专题06 分式方程及其应用（10个高频考点）（举一反三）（全国版）（解析版）.docx

1、专题 06分式方程及其应用（10 个高频考点）（举一反三）【考点 1 分式方程的定义】.1【考点 2 分式方程的解】.3【考点 3 解分式方程】.5【考点 4 换元法解分式方程】.7【考点 5 分式方程的增根】.10【考点 6 分式方程的无解】.12【考点 7 不等式与分式方程的综合】.15【考点 8 分式方程中的新定义问题】.19【考点 9 由实际问题抽象出分式方程】.21【考点 10 分式方程的应用】.23 【要点 1 分式方程的定义】分母中含有未知数的方程叫做分式方程。【考点 1 分式方程的定义】【例 1】（2022贵州贵阳二模）下列关于的方程，是分式方程的是（）A2 3=5 B12 1

2、3 =5 C=3+2 D12+=1 2【答案】D【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断【详解】解：方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；方程分母中不含表示未知数的字母，是常数，故不是分式方程，不符合题意；方程分母中含未知数，故是分式方程，符合题意 故选：D【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）【变式 1-1】（2022四川省内江市第六中学二模）下列方程中，不是

3、分式方程的是（）A+1=3 B1=2 C4=54 D2143=12【答案】D【分析】根据分式方程的定义逐项判断分母中是否含有未知数即可.【详解】A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；C、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；D、分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握定义是关键.【变式 1-2】（2022河南省淮滨县第一中学模拟预测）下列方程：1+1=；+12 3=0；21+31=3；+=1（,为已知数），其中分式方程有（）A1个 B2个 C3个 D4个

4、【答案】B【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程；【详解】解：观察各方程的分母，只有分母中含有未知数，而中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程是分式方程，方程均属于整式方程 故选：B【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键【变式 1-3】（2022全国九年级专题练习）在下列方程组中，（）是分式方程 A211 B23=2 C1+2=3 D(+23)(45 6)=7【答案】A【分析】根据分式方程定义进行解答即可【详解】A、是分式方程，故此选项符合题意；B、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意；C、不是分式方程，故此选项不符合题意；D、

5、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意；故选：A【点睛】此题主要考查了分式方程，关键是掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程【考点 2 分式方程的解】【例 2】（2022浙江宁波市鄞州实验中学模拟预测）在正实数范围内，只存在一个数是关于 x 的方程2+31=3+的解，求实数 k 的取值范围.【答案】=338 或 k-4 或 k-3【分析】分四种情况讨论：原方程去分母化为22 3 (+3)=0（1）当=0时，(3)2 4 2(+3)=8+33=0，得到=338，方程有两个相同的正实根，原方程只存在一个正实数解；（2）原方程的增根=1是方程22 3 (+3)=0的一个根，代入得到2 12 3

6、 1 (+3)=0，得到=4代入方程有另一正实数解，原方程只存在一个正实数解；（3）当方程有异号二实根时，根据根与系数的关系12=32 3，原方程只有一个正实数根；（4）当方程有一个根为 0 时，推出=3，原方程只有一正实数根【详解】解：原方程可化为22 3 (+3)=0，（1）当=(3)2 4 2 (+3)=8+33=0时，=338，1=2=322=34，符合题意；（2）当=1是方程的根时，2 12 3 1 (+3)=0，=4，此时方程为，22 3+1=0，解得另一个根为=12，故原方程也只有一根=12；（3）当方程有异号实根时，12=32 3，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程有一

7、个根为 0 时，=3，另一个根为=32，此时原方程也只有一个正实根 综上所述，满足条件的 k 的取值范围是：=338 或=4或 3【点睛】本题主要考查了分式方程的解与字母系数的关系，解决问题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，增根的定义和特点，根据根的情况确定字母系数的取值，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，分类讨论【变式 2-1】（2022黑龙江中考真题）已知关于的分式方程+321=1的解为非负数，则的取值范围是（）A 4 B 4且 3 C 4 D 4且 3【答案】B【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解【详解】解：由关于的分式方程+321=1可得：=+4

8、2，且 12，方程的解为非负数，+42 0，且+4212，解得：4且 3，故选 B【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键【变式 2-2】（2022黑龙江齐齐哈尔中考真题）若关于 x 的分式方程12+2+2=+224的解大于 1，则 m 的取值范围是_【答案】m 0 且 m1【分析】先解分式方程得到解为=+1，根据解大于 1 得到关于 m 的不等式再求出 m 的取值范围，然后再验算分母不为 0 即可【详解】解：方程两边同时乘以(+2)(2)得到：+2+2(2)=+2，整理得到：=+1，分式方程的解大于 1，+1 1，解得

9、：0，又分式方程的分母不为 0，+1 2且+1 2，解得：1且 3，m 的取值范围是 m 0 且 m1 故答案为：m 0 且 m1【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为 0 这个隐藏条件【变式 2-3】（2022四川达州中考真题）若分式方程21 4=2+1 的解为整数，则整数=_【答案】1【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值【详解】解：21 4=2+1，2 1 2+1=4(2 )(+1)(2)(1)(1)(+1)=4 整理得：=2 若分式方程21 4=2+1 的解为整数，为整数，当=1时，解得：=2，经检验：1 0,+1 0成

