专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（解析版）.docx

1、专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（解析版）专题诠释：代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。第一部分 典例剖析+变式训练类型一 通过代数式的恒等变形求代数式的值典例1 （大城县校级四模）设mn0，m2+n24mn，则m2n2mn的值等于（）A23B3C6D3思路引领：由m2+n24mn得（mn）22mn、（m+n）26mn，根据m0、n0可得mn=2mn、

2、m+n=6mn，代入到m2n2mn=(m+n)(mn)mn计算可得解：m2+n24mn，m24mn+n20，（mn）22mn，（m+n）26mn，m0，n0，mn=2mn，m+n=6mn则m2n2mn=(m+n)(mn)mn=6mn2mnmn=23，故选：A总结提升：本题主要考查完全平方公式和分式的求值，依据完全平方公式灵活变形并依据条件判断出m+n、mn的值是关键变式训练1（达州中考）已知：m22m10，n2+2n10且mn1，则mn+n+1n的值为 思路引领：将n2+2n10变形为1n2_2n10，据此可得m，1n是方程x22x10的两根，由韦达定理可得m+1n=2，代入mn+n+1n=m

3、+1+1n可得解：由n2+2n10可知n01+2n1n2=01n22n10，又m22m10，且mn1，即m1nm，1n是方程x22x10的两根m+1n=2mn+n+1n=m+1+1n=2+13，故答案为：3总结提升：本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，1n是方程x22x10的两根及韦达定理2（2020秋锦江区校级期末）已知2a3b+10，则代数式6a9b+1 思路引领：首先由已知可得2a3b1，将2a3b1代入6a9b+13（2a3b）+1即可解：2a3b+10，2a3b1，6a9b+13（2a3b）+13（1）+12，故答案为：2总结提升：本题主要考查了代数式求值，运

4、用整体代入思想是解答此题的关键3（2022秋吉县期中）请阅读下面解题过程：已知实数a、b满足a+b8，ab15，且ab，求ab的值解：因为a+b8，ab15，所以：（ab）2a22ab+b2a2+2ab+b24ab（a+b）24ab824154因为ab，所以ab0，所以ab2请利用上面的解法，解答下面的问题已知实数x满足x1x=8，且x0，求x+1x的值思路引领：直接利用完全平方公式将原式变形得出x2+1x2=10，进而求出答案解：x1x=8，（x1x）28，x2+1x228，x2+1x2=10，（x+1x）2x2+1x2+212，x+1x=23，x0，x+1x=23总结提升：此题主要考查了完

5、全平方公式应用，得出x2+1x2的值是解题关键类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值典例2 （2021秋下城区期中）已知实数m，n满足mn21，则代数式m2+2n2+4m2的最小值等于 思路引领：根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答解：mn21，n2m1，m1，则m2+2n2+4m2m2+2m2+4m2m2+6m4m2+6m+913（m+3）213，m1，（m+3）2133，即代数式m2+2n2+4m2的最小值等于3总结提升：本题考查的是配方法的应用，配方法的理论依据是公式a22ab+b2（ab）2变式训练1（2022蓝山县校级开学）若m，n是方

6、程x22ax+10且a1的两个实数根，则（m1）2+（n1）2的最小值是 思路引领：根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后把（m1）2+（n1）2整理成m+n与mn的形式，代入进行计算即可求解解：由题意，得m+n2a，mn1，则（m1）2+（n1）2m2+n22（m+n）+2（m+n）22mn2（m+n）+24a24a，4（a12）21，a1，a1时，（m1）2+（n1）2的最小值为0故答案为0总结提升：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2=ba，x1x2=ca也考查了二次函数的最值问题2（2022秋海淀区校级月考）阅读下列材

7、料，并解答问题：材料：将分式x2x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式解：由分母x+1，可设x2x+3（x+1）（x+a）+b；则x2x+3（x+1）（x+a）+bx2+ax+x+bx2+（a+1）x+a+b对于任意上述等式成立，a+1=1a+b=3解得：a=2b=5x2x+3x+1=(x+1)(x2)+5x+1=x2+5x+1这样，分式x2x+3x+1就拆分成一个整式x2与一个分式5x+1的和的形式（1）将分式x2+5x4x1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；（2）已知整数使分式2x2x12x3的值为整数，直接写出满足条件的整数的值思路引领：（1）利用题

