面的法向量为，则，所以令，则，得，所以由题知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为（）当点是线段的中点时，平面理由如下：因为点平面，所以在线段上存在点，使得平面，等价于假设线段上存在点使得平面设，则所以由，解得所以当点是线段的中点时，平面，且6中国古代数学名

6、著九章算术中记载：“刍ch甍mng者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼刍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，（1）求二面角的大小；（2）求三棱锥的体积；（3）点在直线上，满足，在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）过点分别作，分别交，于，连接，则为二面角的平面角，因为四边形为正方形，所以，由已知得，所以（2）过点作，垂足为因为，平面，平面，所以平面因为，所以因为，所以平面因为平面，所以因为，平面，所以平面，所以为三棱锥的高，因为，所以（

7、3）方法一：假设存在点当点在线段上时，连接交于，则，所以因为平面，平面，平面平面，所以，所以当点在延长线上时，连接交于，则，所以因为平面，平面，平面平面，所以，所以综上，在直线上存在点，使平面，的值为或方法二：当点在线段上时，过点作交于，连接，过点作交于点，因为，所以平面平面因为平面，所以平面因为平面，平面平面，所以因为，所以，所以，所以，所以当点在线段延长线上时，过点作交于，连接，过点作交于点因为，所以平面平面因为平面，所以平面因为平面，平面平面，所以因为，所以，所以，所以所以综上，在上存在点使得平面，此时或题型二 与垂直有关的存在性问题7如图，在直角梯形中，且，是的中点，将沿折起到的位置，

8、使平面平面（1）求二面角的正弦值；（2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，请求出点所在的位置；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）在图1中，设，是的中点，则四边形为正方形，在图2中，设中点为，平面平面，平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，0，则有，0，设平面的法向量，则，取，1，设平面的法向量，则，取，1，则二面角的正弦值为（2）假设在直线上是存在点，使平面，且，则，0，平面的法向量，1，方程无解，假设不成立，在直线上不存在点，使平面8如图所示，在长方体中，分别是，的中点，（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面？

9、若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：以为原点，以，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，1，0，2，1，2，又平面，平面，平面（2）解：，2，2，设平面的法向量为，则，即，令可得，1，又，0，是平面的一个法向量，平面与平面的夹角的余弦值为（3）解：假设线段上是否存在点，使得平面，则，不妨设，则，又，0，故存在实数使得，方程组无解，故线段上不存在点，使得平面9如图，在直三棱柱中、，是中点（）求证：平面；（）在棱存在一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值【解答】（）证明：连接交于，四边形是平行四边形，是的中点，又是的中点，又平面，平面，平面（）解：以为原点，以，

10、为坐标轴建立空间直角坐标系，设，则，0，0，2，1，0，即，故，0，设平面的法向量为，则，即，令可得，又，1，为平面的一个法向量，平面与平面夹角的余弦值为10如图，在长方体中，为中点，为中点（1）求证：平面；（2）若线段上存在点使得，求与平面所成角的正弦值【解答】（1）证明：因为为的中点，则，又，故，可得，则有，即，由为的中点，为的中点，可得底面，又平面，所以，又，平面，所以平面；（2）解：在长方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，则，所以，设，则，又，则，因为，解得，所以，故，设平面的法向量为，则有，即，令，则，故，所以，故与平面所成角的正弦值11如图所示，在四棱锥中，底面，

11、底面是矩形，是线段的中点已知，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）直线上是否存在点，使得与垂直？若存在，求的长；若不存在，请说明理由【解答】（）证明：连接交于，连接因为底面是矩形，所以是线段的中点又因为是线段的中点，所以又因为平面，平面，所以平面（）解：因为底面，底面，底面，所以，因为底面是矩形，所以，如图建立空间直角坐标系，则，0，0，2，0，2，因为是线段的中点，故，1，所以，设平面的法向量为，则令，则，于是因为底面，所以为平面的法向量因为，所以由题知二面角是锐角，所以其余弦值为（）解：因为为直线上一点，所以，其中所以又因为，所以与垂直等价于所以存在点，使得与垂直，此时，的长为12如

