专题06 某点恰好为中点（解析版）.docx

1、专题06 某点恰好为中点1动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3s后两点相距15cm（单位长度为1cm）已知动点A、B的速度比是1：4 （速度单位：cm/s）（1）求出3s后，A、B两点在数轴上对应的数分别是多少？（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，经过几秒，原点恰好处在两个动点的正中间？【答案】（1）点A表示的数是3，点B表示的数是12；（2）1.8【解析】【分析】（1）设点A的速度为每秒x个单位，则点B的速度为每秒4x个单位，由A的路程+B的路程=总路程建立方程求出其解即可；（2）设y秒时原点恰好在A、B的中间，根据两点离原点的距

2、离相等建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设动点A的速度为xcm/s，则动点B的速度为4xcm/s，根据题意得，3x+12x=15，解得：x=1故点A表示的数是3，点B表示的数是12；（2）由（1）可知动点A的速度为1cm/s，点B的速度为4cm/s，设经过ys，原点恰好处在两动点的正中间，根据题意得3+y=124y，解得：y=1.8答：经过1.8s原点恰好处在两动点的正中间【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，数轴的运用，行程问题的相遇问题和追及问题的数量关系的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键2已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为2，0，4，点P为数轴上任意一

3、点，其对应的数为x（1）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是多少；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是7？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明理由；（3）如果点P以每秒钟6个单位长度的速度从点O向右运动时，点M和点N分别以每秒钟1个单位长度和每秒钟3个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒钟，点P到点M、点N的距离相等【答案】（1）1；（2）存在符合题意的点P，此时x2.5或4.5；（3）经过秒钟，点P到点M、点N的距离相等【解析】【分析】（1）根据PM=PN列出关于x的方程求解即可；（2）根据P点在N点右侧或在M点左侧分别求出即可；（3）设经过

4、t秒点P到点M、点N的距离相等，则P点表示的数是6t，M点表示的数是-2+t，N点表示的数是4+3t，根据PM=PN建立方程，求解即可【详解】（1）数轴上三点M，O，N对应的数分别为2，0，4，点P到点M、点N的距离相等，PM=PN，x-（-2）=4-x，解得：x=1；（2）存在,设P表示的数为x，当P在M点左侧时，PM+PN7，2x+4x7，解得x2.5，当P点在N点右侧时，x+2+x47，解得：x4.5；答：存在符合题意的点P，此时x2.5或4.5（3）设经过t秒点P到点M、点N的距离相等，则P点表示的数是6t，M点表示的数是2+t，N点表示的数是4+3t，由题意，得 PMPN，则6t（2

5、+t）4+3t6t，解得t答：经过秒钟，点P到点M、点N的距离相等【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程3如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数为6，BC=4，AB=14，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CQ=3CN设运动的时间为t（t0）秒（1）写出点A表示的数，点B表示的数；（2）求MN的长（用含t的式子表示）；（3）t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点【答案】(1)A:-12,B:2

6、;(2) 18t;(3)见解析【解析】【分析】（1）根据点C所表示的数，以及BC、AB的长度，即可写出点A、B表示的数；（2）根据题意画出图形，表示出AP3t，CQt，再根据线段的中点定义可得AM，根据线段之间的和差关系进而可得到点M表示的数；根据CQ3CN可得CN，根据线段的和差关系可得到点N表示的数，进一步求得MN；（3）此题有两种情况：当点P在点O的左侧，点Q在点O的右侧时；当P在点O的右侧，点Q在点O的左侧时，分别画出图形进行计算即可【详解】(1)C表示的数为6，BC4，OB642，B点表示2.AB14，AO14212，A点表示12；(2)由题意得：AP3t，CQt，如图1所示：M为A

7、P中点，AMAPt，在数轴上点M表示的数是12t，点N在CQ上，CQ3CN，CNt，在数轴上点N表示的数是6t，MN6t (12t)18t；(3)如图2所示：由题意得，AP3t，CQt，分两种情况：当点P在点O的左侧，点Q在点O的右侧时，OP123t，OQ6t，O为PQ的中点，OPOQ，123t6t，解得：t3，当t3秒时，O为PQ的中点；如图3，当P在点O的右侧，点Q在点O的左侧时，OP3t12，OQt6，O为PQ的中点，OPOQ，3t12t6，解得：t3，此时AP913，t3不合题意舍去，综上所述：当t3秒时，O为PQ的中点.【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用, 数轴, 两点间的