8、干中的方法进行变形即可得出结论；（2）利用题干中的方法将分式2x2x12x3拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，利用整除性质即可得出结论解：（1）由分母x1，可设x2+5x4（x1）（x+a）+b，则x2+5x4，x2+axxa+b，x2+（a1）xa+b对于任意x上述等式成立，a1=5a+b=4，解得：a=6b=2，x2+5x4x1，=(x1)(x+6)+2x1，x+6+2x1故答案为：x+6+2x1（2）由分母x3，可设2x2x12（x3）（2x+a）+b，则2x2x12，2x2+ax6x3a+b，2x2+（a6）x3a+b，对于任意x上述等式成立，a6=13a+b=12，解

9、得a=5b=3；2x2x12x3，=(x3)(2x+a)+bx3，=(x3)(2x+5)+3x3，2x+5+3x3，x为整数，分式2x2x12x3的值为整数，3x3为整数，x4或6或0或2总结提升：本题考查了分式的加减法，整式的加减，分式的值，掌握题干中的方法并熟练应用是关键类型三 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围典例3（2021杭州三模）已知2a3x+10，3b2x160（1）用含x的代数式分别表示a，b；（2）当a4b时，求x的取值范围思路引领：（1）直接利用已知将原式变形求出答案；（2）利用a4b得出关于x的不等式求出答案解：（1）由2a3x+10，得a=3x12，由3b2x

10、160，得b=2x+163；（2）a4b，a=3x124，b=2x+1634，解得：2x3总结提升：此题主要考查了不等式的性质，直接将原式变形是解题关键变式训练4平面直角坐标系中，已知点（a，b）在双曲线上，且满足，求k的取值范围。答案：0k1类型四 通过代数式的恒等变形比较代数式的大小典例4（2019春灌云县期末）已知Aa+2，Ba23a+7，Ca2+2a18，其中a2（1）求证：BA0，并指出A与B的大小关系；（2）指出A与C哪个大？说明理由思路引领：（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质解答；（2）把CA的结果进行因式分解，根据有理数的乘法法则解答（1）证明：BA（a23a+

11、7）（a+2）a23a+7a2a24a+5（a24a+4）+1（a2）2+1，（a2）20，（a2）2+11，BA0，BA；（2）解：CA（a2+2a18）（a+2）a2+2a18a2a2+a20（a+5）（a4）a2，a+50，当2a4时，a40，CA0，即AC，当a4时，a40，CA0，即AC当a4时，CA0，即AC总结提升：本题考查的是配方法的应用、因式分解的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键针对训练1（2021秋福清市期末）阅读以下材料：利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如a2+2a4a2+2a+12124（a+1）25（a+1）20，a2+2

12、a4（a+1）255，因此，代数式a2+2a4有最小值5根据以上材料，解决下列问题：（1）代数式a22a+2的最小值为 ；（2）试比较a2+b2+11与6a2b的大小关系，并说明理由；（3）已知：ab2，ab+c24c+50，求代数式a+b+c的值思路引领：（1）将代数式a22a+2配方可得最值；（2）作差并配方，可进行大小比较；（3）变形后得：ab+2，代入ab+c24c+50中，再利用配方法即可解决问题解：（1）a22a+2（a22a+1）+1（a1）2+1，（a1）20，（a1）2+11，即代数式a22a+2的最小值为1；故答案为：1；（2）a2+b2+116a2b，理由如下：a2+b2

13、+11（6a2b）a2+b2+116a+2b（a26a+9）+（b2+2b+1）+1（a3）2+（b+1）2+1，（a3）20，（b+1）20，a2+b2+116a2b；（3）ab2，ab+2，ab+c24c+50，b（b+2）+c24c+50，（b+1）2+（c2）20，b+10，c20，b1，c2，a1+21，a+b+c11+22总结提升：本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值问题，属于中考常考题型第二部分 专题提优训练1（2022秋遵义月考）设m，n是方程x2+x20220的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A2020B2021C202