12、图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为等腰直角三角形，是的中点，二面角的大小为，设平面与平面的交线为（1）在线段上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由；（2）若点在上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长【解答】解：（1）因为底面为矩形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为平面平面，平面，所以，从而取中点，连接，因为，所以，因为、分别为矩形对边中点，所以，所以平面，因为，所以平面，故当在点时，平面（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知为二面角的平面角，其大小为，因为侧面为等腰直角三角形，所以，所以，2，0，2，设，则，2，设平面的法向量为，令，0，直线与平面所

13、成角的正弦值为，解得，所以线段的长为题型三 与距离有关的存在性问题13如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，侧棱，是的中点，试问在线段上是否存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为？【解答】解：以为坐标原点，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，0，0，0，假设在线段上存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为可设，则，0，0，设平面的法向量为，则由，得，即有，得，即有由可取，则，由于点到平面的距离可看作在上投影的绝对值，则为，解得，成立则在线段上存在一点（不与端点重合），且，使得点到平面的距离为14如图，长方体中，为棱中点，为棱中点（1）求二面角平面角的大小；（2）线段上是否存

14、在点，使得到平面的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）取中点，连结、，在中，为中点，所以，又侧面底面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以为正方形，所以，又，所以平面，则为二面角的平面角，在中，所以，所以二面角平面角的大小为；（2）假设线段上存在点，使得它到平面的距离为，设，则，在中，在中，所以，由，即，解得，所以存在点满足题意，此时15如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点（1）求平面和平面夹角的余弦值；（2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由【解答】解：（1）取的中点，连接，则，平面，平面，两两垂直，如图，以为原点，所

15、在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，2，2，2，0，2，2，2，设平面的法向量，则，取，得，1，设平面的法向量，则，取，得，0，设平面和平面的夹角为，由图知为锐角，则，平面和平面夹角的余弦值为（2）假设在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为，设，则，点到平面的距离为，解得（舍或，在线段上存在点（端点处），使点到平面的距离为题型四 与角度有关的存在性问题16如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，为棱上一点，与交于点，且，（1）证明：；（2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：因为四边形为等腰梯形，且，所以为等腰直角三角形，（

16、2分）因为，所以，因为，所以，所以，（4分）又因为平面，平面，所以平面，因为平面，所以（5分）（2）因为，所以，即，因为，平面，平面，所以平面，（6分）如图，以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，由（1）知，故，0，（8分）假设在棱上存在一点满足题意，设，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，解得，故，（9分）易得平面的一个法向量为，0，设二面角为，可知二面角为锐二面角，（11分）解得，所以存在满足题意的点，位置在靠近点的三等分点处（12分）17如图1，在直角梯形中，将沿折起，折起后点的位置为点，得到三棱锥如图2所示，平面平面，直线与平面所成角的正切值为（1）求线段的长度；（2）试判断在线

17、段上是否存在点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面，则与平面所成的角为，又，所以，因为在直角梯形中，所以，故，令，则，解得，所以，即；（2）以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，设，0，所以，设平面的法向量为，则，即，令，可得，取平面的一个法向量为，则，因为二面角的平面角的余弦值为，故，解得或（舍，当时，故为的四等分点，且18如图，在四棱锥中，底面为正方形，为线段的中点，为线段上的动点（1）求证：平面；（2）是否存在点，使平面与平面所成的锐二面角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说

18、明理由【解答】解：（1），又，平面，平面，为正方形，又，平面，平面，平面，为线段的中点，又，平面，平面，（2）存在定点，使平面与平面所成的锐二面角为以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则，0，2，0，0，1，设，2，则，设平向的一个法向量为，则，令，设平面的一个法向量为，令，则，平面与平面所成的锐二面角为，解得，当点为中点时，平面与平面所成的锐二面角为19如图，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点（1）证明：，三线共点；（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面，所成角的正弦值为，若存在，请旨出点的位置，并求二面角的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由【解答】

