专题08 导数压轴题之构造函数和同构异构详述（解析版）.docx

1、导数章节知识全归纳专题08 导数压轴题之构造函数和同构异构（详述版）一考试趋势分析： 由于该内容在高考内容中考试频率相对比较低，然而它却在我们平时考试或是诊断型考试中出现又较高，并且该内容属于高中数学里面导数的基本考试题型之一，基本上尖子生里面的基础题，又是一般学生里面的压轴题，所以老师你觉得讲还是不讲呢？针对这个情况，作者进行了多年研究和分析，这个内容一定要详细讲述，并且结合技巧性让学生能够熟练掌握，优生几秒钟，一般学生几分钟就可以完成该题解答，是设计这个专题的核心目的！二所用知识内容： 1.导数八大基本求导公式：（C为常数） ; ; ; ; 2. 常见构造： 和与积联系：，构造；，构造；，

2、构造；，构造；，构造等等减法与商联系：如，构造；，构造；，构造，构造，构造，构造，3.同构异构方法：1顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数.2同位同构：加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构；局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可；差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之.三导数构造函数典型题型：1.构造函数之和差构造：例：1.已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为（ ）ABCD或【答案】B【分析】令函数，求导，结合题意，可得的单

3、调性，又，则原不等式等价于，根据的单调性，即可得答案.【详解】令函数，则，所以在R上单调递增.因为，所以原不等式等价于，所以所求不等式的解集为故选：B2.定义在上的函数满足，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】B【分析】构造函数，先判断其导函数的正负，来确定该函数的单调性，再化简不等式为，根据单调性解不等式即可.【详解】设，则，故在上单调递增，不等式，即，即，根据单调性知，即，得，即，故解集为.故选：B.【点睛】思路点睛:利用导数解不等式时，常常要构造新函数，新函数一方面与已知不等式有关，一方面与待求不等式有关，再结合导数判断单调性，利用单调性解不等式.变式：1.已知奇函数在R上的导函数为，

4、且当时，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】C【分析】利用构造函数g(x)，即可得到函数g(x)的单调性，再将所解不等式转化为用g(x)表达的抽象函数不等式而得解.【详解】因，即，令，则，在上递减，又是R上的奇函数，则也是R上的奇函数，从而有在R上单调递减，显然，则有由在R上单调递减得，所以所求不等式的解集为.故选：C【点睛】关键点睛：解给定导数值特征的抽象函数不等式，根据导数值特征构造对应函数是解题的关键.2. 构造函数之乘积构造：例：1.在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ）ABCD【答案】A【分析】构造，求导得，知在上为增函数，进而由即可判断.【详解】令，则，因为在上的导函数为，所

5、以在上，即在上为增函数.所以，即.故选：A.2.已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为，若可知，需构造函数，利用导函数判断函数的单调性，利用函数的单调性、奇偶性来解题，当 时，即，当 时，即，.【详解】构造函数 , ,当 时，故，在 上单调递增，又为偶函数， 为偶函数，所以为偶函数，在 单调递减.,则，;，当 时，即，所以 ；当 时，即，所以.综上所述，.故选：A【点睛】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当 时，当 时两种情况，因为两边同时除以，要考虑其正负.3.定义在上的连续函数的导函数为，且成立

6、，则下列各式一定成立的是（ ）ABCD【答案】C【分析】设，由条件可得，即在上单调递减，且，由此卡判断选项A，B， C， 将代入条件可得，可判断选项D.【详解】由题可得，所以，设则，所以在上单调递减，且由可得，所以，所以选项AB错误，选项C正确.把代入，可得，所以选项D错误，故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，判断函数单调性判断函数值的符号，解答本题的关键是根据题意构造函数，由条件得出其单调性，根据，判断选项，属于难题.变式：1.已知定义在的函数的导函数为，且满足成立，则下列不等式成立的是（ ）ABCD【答案】B【分析】构造函数，求导后可确定其单调性，利用单调性比较大小可判断各选项【

