专题04 二次函数与角度有关的问题（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

1、 专题04 二次函数与角度有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。为此，我将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理【知识点梳理】类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CPy轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足MPO=POA的点M的坐标。分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个

2、、当M在OP上方时，由MPO=POA可知PM/OA,则M与C点重合。当M在OP下方时，MPO=POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的

3、解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当FAB=EDB时，求点F的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为及各定点坐标，第二问中的F有两种情况：x轴上方一个，x轴下方一个。在RtBDE中，可知tanEDB=，则tanFAB=，过F作x轴垂线，构造FAB所在直角三角形，接着通过设F点坐标，表示FH和AH长，根据tanFAB=列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F坐标，由于表示FH时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F就都求出来了。还可以从图形的角度发现一对反8的相似三角形，推出AF与BD是垂直关系，进而求出AF的直线表达式与抛物线表达式联立求出交点

4、F的坐标，这也是不错的方法。另一种是所求角的边不与坐标轴平行。例3:如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-x+bx+c 经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B（1）求抛物线的函数表达式；（2）x轴上有一点E（，0），连接CE，点D为直线AC上方抛物线上一动点，过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得CDF 中的某个角恰好等于AEC？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由。分析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=-x-x+2及各定点坐标。第二问要分类讨论，当CDF =AEC或是DCF =AEC时，先来讨论CDF =AEC的情

5、况。在RtCOE中，可知tanAEC=，当CDF =AEC 时，tanCDF=,即CF:DF=4：3，然后，在直角顶点F处构建一线三垂直模型，由CF:DF=4：3，设CF=3m,DF=4m，由CFHCAO可得FH=8m，同理DG=6m，由GI=HO=2-4m，可得DI=2+2m,从而写出D点坐标（-11m,2+2m）,将其代入抛物线表达式求得D点坐标。或是在A处作垂直构建一线三垂直模型，利用相似写出K点坐标，在求出CK直线表达式与抛物线表达式联立从而求出交点D 的坐标。当DCF =AEC 时,可用同样方法求出D点坐标。类型三：二倍角或半角的存在性问题（一） .二倍角的构造方法如图，已知，我们可

6、以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。（二） 半角的构造方法如图，已知，构造半角可以用下面两种方法：方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB至D，使得BD=BA，则，若AC、BC的长度已知，则容易求出tanD的值，从而进行相关计算。方法二：如图，直接做的角平分线BE，若AC、BC的长度已知，则容易求出tanEBC的值。 【典例分析】【类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题】【典例1】（2022菏泽）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（2，0）

7、、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC（1）求抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上的一动点，当PCBABC时，求点P的坐标【变式1】（2022秋大连月考）抛物线yx2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如图1，点P在抛物线上，PBABAO，求点P的坐标【类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题】【典例2】（2022秋大连月考）如图，抛物线yax2+2ax+c经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AC

8、、BC，在抛物线上是否存在点M，使ACMBCO，若存在，直接写出M点的坐标：若不存在，请说明理由【变式2】（2022秋瓦房店市月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx24x3与x轴交于A、B两点（点B在点A的左侧），抛物线对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F（1）求直线BC的解析式；（2）如图1，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与线段BC交于点E，连接AE，点P在抛物线上，若EACDAP，求点P的坐标【类型三：二倍角或半角的存在性问题】【典例3】（2022惠山区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，直线yx+3恰好经过B、

9、C两点（1）求二次函数的表达式；（2）点D是抛物线上一动点，连接DB、DC若BCD的面积为6，求点D的坐标；（3）设E是抛物线上的一个动点，连结AE，若BAE2ACB，求点E的坐标【变式3-1】（2022黄石）如图，抛物线yx2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， （2）连接AP，交线段BC于点D，当CP与x轴平行时，求的值；当CP与x轴不平行时，求的最大值；（3）连接CP，是否存在点P，使得BCO+2PCB90，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交与A、B两

10、点（点A在点B的左侧），且过点（-2，4）.（1）直接写出a的值和点B的坐标；（2）将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x轴交于M，N两点，两抛物线交于点P，求点M到直线PB的距离；（3）在（2）的条件下，若点D为直线BP上的一动点，是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【类型四：角度等于定值问题】【典例4】（2022盘锦）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4）点P在抛物线上，连接BC，BP（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于

11、点G，当PBC+CFG90时，求点P的横坐标【变式4-1】（2021内江）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点Q是y轴上的点，且ADQ45，求点Q的坐标【变式4-2】（2020淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（2，0），B，C三点的抛物线yax2+bx+（a0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD

12、上存在唯一的点Q，使得PQE45，求点P的坐标【变式4-3】（2022罗湖区校级一模）如图，已知抛物线yx2+bx+c交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QBA75？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由专题04 二次函数与角度有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求

13、。为此，我将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理【知识点梳理】类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CPy轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足MPO=POA的点M的坐标。分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP上方时，由MPO=POA可知PM/OA,则M与C点重合。当M在OP下方时，MPO=POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达

14、式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当FAB=EDB时，求点F的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为及各定点坐标，第二问中的F有两种情况：x轴上方一个，x轴下方一个。在RtBDE中，可知tanEDB=，则tanFAB=，过F作x轴垂线，构造FA

15、B所在直角三角形，接着通过设F点坐标，表示FH和AH长，根据tanFAB=列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F坐标，由于表示FH时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F就都求出来了。还可以从图形的角度发现一对反8的相似三角形，推出AF与BD是垂直关系，进而求出AF的直线表达式与抛物线表达式联立求出交点F的坐标，这也是不错的方法。另一种是所求角的边不与坐标轴平行。例3:如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-x+bx+c 经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B（1）求抛物线的函数表达式；（2）x轴上有一点E（，0），连接C

16、E，点D为直线AC上方抛物线上一动点，过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得CDF 中的某个角恰好等于AEC？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由。分析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=-x-x+2及各定点坐标。第二问要分类讨论，当CDF =AEC或是DCF =AEC时，先来讨论CDF =AEC的情况。在RtCOE中，可知tanAEC=，当CDF =AEC 时，tanCDF=,即CF:DF=4：3，然后，在直角顶点F处构建一线三垂直模型，由CF:DF=4：3，设CF=3m,DF=4m，由CFHCAO可得FH=8m，同理DG=6m，由GI=HO=2-4m，可得DI=

17、2+2m,从而写出D点坐标（-11m,2+2m）,将其代入抛物线表达式求得D点坐标。或是在A处作垂直构建一线三垂直模型，利用相似写出K点坐标，在求出CK直线表达式与抛物线表达式联立从而求出交点D 的坐标。当DCF =AEC 时,可用同样方法求出D点坐标。类型三：二倍角或半角的存在性问题（三） .二倍角的构造方法如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。（四） 半角的构造方法如图，已知，构造半角可以用下面两种方法：方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB

18、至D，使得BD=BA，则，若AC、BC的长度已知，则容易求出tanD的值，从而进行相关计算。方法二：如图，直接做的角平分线BE，若AC、BC的长度已知，则容易求出tanEBC的值。 【典例分析】【类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题】【典例1】（2022菏泽）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC（1）求抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上的一动点，当PCBABC时，求点P的坐标【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），解得：抛

19、物线的表达式为y+x+4；（2）当点P在BC上方时，如图，PCBABC，PCAB，点C，P的纵坐标相等，点P的纵坐标为4，令y4，则+x+44，解得：x0或x6，P（6，4）；当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，PCBABC，HCHB设HBHCm，OHOBHB8m，在RtCOH中，OC2+OH2CH2，42+（8m）2m2，解得：m5，OH3，H（3，0）设直线PC的解析式为ykx+n，解得：yx+4，解得：，P（，）综上，点P的坐标为（6，4）或（，）【变式1】（2022秋大连月考）抛物线yx2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）

20、如图1，点P在抛物线上，PBABAO，求点P的坐标【解答】解：（1）设直线AB的解析式为ykx+m，解得，yx+2，将A（4，0），B（0，2）代入yx2+bx+c，解得，yx2+x+2；（2）当BPx轴时，PBABAO，P（2，2）；设BP与x轴交于点Q，PBABAO，BQAQ，在RtBOQ中，BQ2OB2+OQ24+（4BQ）2，解得BQ，AQ，OQ，Q（，0），设直线BQ的解析式为ykx+b，解得，yx+2，联立方程组，解得（舍）或，P（，）；综上所述：P点坐标为（，0）或（，）【类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题】【典例2】（2022

21、秋大连月考）如图，抛物线yax2+2ax+c经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使ACMBCO，若存在，直接写出M点的坐标：若不存在，请说明理由【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入yax2+2ax+c得：，解得：，抛物线的解析式为：yx22x+3；（2）分两种情况：设M（x，x22x+3），如图，当CM交x轴于G时，BCOACM，ACGOCB，OCOA，OCAOAC45，BCM45，ACBBCM+ACG，BGCOAC+ACG，ACBBGC，CBGCBA，BCGBAC