10、立；当=2时，解得：=1，经检验：分母为 0 没有意义，故舍去；综上:=1，故答案是：1【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验【要点 2分式方程的解法】将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为 1 或其它解法）；检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。【考点 3 解分式方程】【例 3】（2022辽宁营口中考真题）分式方程3=22的解是（）A=2 B=6 C=6 D=2【答案】C【分析】先去分母，

11、去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可【详解】解：3=22，去分母，得3(2)=2，去括号，得3 6=2，移项，得3 2=6，所以=6 经检验，=6是原方程的解 故选：C【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键【变式 3-1】（2022湖南永州中考真题）解分式方程2 1+1=0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是_【答案】(+1)【分析】根据解分式方程的方法中确定公分母的方法求解即可【详解】解：分式方程2 1+1=0的两个分母分别为 x，(x+1)，最简公分母为：x(x+1)，故答案为：x(x+1)【点睛】题目主要考查解分式方程中确定公分母的方法，熟练掌握解分

12、式方程的步骤是解题关键【变式 3-2】（2022浙江台州中考真题）如图的解题过程中，第步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是_ 先化简，再求值：34+1，其中=解：原式=34 (4)+(4)=3 +4=1【答案】5【分析】根据题意得到方程34+1=1，解方程即可求解【详解】解：依题意得：34+1=1，即34+2=0，去分母得：3-x+2(x-4)=0，去括号得：3-x+2x-8=0，解得：x=5，经检验，x=5 是方程的解，故答案为：5【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验【变式 3-3】（2022山东威海中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出 y 的值

13、是 2，则输入 x 的值是 _ 【答案】1【分析】根据程序分析即可求解【详解】解：输出 y 的值是 2，上一步计算为2=1+1或2=2 1 解得=1（经检验，=1是原方程的解），或=32 当=1 0符合程序判断条件，=32 0不符合程序判断条件 故答案为：1【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键【考点 4 换元法解分式方程】【例 4】（2022浙江衢州二模）用换元法解分式方程2+13(2+1)+1=0，如果设2+1=，那么原方程化为关于的整式方程是（）A32+3 1=0 B32 3 1=0 C32 +1=0 D32 1=0【答案】A【分析】由2+1=，原方程可化为 13+1=0，去

14、分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案【详解】解：设2+1=，分式方程2+13(2+1)+1=0可化为 13+1=0，化为整式方程：32+3 1=0，故选：A【点睛】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法及正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键【变式 4-1】（2022贵州仁怀市教育研究室二模）用换元法解方程2 2+6+92 6=0时，可以令=_，得到关于的方程是_【答案】3（答案不唯一）2 2=0（答案不唯一）【分析】利用完全平方公式将2 2+6+92 6=0变形为(3)2 2(3)=0，令=3或=3 ，进入换元即可【详解】解：2 2+6+92 6=0，(2 6+92)(2 6)=0，

15、(3)2 2(3)=0，令=3，可得2 2=0；令=3 ，可得()2 2()=0，即2+2=0 故答案为：3，2 2=0或3 ，2+2=0【点睛】本题考查换元法解方程，利用完全平方公式将原式变形为(3)2 2(3)=0是解题的关键【变式 4-2】（2022上海华东师范大学第四附属中学一模）用换元法解方程：x2x122=4【答案】1=3，2=2【分析】方程的两个部分是倒数关系，所以可设2 =，可用换元法转化为关于 y 的分式方程，先求 y，再求 x，最后检验一下结果【详解】设2 =，则原方程变形为 12 4=0，即2 4 12=0，解得1=2，2=6，当 y=-2 时，2 +2=0，因为=1 8

16、=9 1 的解集为 5，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（）A13 B15 C18 D20【答案】A【分析】先通过分式方程求出 a 的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出 a 的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到 a 的有限个整数解【详解】由分式方程的解为整数可得：3 1=3 解得：=2 又题意得：2 0且 2 3 2且 5，由+9 2(+2)得：5 由23 1得：3+2 解集为 5 3+2 5 解得：有解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（）A5 B4 C3 D2【答案】B【分析】先将分式方程化为整式方程，得到它的解为=6+4,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为

17、0，得到+4 0且+4 3，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到 2 0，+4 3;4，且 1；关于 y 的元一次不等式组322 1+2 有解，由得：0;由得：2;2 0，2 综上可得：4 0 4 1，且关于 x 的分式方程12+2=3有非负整数解，则符合条件的 m 的值的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B【分析】根据不等式组的解集为 1，求得 1，根据分式方程有非负整数解，求得取值范围，即可求解【详解】解：解不等式组2 0 4 1 不等式组的解集为 1，1，由12+2=3可得：1 =3(2 )，解得=5+2 由题意可得，0，且 2 可得：5，且 1 此时的取值为5，

