专题03 函数的周期性、对称性（解析版）.docx

1、专题03 函数的周期性、对称性 一、单选题1（2023全国高三专题练习）已知函数，若，其中，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，令则所以所以，所以，其中，则.当时当且仅当 即 时等号成立；当时 ，当且仅当 即 时等号成立；因为，所以的最小值为.故选：A.2（2023春重庆高三统考阶段练习）已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（）A1B2C4D【答案】B【解析】，故函数关于对称，又在上严格递增；即当且仅当时取得.故选：B.3（2023全国高三专题练习）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，.若，则（）AB0CD【答案】C【解析】因为为偶函数，所以，用代替得：，因

2、为为奇函数，所以，故，用代替得：，由 得：，所以函数的周期，所以，即，因为，令得：，故，解得：，所以时，因为，令，得，其中，所以，因为，令得：，即，因为，所以，因为，令得：，故，.故选：C4（2023四川资阳统考模拟预测）已知函数的定义域为R，为偶函数，当时，（且），且则（）A16B20C24D28【答案】C【解析】因为是偶函数，所以，所以，所以函数关于直线对称，又因为，所以，所以，所以关于点中心对称，由及得所以所以函数的周期为，因为当时，（且），且，所以，解得：或，因为且，所以.所以当时，所以，所以，所以,故选：.5（2023全国高三专题练习）已知函数的定义域均为R，且若的图像关于直线对称，

3、则（）ABCD【答案】D【解析】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D6（2023全国高三专题练习）设函数，若，则下列不等式正确的是（）ABCD【答案】C【解析】由题，化简整理得，于是所以，进而，据此，在上单调递增，在上单调递减，因为，即对于A，由，又，所以，即，故A错误；对于B，因为，所以，而，所以，故B错误；对于C，而，所以，所以，故C正确；对于D，由，因为，所以，所以，故D错误.故选：C7（2023全国高三专题练习）定义在

4、上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（）A30B14C12D6【答案】A【解析】由知函数的图象关于直线对称，是R上的奇函数，的周期为4，考虑的一个周期，例如，由在上是减函数知在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，对于奇函数有，故当时，当时，当时，当时，方程在上有实数根，则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，则由于，故方程在上有唯一实数，在和上，则方程在和上没有实数根，从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，当，方程的两实数根之和为，当，方程的所有6个实数根之和为.故选：A.8（2023全国高三专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是

5、的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则A2016B2017C2018D2019【答案】C【解析】函数，函数的导数，由得，解得，而，故函数关于点对称，故设，则，两式相加得，则，故选C.9（2023春云南曲靖高三曲靖一中校考阶段练习）定义在R上的函数满足，且当时，.则函数的所有零点之和为（）A7B14C21D28【答案】B【解析】依题意，是奇函数.又由知，的图像关于对称.，所以是周期为4的周期函数.，所以关于点对称.由于从而函数的所有零点之和即为函数与的图像的交点的横坐标之和.而函数的

6、图像也关于点对称.画出，的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数所有零点和为.故选：B10（2023全国高三专题练习）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，为奇函数，若，则不等式的解集为（）ABCD【答案】C【解析】因为为偶函数，为奇函数，所以，.所以，所以.令，则.令上式中t取t-4，则，所以.令t取t+4，则，所以.所以为周期为8的周期函数.因为为奇函数，所以，令，得：，所以，所以，即为，所以.记，所以.因为，所以，所以在R上单调递减.不等式可化为，即为.所以.故选：C11（2023全国高三专题练习）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（）ABCD【答

7、案】D【解析】方法一：因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以思路一：从定义入手所以方法二：因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期所以故选：D二、多选题12（2023春云南高三云南师大附中校考阶段练习）已知定义域为的函数在上单调递增，且图象关于对称，则（）A周期B在单调递减C满足D在上可能有1012个零点【答案】ABD【解析】A选项：由知的对称轴为，且，又图象关于对称，即，故，所以，即，所以，的周期为4，正确；B选项：因为在上单调递增，所以在上单调递增，

8、又图象关于对称，所以在上单调递增，因为关于对称，所以在上单调递减，故在单调递减，B正确；C选项：根据周期性，因为关于对称，所以，故，错误；D选项：在上，有2个零点，所以在上有1010个零点，在上有2个零点，故在上可能有1012个零点，正确，故选：ABD13（2023春广东广州高三统考阶段练习）已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，下列说法正确的有（）A函数的图象关于对称B函数的图象关于对称C函数是以为周期的周期函数D函数是以为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A选项，因为为偶函数，所以由，可得，可得，所以，函数的图象关于直线对称，A错；对于B选项，因为，则，又因为，可得，所以，函数的图象关