19、（1）证明：且，共面设，则，而面，面；同理可得面，点在面与面的公共直线上，即，三线共点（2）解：根据题意可知，两两垂直，以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系：，0，0，2，1，故，假设满足条件的点存在，设，2，则，设平面的法向量为，则由，得，不妨取，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面的平面角为，则，得设平面的法向量为，则平面的一个法向量为，二面角的平面角的余弦值20如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，与平行并且相等，（1）证明：；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）证明：，又平面平面，平面平面，平面

20、，平面，又平面，；（2）由（1）可知，平面，且，以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，2，0，0，4，设是平面的法向量，则，令，则，设，设是平面的法向量，则，令，则，二面角的平面角余弦值为，故在线段上是否存在点，且21如图，在四棱锥中，平面平面，（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：平面平面，平面平面，平面，平面，在直角梯形中，即，又，、平面，平面（2）解：以为原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，0，1，4，0，1，4，设，则，0

21、，1，设平面的法向量为，则，即，令，则，1，与平面所成角的正弦值为，化简得，解得，故线段上存在点满足题意，且22如图，在四棱锥中，（1）证明：平面；（2）设平面平面，平面，在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明由【解答】（1）证明：在底面中，所以，所以，故，又，平面，故平面；（2）解：延长，相交于点，连结，则即为交线，取的中点，连结，则，过点在平面内作的垂线，则平面，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，设，则，故，所以，故，设平面的法向量为，则有，即，令，则，故，因为二面角的余弦值为，所以，化简整理可

22、得，解得或（舍，故在线段上存在点，使得二面角的余弦值为，此时的值为23如图，在棱长为2的正方体中，、分别是和的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求异面直线与之间的距离；（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，0，0，2，2，2，0，2，则，所以，故异面直线与所成角的余弦值为（2）取的中点，连结，因为，分别为，的中点，则，又平面，平面，所以平面，则点到平面的距离即为异面直线与之间的距离，设点到平面的距离为，在中，所以，在中，由等体积法，所以，即，解得，故异面直线与之间的距离为；（3

23、）假设存在点，2，满足条件，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，平面的一个法向量为，由题意可知，二面角的大小为，所以，解得或（舍，所以棱上存在一点，使得二面角的大小为，此时的长为24如图，三棱柱所有的棱长为2，是棱的中点（）求证：平面；（）在线段是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）证明：连接，是中点，又，平面，平面（2）由（1）知，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，1，0，1，2，假设，取平面的法向量，0，直线与平面所成角为，直线与平面所成角的正弦值为，整理得，由，解得25如图，四棱锥的底面为菱形

24、，平面，且，分别为，的中点，点为棱上一动点（1）证明：平面平面；（2）若，在线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，试确定的位置；若不存在，说明理由【解答】（1）证明：连接底面为菱形，为等边三角形，为的中点，又，平面，平面，、平面，平面，而平面，平面平面；（2）解：由（1）知，、两两垂直，以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系设，则，0，1，2，0，1，0，设，则，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得二面角的正弦值为，二面角的余弦值为即，整理得：，解得或故为线段的中点或为线段靠近点的五等分点26如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点（1）求证：；（2）棱（除两端点外）上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：取的中点，连接、，且，为等边三角形，得，四边形为正方形，且、分别是、的中点，、平面，平面，平面，；（2）解：平面平面，且平面平面，平面，平面，以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，2，0，0，2，设为平面的一个法向量，由，取，得；假设棱上（除端点外）存在点满足题意，令，得，设为平面的一个法向量，则由，取，得由，解得或，点为棱的中点，或者为棱的八等分点（靠近端）