专题06 立体几何（解答题）（文科专用）（教师版）.docx

1、专题06 立体几何（解答题）（文科专用）1【2022年全国甲卷】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，EAB,FBC,GCD,HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直(1)证明：EF/平面ABCD；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）【答案】(1)证明见解析；(2)64033【解析】【分析】（1）分别取AB,BC的中点M,N，连接MN，由平面知识可知EMAB,FNBC，EM=FN，依题从而可证EM平面ABCD，FN平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知EM/FN，即可知四边形EMNF为平行四边

2、形，于是EF/MN，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取AD,DC中点K,L，由（1）知，该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4倍，即可解出(1)如图所示：，分别取AB,BC的中点M,N，连接MN，因为EAB,FBC为全等的正三角形，所以EMAB,FNBC，EM=FN，又平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCD=AB，EM平面EAB，所以EM平面ABCD，同理可得FN平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知EM/FN，而EM=FN，所以四边形EMNF为平行四边形，所以EF/MN，又EF平面ABCD，MN平面ABCD，所以EF/平面AB

3、CD(2)如图所示：，分别取AD,DC中点K,L，由（1）知，EF/MN且EF=MN，同理有，HE/KM,HE=KM，HG/KL,HG=KL，GF/LN,GF=LN，由平面知识可知，BDMN，MNMK，KM=MN=NL=LK，所以该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4倍因为MN=NL=LK=KM=42，EM=8sin60=43，点B到平面MNFE的距离即为点B到直线MN的距离d，d=22，所以该几何体的体积V=42243+413424322=1283+25633=640332【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，ADCD,AD=CD,ADB=BD

4、C，E为AC的中点(1)证明：平面BED平面ACD；(2)设AB=BD=2,ACB=60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求三棱锥F-ABC的体积【答案】(1)证明详见解析(2)34【解析】【分析】（1）通过证明AC平面BED来证得平面BED平面ACD.（2）首先判断出三角形AFC的面积最小时F点的位置，然后求得F到平面ABC的距离，从而求得三棱锥F-ABC的体积.(1)由于AD=CD，E是AC的中点，所以ACDE.由于AD=CDBD=BDADB=CDB，所以ADBCDB，所以AB=CB，故ACBD，由于DEBD=D，DE,BD平面BED，所以AC平面BED，由于AC平面ACD，所以平面B

5、ED平面ACD.(2)依题意AB=BD=BC=2，ACB=60，三角形ABC是等边三角形，所以AC=2,AE=CE=1,BE=3，由于AD=CD,ADCD，所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以DE=1.DE2+BE2=BD2，所以DEBE，由于ACBE=E，AC,BE平面ABC，所以DE平面ABC.由于ADBCDB，所以FBA=FBC，由于BF=BFFBA=FBCAB=CB，所以FBAFBC，所以AF=CF，所以EFAC，由于SAFC=12ACEF，所以当EF最短时，三角形AFC的面积最小值.过E作EFBD，垂足为F，在RtBED中，12BEDE=12BDEF，解得EF=32，所以DF=12

6、-322=12,BF=2-DF=32，所以BFBD=34.过F作FHBE，垂足为H，则FH/DE，所以FH平面ABC，且FHDE=BFBD=34，所以FH=34,所以VF-ABC=13SABCFH=13122334=34.3【2021年甲卷文科】已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；（2）将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.【详解】（1）由于，所以，又A

7、BBB1，故平面，则，为等腰直角三角形，.（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，正方形中，为中点，则，又，故平面，而平面，从而.【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.4【2021年乙卷文科】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面

8、，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；（2）由（1）可知，由平面知识可知，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出【详解】（1）因为底面，平面，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面（2）方法一：相似三角形法 由（1）可知于是，故因为，所以，即故四棱锥的体积方法二：平面直角坐标系垂直垂直法由（2）知,所以建立如图所示的平面直角坐标系，设因为，所以，从而所以，即下同方法一. 方法三【最优解】：空间直角坐标系法建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以，所以，所以所以，即下同方法一. 方法四：空间向量法由，得所以即又底面，在平面内，因此，所以所以，由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，

9、得，即所以，即下同方法一.【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.5【2020年新课标1卷文科】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，APC=90（1）证明：平面PAB平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥PABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分

