专题05 解析几何-【大题精做】冲刺2023年高考数学大题突破 限时集训（新高考专用）（原卷版）.docx

1、专题05 解析几何解析几何一般作为解答题21题或者是22题形式出现。一般作为压轴题或者是次压轴题出现，难度较大。1 与原有关问题（蒙日圆，阿氏圆等）2 面积问题3 齐次化解决直线定点问题4 一般的定值问题5 非对称问题6 探究性问题7 切线问题与阿基米德三角形问题8 极点极限与调和点列，蝴蝶模型问题9 不联立问题10 与其他知识点交叉问题蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，该圆称为蒙日圆，其半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根，具体结论及证明如下：结论一：曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：结论二：双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨

2、迹是圆结论三：抛物线的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上题型一： 与原有关问题（蒙日圆，协同圆等）例题1 已知椭圆0)称圆心在原点，半径为的圆为椭圆的“准圆”若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为(1)求椭圆的方程及其“准圆”方程(2)点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明求证：线段的长为定值【解析】(1)依题意可得，(2)证明：由(1)题可得，设切线方程为：联立，消去可得，整理可得，解得设直线PM：，直线，即设，直线则，消去可得即整理得同理，设切线的斜率为，则有在“准圆”上，为“准圆”的直径为定值，1

3、公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在平面轨迹一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点，距离之比为且的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆(1)已知两定点，若动点满足，求点的轨迹方程；(2)已知，是圆上任意一点，在平面上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由；(3)已知是圆上任意一点，在平面内求出两个定点，使得恒成立只需写出两个定点，的坐标，无需证明题型二：面积问题1 已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.(1)求轨迹

4、C的方程；(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，求的面积.【答案】(1)（）(2)【详解】（1）设动点，由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动.， ，动点在右侧，有，同理有，四边形的面积为8，即 ，所以所求轨迹C方程为（）.（2）如图，设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，则或，同时或，解得或.，解得或（舍去）. 时，直线的方程为，联立，消y得：，则或，得. 直线的方程为，联立，消y得：，则或，得，点Q到直线的距离，.方法二： ， ，则，.1 已知椭圆离心率为，经过的左焦点斜率为1的直线与轴正半轴

5、相交于点，且.(1)求的方程；(2)设M，N是上异于的两点，若，求面积的最大值.题型三：齐次化解决定值定点问题1 已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（）求C的方程；（）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.【答案】(1) .(2)证明见解析.解题方法一：试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：

6、x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）解题方法二：齐次化处理：1已知椭圆C：的离心率为，且过点（1）求的方程：（2）点，在上，且，为垂足证明：存在定点，使得为定值题型四：一般的定值定点问题1已知为双曲线的左右焦点，的一条渐近线方程为为上一点，且(1)求的方程；(2)设点在坐标轴上，直线与交于异于的两点，为的中点，且，过作，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标以

7、及的长度；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)存在；点， 为定值【详解】（1）由题意，在双曲线中，渐近线方程为，由条件可知根据双曲线的定义可知，则，（2）由题意及（1）得，在中，点在双曲线的左支上，当点在坐标轴上，则点的坐标为，设，当的斜率存在时，设的方程为，联立，整理得，则，为的中点，且，则，整理得，解得或，验证均满足当时，直线的方程为，则直线过点，不合题意，舍去；当时，直线的方程为，则直线过定点，符合题意当直线的斜率不存在时，由，可设直线的方程为，联立，解得，所以直线的方程为：，则直线过定点，是以为斜边的直角三角形，点在以为直径的圆上，则当为该圆的圆心时，为该圆的半径，即，故存在点，使

8、得为定值1 已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为4(1)求的方程；(2)过点的直线与双曲线交于，两点（异于点）设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值类型五 非对称问题1 已知椭圆的长轴长为6，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且，记直线AM，BN的斜率分别为，且,求直线的方程.（1）（2）（1）由题意，可得，联立解得，.（2）如图，由（1）知，方程为，直线与椭圆的另一个交点为，根据对称性可得，联立，整理得，即，联立解得，直线的方程为，即.1 已知椭