8、距离，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的应用, 数轴, 两点间的距离.4如图，点，在数轴上对应的数分别为，1，9它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为秒若，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，则的值为_【答案】1或4或16【解析】【分析】当运动时间为t秒时，点A在数轴上对应的数为-2t-3，点B在数轴上对应的数为-t+1，点C在效轴上对应的数为-4t+9，然后分三种情况：点B为线段AC的中点、点C为线段AB的中点及点A为线段CB的中点，找出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论【详解】解：根据题意得：当运动时间为t秒时

9、，点A始终在点B的左侧，点A在数轴上对应的数为-2t-3，点B在数轴上对应的数为-t+1，点C在数轴上对应的数为-4t +9，当点B为线段AC的中点时，-t+1-（-2t-3）=-4t+9-（-t+1），解得：t=1；当点C为线段AB的中点时，-4t+9-（-2t-3）=-t+1-（-4t+9），解得：t=4；当点A为线段CB的中点时，-2t-3-（-4t+9）=-t+1-（-2t-3）解得：t= 16.故答案为：1或4或16【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键二、解答题(共0分)5如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动

10、，请回答：（1）将点B向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是 ；（2）移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点为连接另外两点之间线段的中点，请你直接写出所有点A移动的距离和方向；（3）若A、B、C三个点移动后得到三个互不相等的有理数，它们既可以表示为1，的形式，又可以表示为0，的形式，试求，的值.【答案】（1）1；（2）向左移动3个单位长度；向右移动4.5 单位长度；向右移动12个单位长度；（3）=1，=1【解析】【详解】试题分析：（1）将点B向右移动三个单位长度后到达点D，则点D表示的数为-2+3=1；（2）分类讨论：当点A向左移动时，则点B为线段AC的中点；当点A向右移动并

11、且落在BC之间，则A点为BC的中点；当点A向右移动并且在线段BC的延长线上，则C点为BA的中点，然后根据中点的定义分别求出对应的A点表示的数，从而得到移动的距离；（3）根据题意得到a0，ab，则有b=1，a+b=0，a=，即可求出a与b的值（1）由题意得点D表示的数是1；（2）当点A向左移动时，则点B为线段AC的中点，线段BC=3-（-2）=5，点A距离点B有5个单位，点A要向左移动3个单位长度；当点A向右移动并且落在BC之间，则A点为BC的中点，A点在B点右侧，距离B点2.5个单位，点A要向右移动4.5 单位长度；当点A向右移动并且在线段BC的延长线上，则C点为BA的中点，点A要向右移动12

12、个单位长度； （3）依题意得：0，显然有=1+=0，=，解得=1，=1的值.考点：数轴，平移的性质点评：解题的关键是熟练掌握数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数要小.6如图，A、B、C是数轴上的三点，O是原点，BO3，AB2BO，5AO3CO点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CNCQ设运动的时间为t秒(1)当点M、N在数轴上相遇时，求t的值；(2)t为何值时，M、N两点到原点O的距离相等？【答案】(1)4.8(2)当t值为2或4.8【解析】【分析】（1）分别用

13、带t的表达式表示出M和N表示的数，当它们相等时求出t值即可；（2）分情况讨论分别求出t值即可(1)解：O是原点，BO3，AB2BO，5AO3CO，又从数轴上知A、B点在O点左侧，C点在O点右侧，B表示的点是-3，A表示的点是-9，C表示的点是15，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，M为线段AP的中点，AM2t2t，点M表示的数是t-9，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N在线段CQ上，且CNCQ，则CN6t4t，点N表示的数为15-4t，当点M、N在数轴上相遇时，t-915-4t，解得t4.8，当点M、N在数轴上相遇时，t的值为4.8；(2)解：当M、N在原点两侧

14、时，-（t-9）15-4t，解得t2，当M、N重合时，t-915-4t，解得t4.8，综上当t值为2或4.8时M、N两点到原点O的距离相等【点睛】本题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，根据已知条件熟练列出方程是解题的关键7如图，数轴上，两点对应的数分别是和10，两点同时从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后立即返回，以相同的速度沿数轴向左运动点到达点时，两点同时停止运动设运动时间为秒（1）当时，线段_；（2）当时，求的值；（3）在，两点运动的过程中，若点，点，点三点中的一个点是另外两个点为端点的线段的中点，直接写

15、出的值【答案】（1）7；（2）当点在上时，；当点在上且在点右侧时，；当点在上且在点左侧时，；（3）或【解析】【详解】解：（1）当t=1时，点P在OA上，点Q在OB上，此时OP+OQ=2+5=7，故答案为：7；（2）当点在上时时，解得；当点在上且在点右侧时，解得；当点在上且在点左侧时，解得，（3）当Q在射线OA上时，点P、Q对应的数分别是-2t，20-5t，分两种情况：如图：当Q为A、P的中点时，由AQ=PQ得：20-5t+20=-2t -20+5t，解得；如图：当A为Q、P的中点时，由AQ=AP得：-20-20+5t =-2t +20，解得；故t的值为或【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两