10、析】（1）根据已知可得，进而有，可得，即，从而证得平面，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，是圆内接正三角形，即，平面平面，平面平面；（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，解得，在等腰直角三角形中，在中，三棱锥的体积为.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.6【2020年新课标2卷文科】如图，已知三棱柱

11、ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F（1）证明：AA1/MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；（2）设O为A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO/平面EB1C1F，且MPN=，求四棱锥BEB1C1F的体积【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由分别为，的中点，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；（2）根据已知条件求得和到的距离，根据椎体体积公式，即可求得.【详解】（1）分别为，的中点，又在等边中，为中点，则又侧面为矩形，由，平面平面又，且平面

12、，平面，平面又平面，且平面平面 又平面平面平面平面平面（2）过作垂线，交点为，画出图形，如图平面平面，平面平面又为的中心.故：，则，平面平面，平面平面，平面平面又在等边中即由（1）知，四边形为梯形四边形的面积为：，为到的距离，.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.7【2020年新课标3卷文科】如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，证明：（1）当时，；（2）点在平面内【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质得，根据长方体性

13、质得,进而可证平面,即得结果；（2）只需证明即可，在上取点使得,再通过平行四边形性质进行证明即可.【详解】（1）因为长方体,所以平面,因为长方体,所以四边形为正方形因为平面,因此平面,因为平面,所以；（2）在上取点使得,连,因为,所以所以四边形为平行四边形，因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形， ，所以四点共面，因此在平面内【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.8【2019年新课标1卷文科】如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN平面C1DE

14、；（2）求点C到平面C1DE的距离【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点C到平面的距离，得到结果.【详解】（1）连接，分别为，中点为的中位线且又为中点，且 且 四边形为平行四边形，又平面，平面平面（2）在菱形中，为中点，所以，根据题意有，因为棱柱为直棱柱，所以有平面，所以，所以，设点C到平面的距离为，根据题意有，则有，解得，所以点C到平面的距离为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的

15、求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.9【2019年新课标2卷文科】如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积【答案】（1）见详解；（2）18【解析】【分析】（1）先由长方体得，平面，得到，再由，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先设长方体侧棱长为，根据题中条件求出；再取中点，连结，证明平面，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体中，平面

16、；平面，所以，又，且平面，平面，所以平面；（2）设长方体侧棱长为，则，由（1）可得；所以，即，又，所以，即，解得；取中点，连结，因为，则；所以平面，所以四棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.10【2019年新课标3卷文科】图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中， ，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；（2）求图2中的四边形的面积.【答案】(1)见详解；(2)4.【解析】【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起

17、，所以得证.因为是平面垂线，所以易证.(2) 欲求四边形的面积，需求出所对应的高，然后乘以即可【详解】(1)证：，又因为和粘在一起.，A，C，G，D四点共面.又.平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.(2)取的中点，连结.因为，平面BCGE，所以平面BCGE，故，由已知，四边形BCGE是菱形，且得，故平面DEM因此在中，DE=1，故所以四边形ACGD的面积为4.【点睛】很新颖的立体几何考题首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的再者粘合后的多面体不是直棱柱，最后将求四边形的面积考查考生的空间想象能力.11【2018年新课标1卷文科】如图，在平行四边形中，以为折

18、痕将折起，使点到达点的位置，且（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积【答案】(1)见解析.(2)1.【解析】【详解】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到=90，即，再结合已知条件BAAD，利用线面垂直的判定定理证得AB平面ACD，又因为AB平面ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD平面ABC；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：（1）由已知可得，=90，又BAAD，且，所以AB平面ACD又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC（2）由已知可得，DC

19、=CM=AB=3，DA=又，所以作QEAC，垂足为E，则 由已知及（1）可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE=1因此，三棱锥的体积为点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.12【2018年新课标2卷文科】如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离【答案】（1）详见解析（2）【解

20、析】【详解】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP=连结OB因为AB=BC=，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB=2由知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC（2）作CHOM，垂足为H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OC=2，CM=，ACB=45所以OM=，CH=所以点C到平面POM的距离为点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，

21、解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.13【2018年新课标3卷文科】如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【详解】分析：（1）先证,再证，进而完成证明（2）判断出P为AM中点，证明MCOP，然后进行证明即可详解：（1）由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM又BCCM=C，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC（2）当P为AM的中点时，MC平面PBD证明如下：连结AC交BD于O因为ABCD为矩形，所以O为AC中点连结OP，因为P为AM 中点，所以MCOPMC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题