专题04 导数研究函数零点个数和求参（解析版）.docx

1、导数章节知识题型全归纳专题04 导数研究函数零点个数和求参例：1已知曲线与曲线有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】将问题转化为与有且仅有两个交点，利用导数可求得的单调性和最值，由此可确定图象，利用数形结合的方式可求得的范围.【详解】与有且仅有两个公共点等价于方程在上有且仅有两个不等实根，时，令，可知与有且仅有两个交点，令，则，在上单调递增，又，当时，；当时，；当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；又时，；时，可得图象如下图所示：则当时，与有且仅有两个交点，即与有且仅有两个公共点.故选：A.【点睛】方法点睛：已知两函数交点个数，可将问题转化为根据函数零

2、点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2已知函数，则以下结论不正确个数的是（ ）在上单调递增方程有实数解存在实数，使得方程有4个实数解A1个B2个C3个D4个【答案】A【分析】对求导，由导函数的符号可判断的单调性，即可判断选项；由，以及的单调性即可判断选项；令，由零点存在定理可判断选项；等价于，有一个根为，所以原方程有4个根等

3、价于方程有个实数解，令，对求导判断单调性，作出函数图象，数形结合即可判断选项.【详解】由可得，由可得：，由可得：，所以在单调递减，在单调递增，故选项不正确；对于选项：，根据在单调递增，所以，故选项正确；对于选项：令，因为，根据零点存在定理可知存在使得，所以方程有实数解，故选项正确；对于选项：方程即，有一根为，所以原方程有4个根等价于方程有个实数解，令，则，令可得或，令可得，所以在和单调递增，在单调递减，作出的图形如图所示： 所以存在时，方程有个实数解，此时方程有4个实数解，故选项正确.故选：A【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的

4、范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.变式：1已知函数的图象过点，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用导数可确定的单调性和极值，由此得到的图象，将问题转化为与有个不同交点，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】，当和时，；当时，；在上单调递增，在，上单调递减，的极大值为，极小值为，且当时，当时，由此可得大致图象如下图：有个不同实数根等价于与有个不同的交点，由图象可知：，的取值范围为.故选：C【点睛】方法点睛：已

5、知方程根的个数求参数值或取值范围常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解2已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的个数为（ ）函数的值域为；函数在上递增，在上递减；的极大值点为，极小值点为；有两个零点.A0B1C2D3【答案】B【分析】根据导函数的图象可知，函数的单调性和最值点与极值点，从而可判断出四个叙述是否正确.【详解】根据导函数的图象可知，当时，

6、所以函数在上单调递增，当时，所以函数在上单调递减，当时，所以函数在上单调递增，故错误，正确，根据单调性可知，函数的最小值为或，最大值为或，故错误，当且时，函数无零点，故错误.故选：B.【点睛】本题考查了利用导函数的图象得函数的单调性、最值和极值，考查了函数的零点，属于基础题.4.1导数研究函数零点个数证明：例：1已知函数.（1）判断函数f(x)在上的零点个数，并说明理由；【答案】（1）有1个零点，理由见解析；（2）.【分析】（1）方法一：将区间分成两段，分别讨论函数f(x)的单调性及零点情况;方法二：将函数分离成两个函数，作出和的图象数形结合判断两个函数的交点情况，进而判断函数的零点个数；（2

7、）构造函数，根据题意，只需，求导判断函数的单调性，求出最小值，列出不等式求得实数m的取值范围.【详解】（1）解法一：由题意得，当时，易得函数单调递增，而，故，当时，；当时，而，函数f(x)在上无零点；当时，函数f(x)在上单调递增，而，函数f(x)在上有1个零点.综上所述，函数f(x)在上有1个零点.2已知函数（1）判断函数的单调性，并证明有且仅有一个零点：【答案】（1）在上单调递增；证明见解析；（2）【分析】（1）求导，易知，则在上单调递增然后由零点存在定理证明；（2）将，转化为，令，用导数法求得其最小值即可.【详解】（1），由，可知有，故在上单调递增因为，所以函数有唯一零点，且3函数.（1

8、）求证：有且仅有两个极值点；【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）证明方程有两个变号的根即可；（2）利用韦达定理和条件，求出或，再进行分类讨论，根据三次函数的图象特征得到不等式组，进而求得的取值范围；【详解】（1）证明：由题意可得，令，得方程，恒成立，所以有两个根，不妨假设为，且，所以当，单调递增；当，单调递减；当，单调递增；故有两个极值点；变式：1设函数，（为参数）（1）当时，求的单调区间，并证明有且只有两个零点；【答案】（1）在和单调递增，在单调递减；证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）当时，且，得在和单调递增，在单调递减，且，由零点存在定理可得结论；2已知函数.

