专题07三角函数与解三角形C辑（教师版含解析）备战2021年高中数学联赛之1981-2020年高中数学联赛一试试题分专题训练.docx

1、备战 2021 年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题 07 三角函数与解三角形 C 辑历年联赛真题汇编 1【2020 高中数学联赛 A 卷(第 01 试)】在 中,sin=22.求cos+2cos的取值范围.【答案】(0,1 (2,5【解析】记=cos+2cos.由条件知=4或=34.当=4时,=34 ,其中0 34,此时=cos(34 )+2cos=22 sin+22 cos=sin(+4)(0,1.当=34 时,=4 ,其中0 2=(4),(2 )=5，故 (2,5.综上所述,=cos+2cos的取值范围是(0,1 (2,5.2【2019 高中数学联赛 A 卷(第 01

2、试)】在ABC 中，BC=a，CA=b，AB=c.若 b 是 a 与 c 的等比中项，且 sinA 是sin(BA)与 sinC 的等差中项，求 cosB 的值.【答案】512【解析】因 b 是 a、c 的等比中项，故存在 q0，满足=,=2.因 sinA 是 sin(BA)，sinC 的等差中项，故2sin=sin()+sin=sin()+sin(+)=2sincos.结合正、余弦定理，得=sinsin=cos=2+222，即2+2 2=2.将代入并化简，可知2+4 1=22，即4=2+1，所以2=5+12.进而cos=2+222=4+1222=12=512.3【2012 高中数学联赛(第

3、01 试)】已知函数()=sin 12 cos2+3+12，aR 且 a0.(1)若对任意 xR，都有 f(x)0，求 a 的取值范围；(2)若 a2，且存在 xR，使得 f(x)0，求 a 的取值范围.【答案】(1)(0，1；(2)2，3.【解析】(1)()=sin2+sin+3，令=sin(1 1)，则()=2+3，对任意 xR，f(x)0 恒成立的充要条件是(1)=1 3 0(1)=1+2 3 0，解得 a 的取值范围为(0，1(2)因为 a2，所以2 1.所以()min=(1)=1 3，因此()min=1 3.于是，存在 xR，使得 f(x)0 的充要条件是1 3 0，解得0 0)有且

4、仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：cossin+sin3=1+24.【答案】证明见解析【解析】f(x)的图像与直线 y=kx(k0)的三个交点如图所示，且在(,32)内相切，其切点为(,sin),(,32).由于()=cos(,32)，所以cos=sin，即=tan，因此cossin+sin3=cos2sin2cos=14sincos=cos2+sin24sincos=1+tan24tan=1+24.5【2007 高中数学联赛(第 01 试)】设函数 f(x)对所有的实数 x 都满足 f(x+2)=f(x)，求证：存在 4 个函数 fi(x)(i=1，2，3，4)满足(1)对 i=1

5、，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数 x，有(+)=()；(2)对任意的实数 x，有()=1()+2()cos+3()sin+4()sin2.【答案】证明见解析【解析】记()=()+()2，()=()()2，则()=()+()，且 g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的 xR，有(+2)=()，(+2)=()，令1()=()+(+)2，2()=()(+)2cos(+2)0(=+2)，3()=()(+)2sin()0(=)，4()=()+(+)2sin2(2)0(=2)，其中 k 为任意整数.容易验证 fi(x)(i=1，2，3，4)是偶函数，且对任意的 xR，有(+)=()(

6、=1,2,3,4),下证对任意的 xR，有1()+2()cos=(),当 +2时，显然成立；当=+2时，因为1()+2()cos=1()=()+(+)2,而(+)=(+32)=(+32 2(+1)=(2)=(+2)=(),故对任意的 xR，有1()+2()cos=(),下证对任意的 xR，有3()sin+4()sin2=()，当 2 时，显然成立；当=时，有()=()=(2)=()=()，所以()=()=0，而此时3()sin+4()sin2=0，故()=3()sin+4()sin2.当=+2时，有(+)=(+32)=(+32 2(+1)=(2)=(+2)=()，故3()sin=()(+)2=

7、()，又4()sin2=0，从而有()=3()sin+4()sin2，于是，对于任意的 xR，我们有()=3()sin+4()sin2.综上所述，结论得证.6【1999 高中数学联赛(第 01 试)】已知当 x0，1，不等式2cos (1 )+(1 )2sin 0恒成立，试求的取值范围.【答案】2+12 0，则cos=(1)0,sin=(0)0 取0=sincos+sin (0,1)，有cos0 sin(1 0)=0，因为()=cos sin(1 )2+2(12+cossin)(1 )，所以0 0 反之，当式与成立时(0)=sin 0,(1)=cos 0，且 x(0，1)时()2(12+cos