14、2D2023思路引领：利用一元二次方程根的定义得到m2m+2022，则m2+2m+nm+n+2022，再根据根与系数的关系得到m+n1，然后利用整体代入的方法计算解：m是方程x2+x20220的实数根，m2+m20220，m2m+2022，m2+2m+nm+2022+2m+nm+n+2022，m，n是方程x2+x20220的两个实数根，m+n1，m2+2m+n1+20222021故选：B总结提升：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2=ba，x1x2=ca2（2021春鼓楼区校级期中）若直线yk（x1）+3经过点（a，b+2）和（a+

15、1，3b1），则代数式k24kb+4b2的值为 思路引领：由直线yk（x1）+3经过点（a，b+2）和（a+1，3b1），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出k2b3，进而可得出2bk3，再将其代入k24kb+4b2（2bk）2中即可求出结论解：直线yk（x1）+3经过点（a，b+2）和（a+1，3b1），k(a1)+3=b+2k(a+11)+3=3b1，k2b3，2bk3，k24kb+4b2（2bk）2329故答案为：9总结提升：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及完全平方公式，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式ykx+b是解题的关键3（2022春定远县期中）已知ab1，因为（a+

16、b）2a2+2ab+b2a2+b2+2（ab）2a22ab+b2a2+b22所以由得a2+b2（a+b）22由得a2+b2（ab）2+2试根据上面公式的变形解答下列问题：（1）已知ab2，ab1，则下列等式成立的是 a2+b26；a4+b438；（a+b）28（2）已知a+b2，ab1求代数式a2+b2的值；求代数式a4+b4的值；猜想代数式a2n+b2n（n为正整数）的值，直接写出答案，不必说明理由思路引领：（1）根据完全平方公式分别计算即可；（2）根据完全平方公式得到的值都是2，猜想的值也是2解：（1）a2+b2（ab）2+2ab22+216，故该选项正确；a4+b4（a2+b2）22a2

17、b2622（ab）23621234，故该选项错误；（a+b）2（ab）2+4ab22+418，故该选项正确故答案为：；（2）a2+b2（a+b）22ab22212；a4+b4（a2+b2）22a2b2222（ab）2222122；的答案都是2，猜想：a2n+b2n2总结提升：本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键4（2022襄城区模拟）已知实数a、b满足3a32b27，求代数式（2ab）23（ab）（a+b）+8（ab1）的值思路引领：根据整式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案解：3a32b27，3a+2b33，a+2b3，原式4a24

18、ab+b23（a2b2）+8ab84a24ab+b23a2+3b2+8ab8a2+4ab+4b28（a+2b）28，当a+2b3时，原式328981总结提升：本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型5（2021秋忠县期末）解答下面各题：（1）当x取何值时，代数式x24x+6有最小值；（2）化简：a2a21（a12a1a+1）；（3）当a为（1）中所求x的值时，算出（2）的结果思路引领：（1）仿照阅读材料中的方法把代数式配方后，利用非负数的性质确定出最小值时对应的x的值；（2）先计算括号里的，通分后将除法化为乘法，再将分子分母分解因式约分后可得结论

19、；（3）将a2代入计算即可解：（1）x24x+6（x2）2+22；当x2时，x24x+6有最小值；（2）a2a21（a12a1a+1）=a2a21（a21a+12a1a+1）=a2(a1)(a+1)a212a+1a+1 =a2(a1)(a+1)a+1a(a2) =1a(a1) =1a2a；（3）当a2时，1a(a1)=12总结提升：此题考查了配方法的应用和分式的混合运算，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和分解因式是解本题的关键6（2022秋北京期末）已知：Px+2，Q=8xx+2（1）当x1时，计算PQ的值；（2）当x0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由；（3）设y=4PQ12，若x、

20、y均为非零整数，求xy的值思路引领：（1）将x1代入计算PQ的值即可；（2）先求差，再比较差与0的大小关系（3）先表示y，再求x，y的整数值，进而可以解决问题解：（1）当x1时，PQx+28xx+21+283=13；（2）当x0时，PQ，理由如下：PQx+28xx+2=(x+2)28xx+2 =(x2)2x+2，x0，(x2)2x+20或(x2)2x+2=0，当x0且x2时，PQ；当x2时，PQ；（3）y=4PQ12，Px+2，Q=8xx+2，y=4PQ12=4x+28x12(x+2) =122x3(x+2) =2(x+2)+163(x+2) =23+163(x+2)，x、y均为非零整数，x3