9、圆过点，且（）求椭圆C的方程：（）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点求的值类型六 探究性问题1 已知双曲线的左右焦点分别为，点在直线上且不在轴上，直线与双曲线的交点分别为A，B，直线与双曲线的交点分别为C，D(1)设直线和的斜率分别为，求的值；(2)问直线l上是否存在点P，使得直线OA，OB，OC，OD的斜率，满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由解析：(1)(2)存在，或（1）设，则，所以；（2）假设直线l上存在点，设设，同理，由，得得或，当时，由（1）得，得，当时，由（1）得，或，得所以或1 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，两动点满足，向量与共线

10、.(1)求的顶点的轨迹方程；(2)若过点的直线与（1）的轨迹相交于两点，求的取值范围.(3)若为点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.类型七 切线问题与阿基米德三角形问题抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形阿基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明 如下结论：抛物线与阿基米德三角形定理：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二下面来逐一介绍阿基米德三角形的一些推论:如图，已知是抛物线准线上任意一点，过作抛

11、物线的切线、分别交抛物线于、两点，为 中点，则：1.若过焦点，则的端点的两条切线的交点在其准线上2.阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即3.过抛物线的焦点4.5.阿基米德三角形面积的最小值为1 如下图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，（）设线段的中点为；（）求证：平行于轴；（）已知当点的坐标为时，求此时抛物线的方程；（）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（）（）证明见解析；（）或；（）仅存在一点适合题意.【分析】（）（）设出的坐标，利用导数求得切线的方程

12、，结合是线段的中点进行化简，得到两点的横坐标相等，由此证得平行于轴.（）利用列方程，解方程求得，进而求得抛物线方程.（）设出点坐标，由点坐标求得线段中点的坐标，由直线的方程和抛物线的方程，求得点的坐标，由此进行分类讨论求得点的坐标.【详解】（）（）证明：由题意设，由得，则，所以，因此直线的方程为，直线的方程为所以，由、得，因此，即，也即.所以平行于轴（）解：由（）知，当时，将其代入、并整理得：，所以，是方程的两根，因此，又，所以由弦长公式的又，所以或，因此所求抛物线方程为或（）解：设，由题意得，则的中点坐标为，设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得若在抛物线上，则，因此或即

13、或（1）当时，则，此时，点适合题意（2）当，对于，此时，又，所以，即，矛盾对于，因为，此时直线平行于轴，又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意得点综上所述，仅存在一点适合题目如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为（）求证：三点的横坐标成等差数列；（）已知当点的坐标为时，求此时抛物线的方程；yxBAOM（）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由类型八 极点极限 调和点列 蝴蝶模型 1. 极点和极线的几何定义如图,为不在圆锥曲线上的点, 过点引两条割线依次交

14、圆锥曲线于四点, 连接交于, 连接交于, 我们称点为直线关于圆锥曲线的极点, 称直线为点关于圆锥曲线的极线. 直线交圆锥曲线于两点, 则为圆锥曲线的两条切线. 若在圆锥曲线上, 则过点的切线即为极线.(1) 自极三角形：极点 一一极线；极点 一一极线 极点 一一极线; 即中, 三 个顶点和对边分别为一对极点和极线, 称为“自极三角形”.(2) 极点和极线的两种特殊情况(1)当四边形变成三角形时：曲线上的点对应的极线, 就是切线;(2)当四边有一组对边平行时, 如：当时, 和的交点落在无穷远处; 点的极线 和点的极线 满足:2. 极点和极线的代数定义对于定点与非退化二次曲线 过点作动直线与曲线交

15、于点与点 , 那么点关于线段的调和点的轨迹是什么?可以证明: 点在一条定直线 上，如下图. 我们称点为直线关于曲线的极点; 相应地, 称直线为点关于曲线的极线.一般地, 对于圆锥曲线 设极点, 则对应的极线为【注】替换规则为:(1) 椭圆的三类极点极线(1)若极点在椭圆外, 过点作橢圆的两条线, 切点为, 则极线为切点弦所在直线(2)若极点在椭圆上, 过点作椭圆的切线, 则极线为切线;(3)若极点在橢圆内, 过点作椭圆的弦, 分别过作椭圆切线, 则切线交点轨迹为极线由此可得椭圆极线的几何作法:(2) 对于双曲线, 极点对应的极线为(3) 对于拋物线, 极点对应的极线为.3. 极点和极线的性质(