8、sin)(1 )0，先在0，2中解式与：由cos 0,sin 0可得0 0，所以cossin 12，所以12 sin2 14，sin2 12.又因为0 2 ，所以6 2 56，所以12 512.因此，的取值范围是2+12 0，满足=,=2.因 sinA 是 sin(BA)，sinC 的等差中项，故 2sin=sin()+sin=sin()+sin(+)=2sincos.结合正、余弦定理，得=sinsin=cos=2+222，即2+2 2=2.将代入并化简，可知2+4 1=22，即4=2+1，所以2=5+12.进而cos=2+222=4+1222=12=512.【点睛】本题考查等差中项、等比中项

9、的应用，涉及正余弦定理，属综合中档题.4已知函数()=22(4 )3cos2(1)求()的最小正周期和单调递减区间;(2)若()+2在 0,6上恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)512,+12()；(2)(1 3,+)【解析】(1)注意到,()=1 cos(2 2)3cos2=(2+3cos2)+1=2(2+3)+1.于是,()的最小正周期=22=.由2 2 2+3 2+2()512 +12()，故()的单调递减区间为 512,+12().(2)由 0,6,知3 2+3 23，于是,当(2+3)=32 时,()取得最大值1 3,即()max=1 3.要使()+2恒成立,只需()max +

10、2，即1 3 1 3.故 m 的取值范围是(1 3,+).5锐角三角形 ABC 中，求证：cos()cos()cos()8coscoscos.【答案】证明见解析【解析】原不等式等价于cos()cos()cos()coscoscos 8.在三角形 ABC 中，tan+tan+tan=tantantan，cos()cos=sinsin+coscossinsin coscos=tantan+1tantan 1=tan(tantan+1)tan+tan=2tan+tan+tantan+tan.令tan+tan=tan+tan=tan+tan=，则原不等式等价于(+)(+)(+)8.而上式左边222=8

11、，故原不等式得证 6已知函数()=2sin2(4+)3cos2 1,4,2.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)若不等式|()|2在 4,2上恒成立，求实数 m 的取值范围.【答案】(1)4,512.(2)0 3【解析】(1)由()=2sin2(4+)3cos2 1，得到()=2sin(2 3).因此 f(x)在 4,2上的增区间为2+2 2 3 2+2，kZ 且 4,2，解得 4,512.(2)因为|f(x)-m|2 在 4,2上恒成立，所以2+()2+.又()=2sin(2 3)，其中 4,2，所以1 ()2，故0 0，可得 43.当=arctan43,=12(2+arcsin35)时

12、，题设等式成立.所以，tanA 的最大值为43.8设1、2、3是方程3 17 18=0的三个根，4 1 3且4 3 5.求2的整数部分；求arctan1+arctan2+arctan3的值.【答案】(1)-2(2)arctan1+arctan2+arctan3=4【解析】由于1、2、3是方程的根，我们有3 17 18=(1)(2)(3).比较两端的系数可得：1+2+3=0，12+23+31=17，123=18.由1 (4,3)和3 (4,5)可知2=1 3 (2,0).注意()=3 17 18满足(0)=18 0，(1)=2 0.所以()在区间(2,1)上有一个根，即2 (2,1).因此2的整

13、数部分为-2.设arctan=，i=1，2，3.由知1,2 (2,4)，且3 (4,2).因此1+2+3 (34.0).注意tan(1+2)=tan1+tan21tan1tan2=1+2112 从而tan(1+2+3)=tan(1+2)+tan31tan(1+2)tan3=1+21 12+31 3 1+21 12=1+2+3 1231 (12+23+31)=0181(17)=1.这表明1+2+3=4，即arctan1+arctan2+arctan3=4.9已知三棱锥 S-ABC 中侧棱 SA、SB、SC 互相垂直，M 是底面三角形 ABC 内一动点.直线 MS 与 SA、SB、SC所成的角分别

14、是、.(1)证明：、不可能是锐角三角形的三个内角；(2)设=1cos2+1cos2+1cos2 2(cos3+cos3+cos3)coscoscos，证明：3.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)以线段 MS 为体对角线构造长方体，则、恰好为长方体的体对角线与从一个顶点出发的三条棱所成的角，因此cos2+cos2+cos2=1.因为cos2+cos2+cos2=1 cos2，所以12(2+2)=2，cos(+)()=2 0，故cos(+)0.所以2 +.下面证明+.要证+，只需证+，只需证cos()(+)2(+).因为2(+)2=2(+)+12(2+cos2)=2(+)+(+)()=

15、2(+)0，所以+0sin(cos2+sin2)+sin(cos2 sin2)=0.sin(902)=0 +=90(，1)(0).13已知 的三个内角满足+=2,cos+cos=2coscoscos，求cos2 的值.【答案】22【解析】由题设知=60,+=120.设2=,则 =2,于是,=60+,=60 .故cos+cos=cos(60+)+cos(60 )=2cos60 cos=cos.2coscoscos=2cos(60+)cos(60)cos60=2(cos2+cos120)=22(cos2 34).故cos=22(cos2 34)42cos2+2cos 32=0 (22cos+3)(