9、于点对称，B对；对于C选项，因为函数为偶函数，且，则，从而，则，所以，函数是以为周期的周期函数，C对；对于D选项，因为，且，又因为，所以，又因为，则，所以，故，因此，函数是周期为的周期函数，D错.故选：BC.14（2023春湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习）设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若， ，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）AB函数的图象关于对称CD【答案】AC【解析】因为为奇函数，所以，取可得，A对，因为，所以；所以，又，故，所以函数的图象关于点对称，B错，因为，所以，所以，为常数，因为，所以，所以，取可得，所以，又，所以，所以，所以，故函数为周期为4的函数，因为，所以，所

10、以，所以，所以，由已知无法确定的值，故的值不一定为0，D错；因为，所以，所以，故函数为周期为4的函数，所以函数为周期为4的函数，又，所以，所以，C对，故选：AC.15（2023全国高三专题练习）设函数的定义域为，且满足，当时，则下列说法正确的是（）AB当时，的取值范围为C为奇函数D方程仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当时，当时，函数的定义域为，有，又，即，因此有，即，于是有，从而得函数的周期，对于A，A不正确；对于B，当时，有，则，当时，有，当时，的取值范围为，B正确；对于C，函数为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：方程的实根，即是函数与的图象

11、交点的横坐标，观察图象知，函数与的图象有5个交点，因此方程仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD16（2023全国高三专题练习）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，则（）A当时，B任意，C存在非零实数，使得任意，D存在非零实数，使得任意，【答案】ABD【解析】对于A，令，则，即，又，；令得：，则由可知：当时，A正确；对于B，令，则，即，由A的推导过程知：，B正确；对于C，为上的增函数，当时，则；当时，则，不存在非零实数，使得任意，C错误；对于D，当时，；由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；当时，为上的增函数，；由图象对称性可知：此时对任意，D正确.故选：ABD.17（20

12、23全国高三专题练习）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，则下列结论正确的是（）AB为奇函数C在上为减函数D方程仅有6个实数解【答案】ABD【解析】为偶函数，故，令得：，为奇函数，故，令得：，其中，所以，A正确；因为为奇函数，所以关于对称，又为偶函数，则关于对称，所以周期为，故，所以，从而为奇函数，B正确；在上单调递增，又关于对称，所以在上单调递增，且周期为8，故在上单调递增，C错误；根据题目条件画出与的函数图象，如图所示：其中单调递减且，所以两函数有6个交点，故方程仅有6个实数解，D正确.故选：ABD18（2023全国高三专题练习）已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，则（）A是周

13、期为2的函数BC的值域为D在上有4个零点【答案】BCD【解析】对于A，为偶函数，其图像关于轴对称，把的图像向右平移1个单位得到的图像，所以图象关于对称，即，所以，为上的奇函数，所以，所以，用替换上式中的得， ，所以，则是周期为4的周期函数.故A错误.对于B，定义域为R的奇函数，则，是周期为4的周期函数，则；当时，则，则，则.故B正确.对于C，当时，此时有，又由为上的奇函数，则时，函数关于对称，所以函数的值域.故C正确.对于D，且时，时，此时函数的零点为0，2；是奇函数，时，的周期为，此时函数零点为4；时，此时函数零点为6；时，此时函数无零点；综合以上有，在上有4个零点.故D正确；故选：BCD1

14、9（2023春广东广州高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，则（）A是周期为2的函数BC的值域为-1，1D的图象与曲线在上有4个交点【答案】BCD【解析】根据题意，对于A，为R上的奇函数，为偶函数，所以图象关于对称，即则是周期为4的周期函数，A错误；对于B，定义域为R的奇函数，则，是周期为4的周期函数，则；当时，则，则，则；故B正确对于C，当时，此时有，又由为R上的奇函数，则时，函数关于对称，所以函数的值域故C正确对于D，且时，是奇函数，的周期为，设，当，设在恒成立，在单调递减，即在单调递减，且，存在，单调递增，单调递减，所以在有唯一零点，在没有零点，即

15、，的图象与曲线有1个交点，当时，则，则，所以在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得，所以，在单调递减，在单调递增，又，所以，又，所以在上有一个唯一的零点，在上有唯一的零点，所以当时，的图象与曲线有2个交点，当时，同，的图象与曲线有1个交点，当，的图象与曲线没有交点，所以的图象与曲线在上有4个交点，故D正确；故选：BCD20（2023全国高三专题练习）已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（）AB的周期为4CD【答案】AB【解析】的图像关于直线对称，的图像关于对称，又关于点中心对称，所以周期为4，所以正确而D错误；又，其中换得，再将换得，但无法得到 所以正确C错误.故选：

