专题08 解三角形 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）.docx

1、专题八 解三角形讲义知识梳理.解三角形1正弦定理2R(R为ABC外接圆的半径)2余弦定理a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C.3三角形的面积公式 (1)SABCaha(ha为边a上的高)；(2)SABCabsin Cbcsin Aacsin B；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)题型一. 正弦定理考点1.基本量运算1在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=1，c=3，C=3，则A6【解答】解：由正弦定理得asinA=csinCsinA=asinCc=323=12A=6或56ac故答案为：62在ABC中，cosA=5

2、13，sinB=35，a20，则b的值为13【解答】解：在ABC中，cosA=513，sinA=1cos2B=1213由正弦定理可得：asinA=bsinB，b=asinBsinA=20351213=13故答案为：133在ABC中，b=32，cosA=63，B=A+2（1）求a的值；（2）求cos2C的值【解答】解：（1）cosA=63，0A，sinA=33，sinBsin（A+2）cosA=63，由正弦定理得：asinA=bsinB=3263=33，a3；（2）BA+2，2B，又sinB=63，cosB=33，cosCcos（A+B）（cosAcosBsinAsinB）sinAsinBcos

3、AcosB=223，cos2C2cos2C1=79考点2.边角互化1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3(acosCccosA)=b，B=60，则A的大小为75【解答】解：3(acosCccosA)=b，B=60，由正弦定理可得：3（sinAcosCsinCcosA）sinB，可得：3sin（AC）sinB=32，sin（AC）=12，A+C120，又0A120，0C120，可得：120AC120，AC30，解得：A75故答案为：752已知ABC的三个内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若2a3b，A2B，则cosB（）A23B34C45D0【解答】解：2a3b，根据正弦

4、定理得2sinA3sinB，且A2B，2sin2B4sinBcosB3sinB，且sinB0，cosB=34故选：B3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA3acosB2b3c，则A（）A3B4C6D23【解答】解：bsinA3acosB2b3c，由正弦定理可得：sinBsinA3sinAcosB2sinB3sinC，sinBsinA3sinAcosB2sinB3sinC2sinB3（sinAcosB+cosAsinB），sinBsinA2sinB3cosAsinB，又sinB0，sinA+3cosA2，2sin（A+3）2，可得A+3=2+2k，kZ，又A（0，）

5、，A=6故选：C考点3.内角和应用1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinCcosC）0，a2，c=2，则C（）A12B6C4D3【解答】解：sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC，sinB+sinA（sinCcosC）0，sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC0，cosAsinC+sinAsinC0，sinC0，cosAsinA，tanA1，2A，A=34，由正弦定理可得csinC=asinA，sinC=csinAa，a2，c=2，sinC=csinAa=2222=12，ac，C=6，故选：B2已知a、b

6、、c分别为ABC的三内角A、B、C的对边，acosc+3asinCbc=0，则A（）A2B3C4D6【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+3sinAsinCsinBsinC0，sinAcosC+3sinAsinCsin（A+C）sinC0，即sinAcosC+3sinAsinCsinAcosCcosAsinCsinC0，3sinAsinCcosAsinCsinC0，sinC0，3sinAcosA+1，即sinA1+cosA=33，tanA2=sinA1+cosA=33，A2=6，即A=3故选：B3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，bc，已知cos（AC）+cosB1，（

7、2cosB1）a+2bcosA0，则C6【解答】解：由B（A+C），可得cosBcos（A+C），cos（AC）+cosBcos（AC）cos（A+C）2sinAsinC1，sinAsinC=12，又（2cosB1）a+2bcosA0，可得：2acosB+2bcosAa，由正弦定理可得：2sinAcosB+2sinBcosAsinA，可得：sinA2sinC，联解可得，sin2C=14，0C，sinC=12，a2c，即ac，得C为锐角，C=6故答案为：6题型二. 余弦定理1ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2（1sinA），则A（）A34B3C4D6【解答】解：b

8、c，a2b2+c22bccosA2b22b2cosA2b2（1cosA），a22b2（1sinA），1cosA1sinA，则sinAcosA，即tanA1，即A=4，故选：C2在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知3cosAcosC=ac，且a2c22b，则b（）A4B3C2D1【解答】解：3cosAcosC=ac，即为3ccosAacosC，即有3cb2+c2a22bc=aa2+b2c22ab，即有a2c2=12b2，又a2c22b，则2b=12b2，解得b4故选：A3在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C120，sinC=2sinA，则（）AabBabC