16、2cos 2)=0.若22cos+3 cos=324 1舍，从而,2cos 2=0 cos=22.14求(,)=cos4+7+cos4+7+cos4+cos4 8sin2 sin2+6的最小值【答案】42【解析】注意到，cos4+7=2cos22+6=2(2cos2 1)2+6=8(cos4 cos2+1)，同理，cos4+7=8(cos4 cos2+1)，而cos4+cos4 8sin2 sin2+6=(cos4+7)+(cos4+7)8sin2 sin2 8=8(cos4 cos2+1)+8(cos4 cos2+1)8(1 cos2)(1 cos2)8=8(cos4+cos4)8cos2

17、cos2，(,)=8(cos4 cos2+1+cos4 cos2+1+cos4+cos4 cos2 cos2)，如图，作边长为 1 的正、，在、上分别取点、使得=cos2，=cos2，联结、，则(,)=8(+)，其最小值就是线段的长度，即当=2时，min=28=42.15已知()=sin2+3sin+3cos(0 2).求:(1)()的值域;(2)()的单调区间.【答案】(1)1 32,1+32(2)单调减区间为4,54,单调增区间为0,4、54,2【解析】(1)设sin+cos=(2 2).则sin2=2 1.只要求()=2+3 1的值域.又()=(+32)2 134,故=2时,()取得最值

18、,即()的值域为1 32,1+32.(2)()=2cos2+3(cos sin)=(cos sin)(2cos+2sin+3).又2cos+2sin+3 0,故()的单调减区间为4,54,单调增区间为0,4、54,2.16已知正实数、满足+=1证明：12+1+22+1+32+1 3142【答案】见解析【解析】设=tan2，=tan2，=tan2(0 、)由+=1，得+=于是，cos+cos+cos 32利用柯西不等式有12+1+22+1+32+1=cos2+2cos2+3cos2 (12+22+32)(cos2 2+cos2 2+cos2 2)=14(3+cos+cos+cos2)14(3+3

19、22)=3142 因为第一个不等式等号成立的条件是cos21=cos22=cos23，第二个不等式等号成立的条件是=3，所以，两个等号不可能同时成立故12+1+22+1+32+1 3142 17求证：cos(cos(cos1)6.【答案】见解析【解析】构造函数()=cos (0,1)，易知其在定义域内为减函数。又由(6)=32 6 0，(4)=22 4 0，知存在唯一的 (6,4)，使()=0，即cos=.由余弦函数在0,1上的单调性知，对0 cos cos1，即1 cos1.进而，cos1 cos cos(cos1)，即cos1 cos(cos1).继续对式求余弦2 2次得cos(cos(c

20、os1)21 个 cos(cos(cos1)2个更有cos(cos(cos1)2007 个 6。18设0 9.【答案】见解析【解析】用归纳法证明一个更一般的结论：若 2，0 tan.显然，当=9时，就是本题结论.首先，考虑=2的情形.由于0 4，故0 1 tan2 2tan.假设对0 tan.则当0 4时，更有式成立.当0 4时，易知 0 tan tan 1.于是，0 1 tan tan 1.从而，由式、得 tan(+1)=tan+tan1tanan (+1)tan.综上，命题成立.19在锐角 ABC 中，已知(sinsin+sinsin)cos+(sinsin+sinsin)cos+(sin

21、sin+sinsin)cos=2(cos+cos+cos)，试判断的形状，并给出证明.【答案】见解析【解析】所求是正三角形.首先证明：sinsin cos+sinsin cos cos+cos，当且仅当=时，上式等号成立.sinsin cos+sinsin cos cos+cos sinsin cos2+sinsin cos2 cos2+cos2 sin2 cos2+sin2 cos2 sin sin(cos2+cos2)tan2+tan2 sin sin(1cos2+1cos2)1cos2+1cos2 2 sin sin(1cos2+1cos2)(1 sin sin)(11 sin2+11

22、sin2)2而(1 sin sin)(11sin2+11sin2)2(1 sin sin)1(1sin2)(1sin2)=2(1 sin sin)11 (sin2+sin2)+sin2 sin2 2(1 sin sin)112sinsin+sin2sin2=2.其中，两个不等式的等号均当且仅当sin=sin，即=时成立.从而，sinsin cos+sinsin cos cos+cos.同理，sinsin cos+sinsin cos cos+cos，sinsin cos+sinsin cos cos+cos.三式相加得(sinsin+sinsin)cos+(sinsin+sinsin)cos+

23、(sinsin+sinsin)cos 2(cos+cos+cos).其中，等号当且仅当=时成立.从而，是正三角形.20在中，若sin+sin+sincos+cos+cos=3，求证：中至少有一个角为60。【答案】见解析【解析】由3=tan60=sin60cos60，知 sin+sin+sincos+cos+cos=sin60cos60.故sin(60)+sin(60)+sin(60)=0注意到当+=0时，有sin+sin+sin=2sin+2 cos2 2sin+2 cos+2 =2sin+2 2sin2 sin2=4sin2 sin2 sin2.利用式可将式变为4sin602 sin602 sin602=0.因此，知中至少有一个角为60.