16、1) 引理: 已知椭圆方程为, 直线的方程为, 点不与原点重合. 过点作直线交椭圆于两点,点在直线上，则“点在直线上的充要条件是调和分割 , 即.1 设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0) 过点 M(2,1), 且左焦点为 F1(2,1).(1) 求敉圆 C 的方程; (2) 当过点 P(4,1) 的动直线 l 于椭圆 C 相交于两不同点 A,B 时, 在线段 AB 上取点 Q, 满足|AP|QB|=|AQ|PB|, 证明：点 Q 总在某定直线上.【答案】 (1) x24+y22=1; (2) 见解析.【解析】（1）由题意得：，解得，所求椭圆方程为x24+y22=1. (2) 解法 1:

17、 定比点差法设点 Q、A、B 的坐标分别为 (x,y),x1,y1,x2,y2由题设知 |AP|,|PB|,|AQ|,|QB| 均不为零, 记 =|AP|PB|=|AQ|QB|, 则 0 且 1又 A,P,B,Q 四点共线, 从而 AP=PB,AQ=QB于是 4=x1x21,1=y1y21,x=x1+x21+,y=y1+y21+,从而: 4x=x122x2212 (1) y=y122y2212. (2)又点 A、B 在椭圆 C 上，即:x12+2y12=4 (3)x22+2y22=4 (4)(1)+(2) 2, 并结合(3)(4)得 4x+2y=4,即点 Q(x,y) 总在定直线 2x+y2=

18、0 上.解法 2：构造同构式设点 Q(x,y),Ax1,y1,Bx2,y2,由题设知 |AP|,|PB|,|AQ|,|QB| 均不为零, 记 =|AP|PB|=|AQ|QB|,又 A,P,B,Q 四点共线, 可设 PA=AQ,PB=BQ(0,1)于是 x1=4x1y1=1y1 (1), x2=4+x1+y2=1+y1+ (2)由于 Ax1,y1,Bx2,y2 在椭圆 C 上, 将(1)(2)分别代入 C 的方程 x2+2y2=4,整理得: x2+2y2424(2x+y2)+14=0 (3)x2+2y242+4(2x+y2)+14=0 (4)(4)-(3)得: 8(2x+y2)=0,0,2x+y

19、2=0,即点 Q(x,y) 总在定直线 2x+y2=0 上.解法 3：极点极线由 |AP|QB|=|AQ|PB| 可得 APPB=AQQB,说明点 P,Q 关于桞圆调和共轭, 点 Q 在点 P 对应的极线上,此极线方程为 4x4+1y2=1, 化简得 2x+y2=0.故点 Q 总在直线 2x+y2=0 上.如图, 过直线 l:5x7y70=0 上的点 P 作椭圆 x225+y29=1 的切线 PM 和 PN, 切点分别为 M,N, 连结 MN.(1) 当点 P 在直线 l 上运动时, 证明：直线 MN 恒过定点 Q;(2) 当 MN/l 时, 定点 Q 平分线段 MN.蝴蝶定理（Butterf

20、ly Theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一.这个命题最早出现在1815年,由W.G.霍纳提出证明.【蝴蝶定理】M是O中弦AB的中点,过点M的两条弦CD,EF,连接DE,CF交AB于P,Q两点,则 M是线段PQ的中点.问题中的图形酷似圆中翩翩起舞的蝴蝶,因此而被冠之“蝴蝶定理.蝴蝶定理还可以推广到椭圆,甚至双曲线与抛物线中.例题 .如图,O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距等于其长半轴长,M,N为椭圆C的上、下顶点,且|MN|=23.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(0,1)作直线l交椭圆C于异于M,N的A,B两点,直线AM,BN交于点T.求证：点T的