21、时，y6，xy18；x6时，y2，xy12；综上所述：xy的值为18或12总结提升：本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键7（2022春西乡塘区校级期末）阅读材料并解决下列问题：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根为x1、x2，则x1+x2=ba，x1x2=ca材料2 已知实数m，n满足m2m10，n2n10，且mn，求nm+mn的值解：由题知m，n是方程x2x10的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n1，mn1，nm+mn=m2+n2mn=(m+n)22mnmn=1+21=3根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程5x2+10x10的两

22、根为x1，x2，则x1+x22，x1x215（2）已知实数m，n满足3m23m10，3n23n10，且mn，求m2n+mn2的值（3）已知实数p，q满足p27p2，2q27q1，且p2q，求p2+4q2的值思路引领：（1）5x2+10x10中，a5，b10，c1，则x1+x2=ba=2，x1x2=ca=15（2）由题意m，n可以看作3x23x10的两个不等的实数根，由此可得结论；（3）由题意知p与2q即为方程x27x+20的两个不等的实数根，由此可得结论解：（1）在5x2+10x10中，a5，b10，c1，x1+x2=ba=2，x1x2=ca=15故答案为：2，15；（2）m，n满足3m23m

23、10，3n23n10，mn，m，n可以看作3x23x10的两个不等的实数根，m+n1，mn=13，m2n+mn2mn（m+n）=131=13；（3）由题意知p与2q即为方程x27x+20的两个不等的实数根，p+2q7，2pq2，p2+4q2（p+2q）24pq722245总结提升：本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题8（2022吴中区模拟）张老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母A代替了原代数式的一部分：(Ax21x22x+1)xx+1=x+1x1（1）求代数式A，并将其化简；（2）当A5时，求x的值；（3）当x=5+1时，求A的值思

24、路引领：（1）根据被除式商除式，被减式差+减式，然后根据分式的乘法和加法运算法则进行计算即可解答；（2）利用（1）的结论可得2x+1x1=5，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答；（3）把x的值，代入A=2x+1x1，进行计算即可解答解：（1）由题意得：A=x+1x1xx+1+x21x22x+1=xx1+(x+1)(x1)(x1)2 =xx1+x+1x1 =x+x+1x1 =2x+1x1，（2）当A5时，2x+1x1=5，2x+15（x1），解得：x2，检验：当x2时，x10，x2是原方程的根；（3）当x=5+1时，A=2(5+1)+15+11=25+2+15 2+355总结提升：本题考查

25、了解分式方程，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键9（2022秋东城区校级期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以把多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式例如，x24x+3x24x+44+3（x2）21观察上式可以发现，当x2取任意一对互为相反数的值时，多项式x24x+3的值是相等的例如，当x21，即x3或1时，x24x+3的值均为0；当x22，即x4或0时，x24x+3的值均为3我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于xm对称，称xm是它的对称轴例如，x24x+3关于x2对称，x2是它的对称轴请根据上

26、述材料解决下列问题：（1）将多项式x26x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；（2）若关于x的多项式x2+2ax1关于x5对称，求a；（3）求代数式（x2+2x+1）（x28x+16）的对称轴思路引领：（1）利用配方法进行变形计算，即可解答；（2）利用配方法将x2+2ax1变形为：（x+a）21a2，然后进行计算即可解答；（3）先把原式变形为（x+1）2（x4）2，然后再利用配方法把（x+1）（x4）变形为（x+m）2+n的形式，即可解答解：（1）x26x+5x26x+99+5（x3）24，该多项式的对称轴为：x3；（2）x2+2ax1x2+2ax+a2a21（x+a）2a21，该多项式的对称轴为：xa，关于x的多项式x2+2ax1关于x5对称，a5；（3）（x2+2x+1）（x28x+16）（x+1）2（x4）2（x+1）（x4）2（x23x4）2（x23x+94944）2（x32）22542对称轴为：x=32总结提升：本题考查了配方法的应用，轴对称的性质，熟练掌握配方法是解题的关键