16、点间的距离和数轴解题时，需要采用“数形结合”的数学思想8如图，在数轴上点A表示的数为30，点B表示的数为80动点C从点A出发以每秒6个单位的速度沿正方向运动，动点D从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点E从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，设运动的时间为t（单位：秒）（1）当t7秒时，C、D、E三点在数轴上所表示的数分别为 ， ， ；（2）当点D与点E的距离为56个单位时，求t的值；（3）若点E回到点B时，三点停止运动，在三个动点运动过程中，是否存在某一时刻，这三点中有一点（除点D外）恰好在另外两点之间，且与两点的距离相等？若存在，请

17、求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）12，28，24；（2）2或34；（3）存在,或【解析】【分析】（1）根据动点在数轴上的运动，根据路程速度时间即可求得结果；（2）根据题意列出一元一次方程即可求解；（3）根据题意，分两种情况：当点E在CD中点时；当点C在ED中点时；根据动点在数轴上的运动列出一元一次方程即可求得结果【详解】解：（1）点C表示的数为：30+6712，点D表示的数为：4728，点E表示的数为：808724故答案为：12，28，24；（2）依题意可得：OD4t，OE808t或OE8（t10）8t80，若DE56，则有：|8012t|56，解得：t12，（不符合题意，舍去）

18、，或|804t|56，解得t134，t2610（不符合题意，舍去）故t的值为2或34；（3）存在理由如下：当点E在CD中点时，根据题意得：6t30（808t）808t4t，解得：，或6t30（8t80）808t4t，解得：（不合题意，舍去）；当点C在ED中点时，根据题意得：6t30（808t）4t（6t30），解得：答：或【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离，解决本题的关键是根据点在数轴上的运动规律列方程9已知数轴上两点A、B对应的数分别为1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x（1）若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数x=_；（2）数轴上存在点P，使点P到点A、

19、点B的距离之和为6，则x=_数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为3？若存在，请直接写出x的值若不存在，请说明理由？（3）当点P以每分钟一个单位长度的速度从原点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？【答案】（1）1；（2）4或-2；不存在，理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）根据点P到点A、点B的距离相等，可知点P是A B的中点，即是这两个数的和的一半；（2）根据点P到点A、点B的距离之和列出方程，分别求解即可；（3）利用当P点在AB之间时，此时B到P点距离等于A点到P点距离，以及

20、当P点在AB右侧时，此时A、B重合，求出即可【详解】解：（1）点P到点A、点B的距离相等，点P是A B的中点，故答案为：1；（2）根据题意可得，则|x+1|+|x3|6当x1时，原方程可化为：x1+3x6，解得x2；当1x3时，原方程可化为：x+1+3x6，则46（舍去）当x3时，原方程可化为：x+1+x36，解得x4故答案为：4或-2；根据题意可得，则|x+1|+|x3|3当x1时，原方程可化为：x1+3x3，解得x0.5（不符合题意，舍去）；当1x3时，原方程可化为：x+1+3x3，则43（舍去）当x3时，原方程可化为：x+1+x33，解得x2.5（不符合题意，舍去）所以，数轴上不存在点P

21、，使点P到点A、点B的距离之和为3（3）设同时出发t分钟后点P到点A、点B的距离相等此时，点P对应的数为-t，点A对应的数为，点B对应的数为点P在点A与点B之间根据题意，得，解得t点B追上点A时，根据题意得20t5t4，解得t答：同时出发或分钟后点P到点A、点B的距离相等【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的坐标与距离表示方法等知识，利用分类讨论得出是解题关键10已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。若点P到点A、点B的距离相等，P对应的数为 。数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明

22、理由？当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？【答案】（1）1；（2）存在，x的值为1.5或3.5；（3）或分钟后P点到点A、点B的距离相等【解析】【分析】（1）根据点P到点A、点B的距离相等，列方程可得答案；（2）此题要分两种情况：当P在AB左侧时，当P在AB右侧时，根据点P到点A、点B的距离之和为5列方程求解即可；（3）点P、点A、点B同时向左运动，点B的运动速度最快，点P的运动速度最慢，故P点总位于A点右侧，B可能追上并超过A，P到A，B的距离相等，应分两种