21、纵坐标为定值3类型九 不联立问题1 已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0（1）求的斜率；（2）若，求的面积解析：（1）设，由点都在双曲线上，得，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.因为直线的斜率之和为，即，所以，由得. 由得. 由-，得，从而，即的斜率为.1 已知椭圆C：的离心率为，且过点（1）求的方程：（2）点，在上，且，为垂足证明：存在定点，使得为定值类型十 与其他知识点交叉问题某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，选择适当的平面直角坐标系.(1)求此双曲线的方程；(2)定

22、义：以（1）中求出的双曲线的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线叫做的共轭双曲线，求双曲线的方程；(3)对于（2）中的双曲线的离心率分别为，写出与满足的一个关系式，并证明.【答案】(1)(2)(3)（1）以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由题意知，所以，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为.（2）以（1）中求出的双曲线的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线为.（3）与满足的一个关系式为，证明如下，双曲线的半焦距，所以双曲线的离心率为，双曲线的半焦距，所以双曲线的离心率为，所以，所以与满足的一个关系式为.1 在平面直角坐标系中，对于直线和点、

23、，记，若，则称点、被直线分隔，若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点、被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线(1)判断点是否被直线分隔并证明；(2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线1（2022北京海淀校考模拟预测）椭圆C：的右顶点为，离心率为(1)求椭圆C的方程及短轴长；(2)已知：过定点作直线l交椭圆C于D，E两点，过E作AB的平行线交直线DB于点F，设EF中点为G，直线BG与椭圆的另一点交点为M，若四边形BEMF为平行四边形，求G点坐标2（2022北京统考模拟预测）如图所示，

24、过原点O作两条互相垂直的线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，连接AB，交y轴于点P(1)求点P的坐标；(2)证明：存在相异于点P的定点T，使得恒成立，请求出点T的坐标，并求出面积的最小值3（2023湖北武汉统考模拟预测）过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线.(1)求抛物线的标准方程；(2)设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为.（i）求直线的斜率；（ii）设面积为，求的最大值.4（2022江苏南京模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线，为C上两点，且，分别在第一、四象限直线与x正半轴交于，与y负半轴交于(1)若，求横坐标的取值范围；(2)记的重心为G，直线，的斜

25、率分别为，且若，证明：为定值5（2023河北校联考三模）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，斜率为的直线与相切于点，且与不垂直，为的中点.（1）若，求；（2）若直线过，求.6（2023山东泰安统考一模）已知椭圆：的左，右焦点分别为，离心率为，是椭圆上不同的两点，且点在轴上方，直线，交于点.已知当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)求证：点在以，为焦点的定椭圆上.7（2023河北邢台校联考模拟预测）已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为4(1)求的方程；(2)过点的直线与双曲线交于，两点（异于点）设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值8（

26、2023重庆统考二模）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且相交于点，相交于点，以，为直径的圆，圆为圆心的公共弦所在的直线记为(1)若，求；(2)若，求点到直线的距离的最小值9（2023广东校联考模拟预测）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为点，直线：(1)证明：直线与椭圆相交于两点，且每一点与的连线都是椭圆的切线；(2)若过点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，求证：一、解答题1（2022全国统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足证明：直线HN过定点2

27、（2022全国统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线AB的方程3（2022全国统考高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0(1)求l的斜率；(2)若，求的面积4（2022全国统考高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：M在上；注：若选择不同

28、的组合分别解答，则按第一个解答计分.5（2021全国统考高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值6（2021全国统考高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且已知点，且与l相切（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切判断直线与的位置关系，并说明理由7（2021全国统考高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.8（2021全国统考高考真题）已知椭圆C的

29、方程为，右焦点为，且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切证明：M，N，F三点共线的充要条件是9（2020全国统考高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.10（2020山东统考高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点（1）求的方程：（2）点，在上，且，为垂足证明：存在定点，使得为定值11（2022北京统考高考真题）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值12（2022浙江统考高考真题）如图，已知椭圆设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)求的最小值