16、AB.21（2023全国高三专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（）ABCD【答案】BC【解析】方法一：对称性和周期性的关系研究对于，因为为偶函数，所以即，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，所以关于对称，由求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.方法二：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC.方法三：因为，均为偶函数，

17、所以即，所以，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解22（2023全国高三专题练习）定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正

18、确命题是（）A存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B函数的对称中心也是函数的一个对称中心C存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心D若函数，则【答案】BCD【解析】对于A.设三次函数，易知是一次函数，任何三次函数只有一个对称中心，故A不正确；对于B.由，得，由，得，函数的对称中心为，又由，得，的对称中心是函数的一个对称中心，故B正确；对于C.设三次函数，所以联立得，即当时，存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心，故C正确.对于D.，令，得，函数的对称中心是，设，所以所以，故D正确.故选:BCD.三、填空题23（2023全国高三专题练习）设的定义域为，且满足，若，则_.【答案

19、】2024【解析】因为，所以，由，得，有，可得，有，又由，可得，可知函数的周期为4，可得，有，因为，所以由得，所以，即，所以所以.故.故答案为：202424（2023全国高三专题练习）对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心_.【答案】【解析】因为，由于.即，.所以是的一个对称中心.故答案为：.25（2023全国高三专题练习）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数， 是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则_.【答案】【解析

20、】依题意得，令，得， 函数的对称中心为，则， ，故答案为.26（2023四川成都成都七中校考模拟预测）已知为数列的前n项和，数列满足，且，是定义在R上的奇函数，且满足，则_【答案】0【解析】，两式相减得，即，即数列是以为首项，3为公比的等比数列，.是定义在R上的奇函数，且满足，令，则，又f(x)，f(2x)f(x)，f(x4)f(x22)f(x2)f(x)f(x)，即f(x4)f(x)，即是以4为周期的周期函数.其中能被4整除，.故答案为：027（2023全国高三专题练习）已知定义域为的奇函数满足，当时，则函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为_【答案】14【解析】由于定义域为的奇函数满

21、足， 函数 为周期函数，且周期为8，当时，函数在区间上的零点的个数，即为函数 与 的交点的个数，作出函数 上的函数的图象，显然，当 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为 .28（2023全国高三专题练习）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则_【答案】【解析】因为函数满足对任意恒成立，所以令，即，解得，所以对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，将函数向右平移个单位得到，所以关于点，即为上的奇函数，所以，又对任意恒成立，令，得，即，再令，得，分析得，所以函数的周期为，因为，所以在中，令，得，所以.故答案为：.29（2023全国高三专题练习）已知是定义在上的函数，若对任意，都

22、有，且函数的图像关于直线对称，则_.【答案】3【解析】因为函数的图像关于直线对称，所以函数的图像关于直线对称，即函数是偶函数，则有；因为对任意，都有，令，得，所以对任意，都有，即函数的周期为，则，故答案为：.30（2023全国高三专题练习）已知定义在R上的函数和函数满足，且对于任意x都满足，则_【答案】5050【解析】由题意知：定义域为，可得：，为奇函数，又，则，可得：.故答案为：505031（2023全国高三专题练习）已知定义域为的奇函数，当x0时，有，则_【答案】0【解析】上的奇函数，则有，而当x0时，有，于是有，因，则有，所以.故答案为：032（2023全国高三专题练习）已知函数，若，则

23、_.【答案】2【解析】因为，对称轴为，所以的对称中心为，即，因为，所以在上单调递增，所以方程的解均有且只有一个，因为，所以关于对称中心对称，所以，故答案为：233（2023全国高三专题练习）已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称当时，则_.【答案】4【解析】的图象关于直线对称，又为奇函数，故，则，函数的周期，又，.故答案为：4.34（2023全国高三专题练习）若函数的图象关于直线对称，则_【答案】7【解析】由题意，即，所以，即，解得，此时，满足题意所以，故答案为：735（2023全国高三专题练习）已知函数，记与图像的交点横，纵坐标之和分别为与，则的值为_.【答案】.【解析】在和上都单调递减，且关于点成中心对称，在上单调递增，所以的图像也关于点成中心对称，所以与图像有两个交点且关于点对称，设这两个交点为、，则，所以，所以.故答案为：.