9、abDa与b的大小关系不能确定【解答】解：因为C120，sinC=2sinA，所以由正弦定理可得：c=2a，由余弦定理cosC=a2+b2c22ab，可得：12=a2+b22a22ab，整理可得：a2b2ab0，可得a2b2，可得ab故选：C4在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知sinAcosC3cosAsinC且a2c22b，则b4【解答】解：sinAcosC3cosAsinC，aa2+b2c22ab=3cb2+c2a22bc，2c22a2b2，a2c22b，b24b，b0，b4故答案为：45在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2A2=b+c2c，则A

10、BC是（）A直角三角形B等腰三角形或直角三角形C正三角形D等腰直角三角形【解答】解：cos2A2=b+c2c，2cos2A21cosA，cosA=bc，ABC是直角三角形故选：A题型三.高、中点、角平分线问题1在ABC中，B=4，BC边上的高等于13BC，则cosA等于（）A31010B1010C1010D31010【解答】解：设ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，ADBC于D，令DAC，在ABC中，B=4，BC边上的高ADh=13BC=13a，BDAD=13a，CD=23a，在RtADC中，cos=ADAC=a3(13a)2+(2a3)2=55，故sin=255，cosAcos（

11、4+）cos4cossin4sin=225522255=1010故选：C2已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若ABC=3，b=7，c2，D为BC的中点（）求cosBAC的值；（）求AD的值【解答】（本题满分为12分）解：（I）法1：由正弦定理得sinC=cbsinB=2732=37（1分）又在ABC中，bc，CB，0C2（2分）cosC=1sin2C=137=27（3分）cosBACcos（BC）cos（B+C）（4分）（cosBcosCsinBsinC）（5分）=32371227=714（6分）法2：在ABC中，由余弦定理得AC2AB2+BC22ABBCcosABC（1分）

12、7=4+a222a12，（2分）（a3）（a+1）0解得a3（a1已舍去），（4分）cosBAC=AB2+AC2BC22ABAC（5分）=4+79227=714（6分）（II）法1：AD=12(AB+AC)（8分）AD2=14(AB+AC)2=14(AB2+AC2+2ABAC)（10分）=14(4+7+227714)=134（11分）AD=132（12分）法2：在ABC中，由余弦定理得BC2AB2+AC22ABACcosBAC（7分）=4+7227714=9，（8分）BC3，BD=32（9分）在ABD中，由余弦定理得 AD2AB2+BD22ABBDcosABD，（10分）=4+94223212

13、=134，（11分）AD=132，（12分）法3：设E为AC的中点，连结DE，则 DE=12AB=1，（7分）AE=12AC=127（8分）在ADE中，由余弦定理得AD2AE2+DE22AEDEcosAED，（9分）=74+1+2721714=134，（11分）AD=132（12分）3已知AD是ABC的内角A的平分线，AB3，AC5，BAC120，则AD长为158【解答】解：AD是ABC的内角A的平分线，且BAC120，BADCAD60，SABD+SCADSABC，12ABADsinABD+12ACADsinCAD=12ABACsinBAC，即123AD32+125AD32=123532，解得

14、：AD=158，故答案为：158题型四. 周长、面积问题1ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ABC面积为334，b3，B=23则ABC是（）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形【解答】解：ABC面积为334，b3，B=23，12acsinB=334，即12ac32=334，整理得：ac3，由余弦定理得：b2a2+c22accosB，即9a2+c2+ac（a+c）2ac（a+c）23，整理得：a+c23，联立，解得：ac=3，则ABC为等腰三角形，故选：C2（2014新课标）钝角三角形ABC的面积是12，AB1，BC=2，则AC（）A5B5C2D1【解答】解：