9、（1）求证：当时，函数存在唯一的极小值点；【答案】（1）证明见解析；（2）的值为0.【分析】（1）当时，求导得，再研究函数单调性与零点即可证明；（2）根据题意设切点为，故结合切点在切线上，也在曲线上，且切点处的导数值为切线斜率列方程求解即可得答案.【详解】（1）当时，.因为，所以在R上为增函数，又因为，所以由零点存在性定理得，存在，使得，当时，单调递减；当时，单调递增，当时，取得极小值，所以当时，函数存在唯一的极小值点.3已知函数，.（1）证明：有且仅有一个零点；【答案】（1）证明见解析；（2）有最小值，值域为.【分析】（1）易得，时， ，函数无零点，当时，单调递增，再根据零点存在性定理即可得

10、答案；（2）求导得，进而结合（1）的单调性与，可知存在唯一，使，即，此时，进而令，求其值域即可.【详解】（1），时，显然有，函数无零点；又，时，单调递增又，即，故存在唯一的，使，综上可知，函数有且仅有一个零点.(备注：亦可用放缩取点，如，用此法需证，其他取点方法合理即可)4函数.（1）讨论函数的极值；（2）当时，求函数的零点个数.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）求得，分和两种情况，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；（2）由（1）得到当时，的单调性和极小值，结合与的关系，三种情况讨论，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，当时，在上为单调增函数，此时无极

11、值；当时，令，解得，所以在上为单调增函数，令，解得，在上为单调减函数，所以当时，函数取得极小值，无极大值.综上所述：当时，无极值，当时，无极大值.（2）由（1）知当时，在上为单调增函数，在上为单调减函数，且，又由，若时，；若时，；当，即时，无零点；当，即时，有1个零点；当，即时，有2个零点.综上：当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点.5已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）令，当时，证明函数有2个零点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导数，可得切线斜率，由点斜式写出切线方程交化简；（2）首先，然后求，设，再求，时，由的正负确定的单调性，得的正负，从而得的

12、单调性，证明无零点，时由，由不等式的性质证明无零点，在时证明有唯一零点由的单调性得在唯一零点，可证得在有唯一零点，在无零点，从而得证【详解】（1）（2）当时，是的一个零点，由，设，则.因为，当时，在单调递增，在单调递增，此时在无零点当时，有，此时在无零点.当时，在单调递增，又，由零点存在性定理知，存在唯一，使得.当时，在单调递减；当时，在单调递增；又，所以在上有1个零点.综上，当时，有2个零点【点睛】关键点点睛：本题考查屦的几何意义，考查用导数研究函数的零点问题零点问题的解题关键是求出导数后，设，对再求导得，利用的正负确定的单调性，由的单调性得的零点及正负，从而确定的单调性，然后结合零点存在定

13、理得零点个数4.2导数中的极值点偏移问题：例：1已知函数，.（1）若方程存在两个不等的实根，求a的取值范围；（2）满足（1）问的条件下，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）将，转化为，即函数T(x)与直线ya在(0，)上有两个不同交点求解；另解：求导，分 ，讨论求解；(2)根据x1，x2是ln xax10的两个根，得到a， 将证x1x21，即ln x1ln x20，转化为证，进而转化为ln0)，故当x(0，1)时，T(x)0；当x(1，)时，T(x)0，故T(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以T(x)maxT(1)1.又，故当x时，T(x)0.可得a(0

14、，1). 另解：则：，当时，恒成立，不满足题意； 当时，单调递减，则，当 综上：(2)证明：， 因为x1，x2是ln xax10的两个根，故ln x1ax110，ln x2ax210a， 要证h(x1x2)1，即证ln x1ln x20，即证(ax11)(ax21)0，即只需证明 成立，即证.不妨设0x1x2，故ln0，则h(t)在(0，1)上单调递增，则(t) (1)0，故（*）式成立，即要证不等式得证.【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决2已知函数.（1）讨论函数的