7、详解】设，则，所以在上是减函数，所以，即，A错；，即，B正确；，即，C错；的正负不确定，因此与大小不确定，D不能判断故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查比较大小问题，解题关键是构造新函数，由导数确定其单调性，从而可比较函数值大小变式：2。已知函数的定义域为，且满足：（1），（2），则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据题意构造函数与，利用二者的单调性即可得到结果.【详解】，在上单调递减，在上单调递增，.故选：C【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函

8、数.变式：3.定义在上的函数满足，则不等式(为自然对数的底数)的解集为（ ）ABCD【答案】A【分析】设，由已知得的单调性，不等式化为，由单调性得结论【详解】设，因为，所以，所以是上的增函数，不等式可化为，即，所以故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查用导数解不等式，解题关键是构造新函数，由导数确定单调性，原不等式化为，然后由单调性得结论变式：4.设函数是奇函数（）的导函数，当时，且，则使得成立的的取值范围 （ ）ABCD【答案】A【分析】构造函数，求导并结合已知得到在上为递减函数，进一步推出时，时，据此可求出使得成立的的取值范围.【详解】令，则，所以在上为递减函数，所以当时，又，所以，当时，又

9、，所以，所以当时，又所以时，因为为奇函数，所以时，所以或，或，或.故选：A【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数判断其单调性，根据单调性推出当时，当时，是解题关键.变式：5.定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正实数恒有，若，则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】D【分析】由是定义在上的奇函数，得为奇函数，由，得为上的增函数，再由得，利用单调性可得答案.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，所以当时，有，所以为奇函数，且对于正实数，有，即，所以，所以在是增函数，又因为为奇函数，所以为上的增函数，由得，所以，即，解得或，故选：D.【点睛】考查了函数的性质，解题的关键点是利用奇偶性、

10、单调性解不等式，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.3. 导数之同构异构：例：1.已知函数，若，则的最大值为（ ）A B C D 【答案】D【分析】首先由，再结合函数函数的图象可知，这样转化，利用导数求函数的最大值.【详解】由题意得，即，令函数，则，所以，时，在上单调递减，时，在上单调递增，又当时，时，作函数的图象如图所示.由图可知，当时，有唯一解，故，且，.设，则，令解得，所以在上单调递增，在上单调递减，即的最大值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形， ，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解.2.已知函数，

11、.若存在，使得成立，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【分析】由题意可知，由可得出，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.【详解】，由于，则，同理可知，函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，则，则，构造函数，其中，则.当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，.故选：C.【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.变式：1.设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）ABC

12、D【答案】C【分析】令，根据二阶导数的符号判断的单调性，由零点存在性定理易知使，此时，进而讨论的单调性可知，要使题设不等式恒成立，即成立，构造利用导数研究其单调性确定的区间，进而求的范围.【详解】令，只需要上恒成立，且，即在上单调递增，使，即，时，单调递减；时，单调递增；故只需，令，故在上递减，而，时，恒成立，可知.故选：C【点睛】关键点点睛：利用导数研究的单调性并确定极小值点范围，根据有，结合构造新函数，求成立时的区间，进而求参数范围.变式：2.设，若存在正实数x，使得不等式成立，则的最大值为 （ ）ABCD【答案】A【分析】由题意可得，可令，则成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可

13、得有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到的最大值【详解】不等式，所以，即为，即有，可令，则成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，则，即，可得，导数为，可得时，函数递减，时，函数递增，则时，取得最大值，可得即有，所以，可得，即的最大值为故选：A变式：3.已知是方程的一个根，则的值是（ ）A3B4C5D6【答案】B【分析】根据题意变形得，进而构造函数，由函数的单调性得，即，进而.【详解】解：设，恒成立，故单调递增，由得，所以，所以故选：B.【点睛】本题考查导数同构求解函数值，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于根据同构式整理得，进而构造函数，同构研究函数单调性得，即，进而求解.变式：4.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】不等式整理为，构造函数，求导函数判断原函数单调性，再取对数变量分离，再求导函数进而求最值.【详解】由，得，构造函数，则，当时，当时，所以在上单调递增， 得，在上恒成立，设，当时，单调增，当时，单调减，所以故选: A.【点睛】此题为导数运用综合题，关键在于构造恰当的函数，通过其导函数判断单调性，确定最值.