15、钝角三角形ABC的面积是12，ABc1，BCa=2，S=12acsinB=12，即sinB=22，当B为钝角时，cosB=1sin2B=22，利用余弦定理得：AC2AB2+BC22ABBCcosB1+2+25，即AC=5，当B为锐角时，cosB=1sin2B=22，利用余弦定理得：AC2AB2+BC22ABBCcosB1+221，即AC1，此时AB2+AC2BC2，即ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=5故选：B3（2018新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bsinC+csinB4asinBsinC，b2+c2a28，则ABC的面积为233【解答】解：ABC的内角

16、A，B，C的对边分别为a，b，cbsinC+csinB4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB4sinAsinBsinC，由于0B，0C，所以sinBsinC0，所以sinA=12，则A=6或56由于b2+c2a28，则：cosA=b2+c2a22bc，当A=6时，32=82bc，解得bc=833，所以SABC=12bcsinA=233当A=56时，32=82bc，解得bc=833（不合题意），舍去故：SABC=233故答案为：2334（2016新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）c（）求C；（）若c=7

17、，ABC的面积为332，求ABC的周长【解答】解：（）在ABC中，0C，sinC0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）sinC，整理得：2cosCsin（A+B）sinC，即2cosCsin（A+B）sinC2cosCsinCsinCcosC=12，C=3；（）由余弦定理得7a2+b22ab12，（a+b）23ab7，S=12absinC=34ab=332，ab6，（a+b）2187，a+b5，ABC的周长为5+75（2017新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）8sin2B2（1）求cosB；（2）若a+c6，ABC

18、的面积为2，求b【解答】解：（1）sin（A+C）8sin2B2，sinB4（1cosB），sin2B+cos2B1，16（1cosB）2+cos2B1，16（1cosB）2+cos2B10，16（cosB1）2+（cosB1）（cosB+1）0，（17cosB15）（cosB1）0，cosB=1517；（2）由（1）可知sinB=817，SABC=12acsinB2，ac=172，b2a2+c22accosBa2+c221721517a2+c215（a+c）22ac153617154，b2题型五. 最值、取值范围问题考点1.最值问题1（2014新课标）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，

19、B，C的对边，a2且（2+b）（sinAsinB）（cb）sinC，则ABC面积的最大值为3【解答】解：因为：（2+b）（sinAsinB）（cb）sinC（2+b）（ab）（cb）c2a2b+abb2c2bc，又因为：a2，所以：a2b2=c2bcb2+c2a2=bccosA=b2+c2a22bc=12A=3，ABC面积S=12bcsinA=34bc，而b2+c2a2bcb2+c2bca2b2+c2bc4bc4所以：S=12bcsinA=34bc3，即ABC面积的最大值为3故答案为：32在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB2a+b，若ABC的面积为S=3c，则ab的

20、最小值为（）A56B48C36D28【解答】解：由正弦定理，有asinA=bsinB=csinC=2R，又2ccosB2a+b，可得：2sinCcosB2sinA+sinB，由A+B+C，得sin Asin（B+C），则2sinCcosB2sin（B+C）+sinB，即2sinBcosC+sinB0，又0B，sinB0，得cosC=12，因为0C，得C=23，则ABC的面积为S=12absinC=34ab=3c，即c=14ab，由余弦定理，得c2a2+b22ab cosC，化简，得a2+b2+ab=116a2b2，由于：a2+b22ab，当仅当ab时取等号，可得：2ab+ab116a2b2，即

21、ab48，故ab的最小值是48故选：B3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+2b=2c，则cosC的最小值为624【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a+2b=2c，c2=a2+2b2+22ab4，cosC=a2+b2c22ab=a2+b2a2+2b2+22ab42ab=34a2+b222ab24 234a212b22ab24=624当且仅当34a2=12b2时，取等号，cosC的最小值为624故答案为：6244（2011新课标）在ABC中，B60，AC=3，则AB+2BC的最大值为27【解答】解：设ABcACbBCa由余弦定理cosB=a2+c2b2

22、2ac所以a2+c2acb23设c+2am代入上式得7a25am+m230843m20 故m27当m27时，此时a=577，c=477符合题意因此最大值为27另解：因为B60，A+B+C180，所以A+C120，由正弦定理，有ABsinC=BCsinA=ACsinB=3sin60=2，所以AB2sinC，BC2sinA所以AB+2BC2sinC+4sinA2sin（120A）+4sinA2（sin120cosAcos120sinA）+4sinA=3cosA+5sinA27sin（A+），（其中sin=327，cos=527）所以AB+2BC的最大值为27故答案为：275设ABC的内角A，B，C