18、0，1 又为整数，的取值为5，1，个数为 2 故选：B【点睛】此题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键【变式 7-3】（2022重庆市第三十七中学校二模）若数 a 既使得关于 x 的不等式组2+1+3 2 6 无解，又使得关于 y 的分式方程52 2=1的解不小于 1，则满足条件的所有整数 a 的和为()A4 B3 C2 D5【答案】C【分析】先根据关于的不等式组无解求出数的范围，再根据关于的分式方程的解不小于 1 求出数的范围，然后再取数的范围的公共部分，从而即可求解【详解】解：解不等式2+1+3，得 5 6，解不等式 2 6，得 2+6，于 x 的不等式组

19、2+1+3 2 6 无解，5 6 2+6，4；又解分式方程52 2=1，得=+72 且 2，关于 y 的分式方程52 2=1的解不小于 1，+72 1且+72 2，5且 3；综上可知：5 3,3 0.06+7500，解得 5000，答：每年行驶里程超过 5000 千米时，买新能源车的年费用更低【点睛】本题考查了列代数式、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键【变式 10-1】（2022山东东营中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低 20%，水果店用 1000 元购进甲种水果比用 1200 元购进

20、乙种水果的重量多 10 千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为 6 元/千克和 8 元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共 150 千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的 2 倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)甲种水果的进价是 4 元/千克，乙种水果的进价是 5 元/千克；(2)水果店购进甲种水果 100 千克，乙种水果 50 千克时获得最大利润，最大利润是 350 元 【分析】（1）设乙种水果的进价是 x 元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低 20%，水果店用 1000元购进甲种水果比用 1200 元购

21、进乙种水果的重量多 10 千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案；（2）设水果店购进甲种水果 a 千克，获得的利润为 y 元，则购进乙种水果（150a）千克，根据利润（售价进价）数量列出 y 关于 a 的一次函数解析式，求出 a 的取值范围，然后利用一次函数的性质解答【详解】（1）解：设乙种水果的进价是 x 元/千克，由题意得：1000(120%)=1200+10，解得：=5，经检验，=5是分式方程的解且符合题意，则(1 20%)=0.8 5=4，答：甲种水果的进价是 4 元/千克，乙种水果的进价是 5 元/千克；（2）解：设水果店购进甲种水果 a 千克，获得的利润为 y 元，则购进乙种水

22、果（150a）千克，由题意得：=(6 4)+(8 5)(150 )=+450，10，y 随 a 的增大而减小，甲种水果的重量不低于乙种水果重量的 2 倍，2(150 )，解得：100，当=100时，y 取最大值，此时=100+450=350，150 =50，答：水果店购进甲种水果 100 千克，乙种水果 50 千克时获得最大利润，最大利润是 350 元【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键【变式 10-2】（2022重庆中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑

23、行去距地 30 千米的地，已知甲骑行的速度是乙的 1.2 倍(1)若乙先骑行 2 千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行 20 分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度【答案】(1)24 千米/时(2)18千米/时 【分析】（1）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为1.2千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为1.2千米/时，根据甲、乙恰好同时到达地列方程求解即可(1)解：设乙的速度为千米/时，则甲的速度为1.2千米/时，由题意得：0.5 1.2=0.5+2，解得：=20，则1.

24、2=24，答：甲骑行的速度为24千米/时；(2)设乙的速度为千米/时，则甲的速度为1.2千米/时，由题意得：30 13=301.2，解得=15，经检验=15是分式方程的解，则1.2=18，答：甲骑行的速度为18千米/时【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键【变式 10-3】（2022湖南益阳中考真题）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控 A、B 两种型号的收割机参加水稻收割比赛已知乙每小时收割的亩数比甲少 40%，两人各收割 6 亩水稻，乙则比甲多用 0.4 小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别

25、为 3%，2%(1)甲、乙两人操控 A、B 型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的 100 亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过 2.4%，则最多安排甲收割多少小时？【答案】(1)甲操控 A 型号收割机每小时收割 10 亩水稻，乙操控 B 型号收割机每小时收割 6 亩水稻(2)最多安排甲收割 4 小时 【分析】（1）设甲操控 A 型号收割机每小时收割 x 亩水稻，则乙操控 B 型号收割机每小时收割（140%）x 亩水稻，利用工作时间工作总量工作效率，结合乙比甲多用 0.4 小时完成任务，即可得出关于 x 的分式方

26、程，解之经检验后即可求出甲操控 A 型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入（140）x 中即可求出乙操控 B 型号收割机每小时收割水稻的亩数；（2）设安排甲收割 y 小时，则安排乙收割100106小时，根据要求平均损失率不超过 2.4%，即可得出关于 y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论（1）解：设甲操控 A 型号收割机每小时收割 x 亩水稻，则乙操控 B 型号收割机每小时收割（140%）x 亩水稻，依题意得：6(140%)6=0.4，解得：x10，经检验，x10 是原方程的解，且符合题意，（140%）x（140%）106答：甲操控 A 型号收割机每小时收割 10 亩水稻，乙操控 B 型号收割机每小时收割 6 亩水稻（2）设安排甲收割 y 小时，则安排乙收割10010y6小时，依题意得：3%10y2%610010y62.4%100，解得：y4答：最多安排甲收割 4 小时【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式