22、，OB1，OC3，BC，设G（t，0），t，G（，0），同理可求得CG的解析式为：y2x+3，则，x22x+32x+3，x2+4x0，x（x+4）0，x10（舍），x24，当x4时，y5，M（4，5）；如图，当CM与x轴交于点N时，过B作BPAC于P，OAC45，ABP是等腰直角三角形，AB4，APBP2，AC3，CPACAP，BCOACM，ACBOCM，BPCCOA90，BCPNCO，NO6，N（6，0），同理可得NC的解析式为：yx+3，联立方程组得：，解得：x10，x2，因为点M在抛物线上，所以当x时，y，M（，），综上所述，存在点M（4，5）或（，），使得ACMBCO【变式2】（202

23、2秋瓦房店市月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx24x3与x轴交于A、B两点（点B在点A的左侧），抛物线对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F（1）求直线BC的解析式；（2）如图1，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与线段BC交于点E，连接AE，点P在抛物线上，若EACDAP，求点P的坐标【解答】解：（1）在yx24x3中，令x0得y3，令y0得x3或x1，A（1，0），B（3，0），C（0，3），设直线BC解析式为ykx+b，把B（3，0），C（0，3）代入得：，解得，直线BC的解析式为yx3；（2）过A作AC的垂线，交DE于G，交抛物线于P，如图：由yx24x3（x+2）2+1可得

24、顶点D（2，1），对称轴是直线x2，在yx3中，令x2得y1，E（2，1），F（2，0），A（1，0），AF1，DE2（1+1）24，AD2（1+2）2+（01）22，AE2（2+1）2+（10）22，AD2+AE2DE2，DAE90CAP，CAEDAP，即P是满足条件的点，FAG90OACOCA，GFA90AOC，FAGOCA，即，FG，G（2，），由G（2，），A（1，0）可得直线AG解析式为yx+，解得或，P的坐标为（，）【类型三：二倍角或半角的存在性问题】【典例3】（2022惠山区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，直线

25、yx+3恰好经过B、C两点（1）求二次函数的表达式；（2）点D是抛物线上一动点，连接DB、DC若BCD的面积为6，求点D的坐标；（3）设E是抛物线上的一个动点，连结AE，若BAE2ACB，求点E的坐标【解答】解：（1）令y0，则x3，B（3，0），令x0，则y3，C（0，3），将点B（3，0），C（0，3）代入yx2+bx+c，yx2+4x+3；（2）点D在直线BC上方时，过点D作DPx轴交AC于点P，设D（t，t2+4t+3），则P（t，t+3），DPt2+4t+3t3t2+3t，SBCDSCPDSPBDDP（t+3+t）（t2+3t）BCD的面积为6，（t2+3t）6，t1或t4，D（1，

26、8）或D（4，3）；当点D在直线BC下方时，SBCDSCPD+SPBDDP3（t23t）6，（t2+3t）6，此时t不存在，综上所述：D点坐标为（1，8）或（4，3）；（3）设E（m，m2+4m+3），过点A作AGBC交于点G，在BC上截取HCHA，B（3，0），C（0，3），OBOC，BC3，CBO45，x2+4x+30时，x1或x3，A（1，0），AB2，在RtABG中，BGAG，CG2，HCHA，GHA2ACB，在RtAGH中，HA2（CGHA）2+AG2，HA2（2HA）2+2，解得HA，HG，tanGHA，BAE2ACB，BAEGHA，解得m1（舍）或m或m，E点坐标为（，）或（，）

27、【变式3-1】（2022黄石）如图，抛物线yx2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， （2）连接AP，交线段BC于点D，当CP与x轴平行时，求的值；当CP与x轴不平行时，求的最大值；（3）连接CP，是否存在点P，使得BCO+2PCB90，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）令x0，则y4，C（0，4）；令y0，则x2+x+40，x2或x3，A（2，0），B（3，0）故答案为：（2，0）；（3，0）；（0，4）（2）CPx轴，C（0，4），P（1，4），CP1，AB5，CPx轴，如图，过点P作PQ

28、AB交BC于点Q，直线BC的解析式为：yx+4设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+4），Q（m2m，m2+m+4）PQm（m2m）m2+m，PQAB，（m）2+，当m时，的最大值为另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解（3）假设存在点P使得BCO+2BCP90，即0m3过点C作CFx轴交抛物线于点F，BCO+2PCB90，BCO+BCF+MCF90，MCFBCP，延长CP交x轴于点M，CFx轴，PCFBMC，BCPBMC，CBM为等腰三角形，BC5，BM5，OM8，M（8，0），直线CM的解析式为：yx+4，令x2+x+4x+4，解得x或x0（舍），存在