23、所对的边长分别为a，b，c，且acosBbcosA=35c，则tan（AB）的最大值为（）A35B13C38D34【解答】解：acosBbcosA=35c，结合正弦定理，得sinAcosBsinBcosA=35sinC，C（A+B），得sinCsin（A+B），sinAcosBsinBcosA=35（sinAcosB+cosAsinB），整理，得sinAcosB4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA4tanB，由此可得tan（AB）=tanAtanB1+tanAtanB=3tanB1+4tan2B=31tanB+4tanB，A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，A、B都

24、是锐角，即tanA0，tanB0，1tanB+4tanB2 1tanB4tanB=4，tan（AB）=31tanB+4tanB34，当且仅当1tanB=4tanB，即tanB=12时，tan（AB）的最大值为34故选：D考点2.取值范围问题1已知a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，a4，b（4，6），sin2AsinC，则c的取值范围为（42，210）【解答】解：由正弦定理得，4sinA=csinC=csin2A，故c8cosA，因为16b2+c22bccosA，所以16b264cos2A16bcos2A，因为b4，所以cos2A=16b216(4b)=4+b16，所以c264cos2A6

25、44+b16=4（4+b）（32，40），故42c210故答案为：（42，210）2在锐角三角形ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，若A2B，则ab的取值范围是(2，3)【解答】解：锐角三角形ABC中，A2B，C3B，所以0B202B203B2，解得6B4，由正弦定理得ab=sinAsinB=2cosB（2，3）故答案为：（2，3）3已知a，b，c分别为锐角ABC的三个内角A，B，C的对边，若a2，且sin2BsinA（sinA+sinC），则ABC的周长的取值范围为（4+22，6+23）【解答】解：因为a2，且sin2BsinA（sinA+sinC），所以由正弦定理可得b2a2+ac

26、，由余弦定理可得cosA=c2+b2a22bc=c2+ac2bc=c+a2b，同理可得：cosB=ca2b，即c+a=2bcosAca=2acosB，消去c，可得2a2bcosA2acosB，由正弦定理可得2sinA2sinBcosA2sinAcosB，即2sinA2sin（BA），可得B2A，由正弦定理asinA=bsinB，可得2sinA=bsin2A，可得b4cosA，因为ABC为锐角三角形，且A+B+C，所以02A2，即6A4，所以22cosA32，即22b23又因为a2，即b24+2c，所以ABC的周长为a+b+c2+b+b242=12b2+b，由二次函数性质可得，ABC的周长的取值

27、范围为：（4+22，6+23）故答案为：（4+22，6+23）4在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2a2ac，则1tanA1tanB的取值范围为（1，233）【解答】解：b2a2ac，b2a2+c22accosBa2+ac，c2acosB+a，sinC2sinAcosB+sinA，sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，sinAcosAsinBsinAcosBsin（BA），三角形ABC为锐角三角形，ABA，B2A，C3A，02A203A2A（6，4），B（3，2）1tanA1tanB=sin(BA)sinBsinA=1sinB，B（3，2）

28、sinB（32，1），1sinB，233），1tanA1tanB的范围为（1，233），故答案为：（1，233）5已知ABC的周长为6，且cos2B+2sinAsinC1，则BABC的取值范围是2，27952）【解答】解：由cos2B+2sinAsinC1，得2sinAsinC1cos2B2sin2B，利用正弦定理可得b2ac，又a+b+c6，b=aca+c2=6b2，从而0b2再由|ac|b，得（ac）2b2，（a+c）24acb2，（6b）24b2b2，得b2+3b90，又b0，解得b3532，3532b2，cosB=a2+c2b22ac，BABC=accosB=a2+c2b22=(a+c

29、)22acb22=(6b)23b22=（b+3）2+27则2BABC27952BABC的取值范围是2，27952）故答案为：2，27952）题型六. 解三角形解答题1已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=3，_且b=2，请从b2+2aca2+c2，acosBbsinA，sinB+cosB=2这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时ABC的面积【解答】解：情形一：若选择b2+2ac=a2+c2，由余弦定理cosB=a2+c2b22ac=2ac2ac=22，因为B（0，），所以B=4；情形二：若选择acosBbsinA，则sinAcosBsinBsinA，因为sinA0，所以s