23、情况讨论，即B未追上A时，B追上A时【详解】解：（1）如图，若点P到点A、点B的距离相等，则P为AB的中点，BPPA依题意得3xx（1），解得x1，故答案为：1；（2）存在；由题意得AB4，点P到点A、点B的距离之和为5，则P不可能在线段AB上，只能在A点左侧或B点右侧P在点A左侧时，PA1x，PB3x，依题意得：（1x）（3x）5，解得：x1.5；P在点B右侧时，PAx（1）x1，PBx3，依题意得：（x1）（x3）5，解得x3.5，综上所述：x的值为1.5或3.5；（3）设运动t分钟，此时P对应的数为t，B对应的数为320t，A对应的数为15tB未追上A时，PAPB，则P为AB中点，B在P

24、的右侧，A在P的左侧此时PAt（15t）14t，PB320t（t）319t，依题意有14t319t，解得：t；B追上A时，A、B重合，此时PAPB，A、B表示同一个数，依题意有15t320t，解得：t，即运动或分钟时，P到A、B的距离相等【点睛】此题主要考查了数轴，一元一次方程的应用，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程11定义：若线段AB上有一点P，当PA=PB时，则称点P为线段AB的中点已知数轴上A，B两点对应数分别为a和b，P为数轴上一动点，对应数为x（1）a=_，b=_；（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数为_若B为线段AP的中点时则P点对应的数为_（3

25、）若点A、点B同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点P从-16处以2个单位长度/秒向右运动设运动的时间为t秒，直接用含t的式子填空AP=_；BP=_经过多长时间后，点A、点B、点P三点中其中一点是另外两点的中点？【答案】(1)-2、4;(2)1、10;(3)-3t+14或14-3t;20-3t或3t-20;t=,t=,t=.【解析】【分析】（1）根据非负数的性质解答即可；（2）根据线段中点的定义得出规律：若A表示的数为a，B表示的数为b，P表示的数为x，P为线段AB的中点，则2x=a+b，然后根据这个规律解答即可（3）根据题意得出A、B、P表示的数，从而得出结论；分三种情况讨

26、论：若P为AB的中点，若A为BP的中点，若B为AP的中点，根据（2）得出的结论列方程求解即可【详解】（1）根据题意得：a+2=0，b4=0，解得：a=2，b=4故答案为2，4（2）P为线段AB的中点，AP=PB，xa= bx，2x=a+b，x=1；若B为线段AP的中点，则2b=a+x，解得：x=2ba=8（2）=10故答案为1，10（3）由题意得：A表示的数为：2t，B表示的数为：4t，P表示的数为：16+2tAP=|（16+2t）（2t）|=|143t|，BP=|（16+2t）（4t）|=|203t|，AP=3t+14或143t；BP=203t或3t20故答案为3t+14或143t；203t

27、或3t20分三种情况讨论：若P为AB的中点，则：2（16+2t）=（2t）+（4t），解得：t=；若A为BP的中点，则：2（2t）=（16+2t）+（4t），解得：t=；若B为AP的中点，则：2（4t）=（2t）+（16+2t），解得：t=综上所述：t的值为或或时，点A、点B、点P三点中其中一点是另外两点的中点【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴，两点间的距离，一元一次方程的应用，运用方程思想、分类讨论思想及数形结合思想是解题的关键12如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上A点左侧的一点，且A、B两点之间的距离AB=14个单位长度动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运

28、动，设运动时间为t（t0）秒（1）点B表示的数为 ，点P表示的数为 （用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q；（3）点P在运动的过程中，如果点P、点O和点B三个点中，在不重合的情况下，其中一个点到其他两个点的距离相等，那么请求出所有满足要求的时间t【答案】（1）-6，8-5t；（2）7秒；（3）t=秒或t= 秒或t=4秒【解析】【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为8-14；点P表示的数为8-5t；（2）根据点P运动t秒追上点Q即P与点Q重合时，列出方程求解即可；（3）分三种情况：点O是PB中点

29、；P是OB中点；点B是OP中点，根据等量关系列出方程求解即可【详解】解：（1）数轴上点B表示的数为8-14=-6；点P表示的数为8-5t；故答案为：-6，8-5t；（2）由题意得：点P表示的数为8-5t；点Q表示的数为-6-3t；点P追上点Q，即P与点Q重合，所以8-5t=-6-3t，解得，t=7；（3）点P在运动的过程中，当点O是PB中点时，点P表示的数为6， 所以8-5t =6，解得，t=；当点P是OB中点时，点P表示的数为-3， 所以8-5t =-3，解得，t= ；当点B是OP中点时， 点P表示的数为-12，所以8-5t =-12，解得，t=4；综上所述，当t=秒或t= 秒或t=4秒时，其中一个点到其他两个点的距离相等【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据数形结合思想分情况进行讨论