29、点P满足题意，此时m【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交与A、B两点（点A在点B的左侧），且过点（-2，4）.（1）直接写出a的值和点B的坐标；（2）将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x轴交于M，N两点，两抛物线交于点P，求点M到直线PB的距离；（3）在（2）的条件下，若点D为直线BP上的一动点，是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】（1）；B（3，0）（2）A（5，0）、M（3，0）、N（3，0）设点M到直线PB的距离为h，则=，h=（3）存在，理由：设，如图，过点B作的平分线BH交y轴于点H，过点H作HGPB于点G，设OH

30、=m，则HG=m，PH=4m，PG=PBBG=2，在RtPGH中，GH2+PG2=PH2，即m2+22=（4m）2，解得：m=tanHBO=，故直线AD的表达式为：同理直线PB的表达式为：联立并解得：，点D（）.【类型四：角度等于定值问题】【典例4】（2022盘锦）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4）点P在抛物线上，连接BC，BP（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当PBC+CFG90时，求点P的横坐标【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，4）两点代入y

31、x2+bx+c得，解得：，抛物线的解析式为：yx23x4；（2）如图，作CEl于E，PQBC于Q，PNx轴于N，连接PC交x轴于点H，设P（n，n23n4），PC的表达式为：ykx+d（k0），将P，C代入ykx+d（k0）得，解得：，PC的表达式为：y（n3）x4，将y0代入y（n3）x4得，0（n3）x4，即，SPCBSPHB+SHCB，PQBCPNHB+OCHB，由题可知，将代入yx23x4得，PBC+CFG90，PQBC，CEl，PBQFCE，CEFPQB，CEFPQB，解得：（舍去）点P的横坐标为，方法二：将CF绕点F顺时针旋转90得C，连接CC，作CEl于E，求出点C（），从而求出

32、直线CC的解析式，ECFBCCPBC，BPCC，求出直线BP的解析式与抛物线求交点即可【变式4-1】（2021内江）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点Q是y轴上的点，且ADQ45，求点Q的坐标【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，设抛物线的解析式为ya（x+2）（x6），D（4，3）在抛物线上，3a（4+2）（46），解得a，抛物线的解析式为y（x+2）（x6）x2+x+3，直线l

33、经过A（2，0）、D（4，3），设直线l的解析式为ykx+m（k0），则，解得，直线l的解析式为yx+1；（2）如图中，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AT，则T（5，6），设DT交y轴于点Q，则ADQ45，D（4，3），直线DT的解析式为yx+，Q（0，），作点T关于AD的对称点T（1，6），则直线DT的解析式为y3x9，设DQ交y轴于点Q，则ADQ45，Q（0，9），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，9）【变式4-2】（2020淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（2，0），B，C三点的抛物线yax2+bx+（a0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为

34、M，对称轴与x轴交于点E（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得PQE45，求点P的坐标【解答】解：（1）OA2BC，故函数的对称轴为x1，则x1，将点A的坐标代入抛物线表达式得：04a2b+，联立并解得，故抛物线的表达式为：yx2+x+；（2）（）当点Q在MD之间时，作PEQ的外接圆R，PQE45，故PRE90，则PER为等腰直角三角形，当在直线MD上存在唯一的点Q时，圆R与直线MD相切，点M、D的坐标分别为（1，3）、（4，0），则ME3，ED413，则MD3，过点R作RHME于点H，设点P（1，2m），则PHHEHRm，则

35、圆R的半径为m，则点R（1+m，m），SMEDSMRD+SMRE+SDRE，即EMEDMDRQEDyR+MERH，333m+3m3m，解得：m，故点P（1，）；（）当点Q与点D重合时，由点M、E、D的坐标知，MEED，即MDE45；当点P在x轴上方时，当点P与点M重合时，此时PQE45，此时点P（1，3），当点P在x轴下方时，同理可得：点P（1，3），综上，点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，3）【变式4-3】（2022罗湖区校级一模）如图，已知抛物线yx2+bx+c交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QBA75？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将A（3，0），B（4，0）两点代入yx2+bx+c，解得，yx2+x+4；（2）存在点Q，使得QBA75，理由如下：yx2+x+4（x）2+，抛物线的对称轴为x，在对称轴上取点M使QMMB，EMB2MQB，QBA75，MQB15，EMB30，MB2BE，B（4，0），E（，0），BE，BMQM7，ME，QE7+，Q（，7+）；Q点关于x轴对称的点为（，7）；综上所述：点Q的坐标为（，7+）或（，7）