30、inBcosB，因为B（0，），所以B=4；情形三：若选择sinB+cosB=2，则2sin(B+4)=2，所以sin(B+4)=1，因为B（0，），所以B+4(4，54)，所以B+4=2，所以B=4；由正弦定理asinA=bsinB，得a=bsinAsinB=2sin322=3，因为A=3，B=4，所以C=34=512，所以sinC=sin512=sin(4+6)=sin4cos6+cos4sin6=6+24，所以SABC=12absinC=12326+24=3+34故答案为：S=3+342已知ABC的外接圆半径为R，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b2且bsinBasinA2R（sin

31、BsinC）sinC（1）求角A；（2）若AD是BC边上的中线AD=72，求ABC的面积【解答】解：（1）由正弦定理bsinB=csinC=2R，可得b2RsinB，c2RsinC，由已知可得：bsinBasinA（bc）sinC，b2a2c（bc）bcc2，即b2+c2a2bc，由余弦定理可得cosA=b2+c2a22bc=bc2bc=12，A（0，），A=3（2）BC边上的中线AD=72，b2，又AD=12(AB+AC)，两边平方，可得：AD2=14（AB2+AC2+2ABAC），74=14（c2+22+2c2cos3），整理可得：c2+2c30，解得c1，或3（舍去），SABC=12bc

32、sinA=122132=323在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（3bc）cosAacosC（1）求cosA；（2）若a=3，求ABC的面积S的最大值【解答】解：（1）由余弦定理可得（3bc）b2+c2a22bc=aa2+b2c22ab，整理得b2+c2a2=23bc，则cosA=b2+c2a22bc=23bc2bc=13；（2）由余弦定理cosA=b2+c2a22bc=b2+c232bc=13，即b2+c23+23bc，因为3+23bcb2+c22bc，所以bc94，当且仅当bc时取“”因为cosA=13，则sinA=223则S=12bcsinA1294223=3424已知

33、ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin2A+sin2Bsin2C=3sinAsinB（1）求角C的大小；（2）若c2，求3a+b的取值范围【解答】解：（1）由题可得a2+b2c2=3ab，所以cosC=a2+b2c22ab=3ab2ab=32，C（0，），C=56，（2）由正弦定理得2R=csinC=4，a+b=2R(3sinA+sinB)，=2R3sinA+sin(6A)=4sin(A+6)，A(0，6)，A+6(6，3)，sin(A+6)(12，32)，a+b(2，23)课后作业. 解三角形1下列命题中，正确的是（）A在ABC中，AB，则sinAsinBB在锐角ABC中，

34、不等式sinAcosB恒成立C在ABC中，若acosAbcosB，则ABC必是等腰直角三角形D在ABC中，若B60，b2ac，则ABC必是等边三角形【解答】解：对于A，由AB，可得：ab，利用正弦定理可得：sinAsinB，正确；对于B，在锐角ABC中，A，B（0，2），A+B2，2A2B0，sinAsin（2B）cosB，因此不等式sinAcosB恒成立，正确对于C，在ABC中，由acosAbcosB，利用正弦定理可得：sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，A，B（0，），2A2B或2A22B，AB或A+B=2，ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误对于D，由

35、于B600，b2ac，由余弦定理可得：b2aca2+c2ac，可得（ac）20，解得ac，可得ACB60，故正确故选：ABD2ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2asinA（2b+c）sinB+（2c+b）sin C且sinB+sinC1，则ABC是（）A等腰钝角三角形B等腰直角三角形C钝角三角形D直角三角形【解答】解：由已知，根据正弦定理得2a2（2b+c）b+（2c+b）c，即a2b2+c2+bc由余弦定理得a2b2+c22bccos A，故cos A=12，0A，A120方法一由（1）得sin2Asin2B+sin2C+sin Bsin C，又A120，sin2B+sin2