15、单调性；（2）当时，若关于的方程有两个实数根，且，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，对分和两种情况讨论；（2）根据题意，得，两式相减得，即，令，构造函数即可证明.【详解】解：（1）因为，所以，当时，对任意的成立当时，令，得；令，得综上，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.证明：（2）当时，方程，即为.根据题意，得，两式相减得，即，故，所以，即，令，则，设，则，因为，所以，所以在区间上单调递增.又当时，所以当时，即，所以当时，即.【点睛】关键点点睛：对（2）问两式相减所得，利用齐次化构造得是本题的解题关键.3已知函

16、数（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数在最大值；（2）当时，设函数的两个零点为，试证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）根据曲线在处的切线与直线垂直，利用导数的几何意义求得函数，然后再求极大值；（2）易得，构造，利用导数可得在递增，即在恒成立，则，然后利用在的单调性证明【详解】（1）函数的定义域为，在处的切线与直线垂直，由（负值舍去），所以函数在上单调递增，在单调递减，故有最大值（2）当时，函数在单调递增，在单调递减且，故函数的两个零点为满足，令，在（0，1）恒成立，F(x)在（0，1）递增，在（0，1）恒成立，又，又在单调递减，即【点睛】方法点睛：对称法解决极值点偏移的基本

17、原理是利用函数的单调性，把要证明的 （ 是极值点）转化为证明 ，再转化为 （根据单调性不同， 表示不同的大小关系），又根据 ，可以转化为证明 ，而 是固定的， 是变量，这样就把一个双变量不等式转化为了单变量不等式，从而以 为未知量来构造函数证明不等式即可.变式：1.已知函数有两个零点，.（1）求a的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】有两个零点有两个相异实根，令，利用导数研究其单调性，根据的最值和图象确定a的取值范围； 不妨设,将要证不等式转化为，由题意得,两式相加减后再消去得到关于的函数表达式，进一步转化为证明，令，利用导数研究其单调性进而可证明.【详解】(1)

18、有两个零点有两个相异实根令，则由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，又，当时，当时，当时，有两个零点时，实数a的取值范围为（2）不妨设,由题意得, ，,，要证：，只需证.，令，只需证，只需证：.令,，在递增，成立.综上所述，成立【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于常规题目关键难点是（2）中的消元换元转化为，并构造函数，利用导数进行证明.2已知函数（）.（1）若，求函数在处的切线；（2）若有两个零点，求实数的取值范围，并证明：.【答案】（1）；（2），证明见解析.【分析】（1）求得时的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的斜

19、截式方程可得所求切线的方程；（2）设函数，与函数具有相同的零点，求得导数和单调性，可得的范围，由题意可得（1），解得的范围；方法一、构造函数，求得导数，判断单调性，即可得证；方法二、运用分析法证明，结合导数的运用，求单调性和最值，即可得证【详解】（1）的导数为，则函数在处的切线斜率为，又切点为，则切线的方程为，即；（2）设函数，与函数具有相同的零点，知函数在上递减，上递增，当，；可证当时，即，即此时，当时，有两个零点，只需（1），即；证明：方法一：设函数，则，且对恒成立即当时，单调递减，此时，（1），即当时，由已知，则，则有由于函数在上递增，即，即方法二：故设，则，且，解得，要证：，即证明，即

20、证明，设，令，则，在上单调增，（1），在上单调增，则（1）即时，成立，【点睛】关键点点睛：求函数的切线方程，利用导数求出切线的斜率，根据点斜式求解；利用导数求出函数的最值，根据函数不等式恒成立可转化为不等式证明，考查方程思想和转化思想、构造法，以及化简运算能力、推理能力，属于难题3已知函数（1）当时，判断函数的单调性；（2）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明【答案】（1）在上单调递增；（2），证明见解析.【分析】（1）对求导，根据的符号得出的单调性；（2）由题意可知有两解，求出的过原点的切线斜率即可得出的范围，设，根据分析法构造关于的不等式，利用函数单调性证明不等式恒成立即可【详解】（1）时，故，在上单调递增（2）由题意可知有两解，设直线与相切，切点坐标为，则，解得，即实数的取值范围是不妨设，则，两式相加得：，两式相减得：，故，要证，只需证，即证，令，故只需证在恒成立即可令，则，在上单调递增，即在恒成立【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与不等式的关系，构造关于的不等式，还考查了转化化归的思想、分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题