36、C+sin Bsin C=34，sin B+sin C1，sin C1sin Bsin2B+（1sin B）2+sin B（1sin B）=34，即sin2Bsin B+14=0解得sin B=12故sin C=12BC30所以，ABC是等腰的钝角三角形方法二A120，B+C60，则C60B，sin B+sin Csin B+sin（60B）sin B+32cos B12sin B=12sin B+32cos Bsin（B+60）1，B30，C30ABC是等腰的钝角三角形故选：A3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知asinAbsinB4csinC，cosA=14，则bc=（）A6

37、B5C4D3【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinAbsinB4csinC，cosA=14，由正弦定理得：a2b2=4c2cosA=b2+c2a22bc=14，解得3c2=12bc，bc=6故选：A4ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M在边AB上，且AM=13AB，b2，CM=273，2sinAsinBsin2B=cb，则SABC（）A334B3C23D833【解答】解：ABC中，2sinAsinBsin2B=cb，2sinAsinBsin2B=sinCsinB，2sinCcosB2sinAsinB，2sinCcosB2（sinBcosC+cosB

38、sinC）sinB，cosC=12，又C（0，180），C60；又 AM=13AB，CM=CA+AM=CA+13AB=CA+13（CBCA）=23CA+13CB，3CM=2CA+CB，9CM24CA2+CB2+4CACB；2816+a2+4a，解得a2或a6（不合题意，舍去），ABC的面积为SABC=1222sin60=3故选：B5在ABC中，B120，AB=2，A的角平分线AD=3，则AC（）A2B5C6D7【解答】解：由题意以及正弦定理可知：ABsinADB=ADsinB，ADB45，12A18012045，可得A30，则C30，三角形ABC是等腰三角形，AC22sin60=6故选：C6在

39、ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若a+c4，则AC边上中线长的最小值3【解答】解：acosC，bcosB，ccosA成等差数列，2bcosBccosA+acosC，利用正弦定理得：2sinBcosBsinCcosAsinAcosC，整理得：2sinBcosBsin（A+C），即2sinBcosBsinB，sinB0，cosB=12，则B=3如图：设AC边上的中点为E在BAE中，由余弦定理得：BE2c2+（b2）22c（b2）cosA，又cosA=b2+c2a22bc，a2+c2b2ac代入上式，并整理得：BE2=a2+c2+ac4

40、=(a+c)2ac4=16ac416(a+c2)24=3，当ac2时取到”，所以AC边上中线长的最小值为3故答案为：37在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinC1cosA=3c（1）若a2，求ABC外接圆的半径；（2）若b+c10，SABC43，求a的值【解答】解：（1）由正弦定理可得：sinAsinC1cosA=3sinC，sinC0，sinA=3（1cosA），sinA+3cosA2sin（A+3）=3，可得：sin（A+3）=32，A+3（3，43），A+3=23，可得：A=3，2R=asinA=232=433，ABC的外接圆的半径为233（2）SABC43=12bc

41、sinA=34bc，bc16，a=b2+c22bccos3=(b+c)22bcbc=2138已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a2b）cosC+ccosA0（1）求角C；（2）若c=23，求ABC的周长的最大值【解答】解：（1）根据正弦定理，由已知得：（sinA2sinB）cosC+sinCcosA0，即sinAcosC+sinCcosA2sinBcosC，sin（A+C）2sinBcosC，A+CB，sin（A+C）sin（B）sinB0，sinB2sinBcosC，从而cosC=12C（0，），C=3（2）由（1）和余弦定理得cosC=a2+b2c22ab=12，即a2+

42、b212ab，(a+b)212=3ab3(a+b2)2，即（a+b）248（当且仅当a=b=23时等号成立）所以，ABC周长的最大值为43+c=639ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且2sin2A+B2=1+cos2C（）求角C的大小；（）若c=3，求ABC的面积S的取值范围【解答】解：（）由题意得，2sin2A+B2=1+cos2C，1cos（A+B）2cos2C，又cos（A+B）cos（C）cosC，2cos2CcosC10，解得cosC=12或1，0C，cosC=12，则C=23；（）C=23，c=3，由余弦定理得，c2a2+b22abcosC，3a2+b22ab（12），解得3a2+b2+ab，3aba2+b22ab，解得ab1，当且仅当ab时取等号，ABC的面积S=12absinC=34ab34，ABC的面积S的取值范围是（0，34