专题08命题与证明（8个知识点4种题型）（解析版）.docx

1、专题08命题与证明（8个知识点4种题型）【目录】倍速学习三种方法【方法一】 脉络梳理法知识点1.命题（重点）知识点2.命题的构成（重点）（难点）知识点3.互逆命题（重点）知识点4.基本事实、定理、推论、证明的概念知识点5.证明的一般步骤（难点）知识点6.辅助线的添加（重点）知识点7.三角形内角和定理的证明知识点8.三角形的外角的定义及三角形内角和定理的推论（重点）【方法二】 实例探索法题型1.命题的证明题型2.利用三角形内角和定理的推论求角的度数或判断角的大小题型3.利用三角形内角与外角的关系证明角的关系题型4.一题多解法辅助线的作法【方法三】 成果评定法1. 了解定义、命题、真命题、假命题、

2、定理的含义。2. 会区分命题的条件和结论，了解判断命题真假的方法，通过实例感受证明的过程。3. 会运用三角形内角和定理及外角解决相关问题。【知识导图】 【倍速学习三种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.命题（重点）判断一件事情的句子叫命题其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题要点诠释： 命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以【例1】下列语句不是命题的是（）A三角形的内角和等于180度B把16开平方C直角都相等D对顶角相等【答案】B【详解】解：A、

3、C、D都是命题，B不是命题；故选：B【变式1】下列定理中，下面语句是命题的是（ ）A是有理数B已知，求C作的角平分线D正数大于一切负数吗？【答案】A【详解】解：A、对事情作出了判断，是命题，符合题意；B、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；C、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；D、为疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意故选：A【例2】下列命题中是假命题的是（）A两条直线相交有2对对顶角B互为邻补角的两个角的平分线互相垂直C同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行D互补的两个角一定是邻补角【答案】D【详解】解：A、两条直线相交有2对对顶角，正确，是

4、真命题，不符合题意；B、互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，正确，是真命题，不符合题意；C、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意；D、互补的两个角不一定是邻补角，故错误，是假命题，符合题意故选：D知识点2.命题的构成（重点）（难点）命题通常由条件、结论两个部分组成，通常可以写成“如果那么”的形式.【例3】指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果那么”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；【答案与解析】（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”

5、这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等” （2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在同一个三角形中”，在改写时不能遗漏（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那

6、么这两个角相等”知识点3.互逆命题（重点）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.【例4】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒，得到新的命题，并判断这些命题的真假(1)对顶角相等；(2)两直线平行，同位角相等；(3)若a=0，则ab=0；(4)两条直线不平行，则一定相交；【答案】(1)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)；(3)若a=0，则ab=0(真)；若ab=0，则a=0(假)；(

7、4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)；知识点4.基本事实、定理、推论、证明的概念1、定理用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据要点诠释：也就是说同时满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.2、演绎推理要从已知条件出发.根据已知的定义、基本事实、已证定理,并按照逻辑规则，推导出结论.这一方法称为演绎推理。【例5】利用基本事实证明：“两直线平行，同位角相等”.（在括号内填上相应的基本事实）已知：如图，直线、被直线所截，求证：证明：假设，则可以过点作，（ ）

8、，过点存在两条直线、两条直线与平行，这与基本事实（ ）矛盾，假设不成立，【详解】证明：假设12，则可以过点O作EOG2，EOG2，（同位角相等，两直线平行），过O点存在两条直线AB、OG两条直线与CD平行，这与基本事实（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）矛盾，假设不成立，12故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行知识点5.证明的一般步骤（难点）证明过程中的静一步推理都要有依据.依据作为推理的理由,可以写在每一步后的括号内(1)按题意画出图形.(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论(3)在“证明”中写出推理

9、过程在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写人证明中.辅助线通常画成虚线【例6】利用刚刚证明的“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，同旁内角互补”.（要求画图，写出已知、求证并写出证明过程）已知: 求证： 证明：【解析】已知：求证：两直线平行，同旁内角互补证明：如图，12，13180，23180，即两直线平行，同旁内角互补故答案为：；两直线平行，同旁内角互补知识点6.辅助线的添加（重点）【例7】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图1，若ABCD，点P在AB、CD外部，则有BBOD，又因BOD是POD的外角，故BODBPD+D得BPDBD将点P移到AB、CD内

10、部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则BPD、B、D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则BPD、B、D、BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求如图4中A+B+C+D+E的度数【解答】解：（1）不成立，结论是BPDB+D延长BP交CD于点E，ABCD，BBED，又BPDBED+D，BPDB+D；（2）结论：BPDBQD+B+D连接QP并延长，BPE是BPQ的外角，DPE是PDQ的外角，BPEB+BQE，DPED+DQP，BPE+DPEB+D+BQE+DQP，即BPDBQ

11、D+B+D；（3）由（2）的结论得：AFGB+EAGFC+D又A+AFG+AGF180A+B+C+D+E180（或由（2）的结论得：AGBA+B+E且AGBCGD，A+B+C+D+E180【变式】（2023春河南南阳七年级校考阶段练习）阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把AOD和BOC叫做对顶三角形结论：若AOD和BOC是对顶三角形，则A+DB+C结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即A+B+ACE+ADB+E的度数解：连接CD，由对顶三角形的性质得：B+E1+2，在ACD中，A+ACD+ADC180，即A+3+1+2+4180，A+ACE+B+E+ADB180即五角星的五个

12、内角之和为180解决问题：（1）如图，A+B+C+D+E+F ；（2）如图，A+B+C+D+E+F+G ；（3）如图，A+B+C+D+E+F+G+H ；（4）如图，A+B+C+D+E+F+G+H+M+N ；请你从图或图中任选一个，写出你的计算过程【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）1080；过程见解析【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得ABBDCACD，则ABCDEF360；（2）连接ED，由对顶角三角形可得ABBEDADE，则ABCDEFG540；（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知EBHBHDHDEBED，ABCDEFGH五边形CDEFG的内角和ABH的内

13、角和540180720；（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知12NGHEHG，ABCDEFGHMN六边形BCFGHM的内角和AND的内角和NDE的内角和（62）1803601080故答案为：360；540；720；1080知识点7.三角形内角和定理的证明三角形内角和等于180推论1 直角三角形的两锐角互余推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形【例8】在苏科版七年级（下）册数学教材第12章证明中，我们学习了一个定理证明“三角形的内角和是180”(1)请你根据你的课堂学习回忆并证明“三角形的内角和是180”；如图1，在ABC中，求证：ABC180；(2)如图2，点A、D、C、F在一条直线上，

14、求证：ABEF；(3)如图3，点AD是的角平分线，E是BC延长线上一点，EACB，EFAD，垂足为F求证：EF平分AED【分析】对于（1），过点A作，得BDAB，CEAC，再结合平角定义得出答案；对于（2），根据平行线的性质得BCACDE，再结合三角形内角和定理得出答案；对于（3），先根据三角形内角和定理和平角定义得BADBADC，再根据角平分线定义得BADCAD，即可得EADADC，然后根据三角形内角和定理得出答案即可【详解】（1）证明：过A点作，BDAB，CEACDABBACCAE180，BBACC180（2）证明：，BCACDEABBCA180，FEEDC180ABEF（3）证明：BAD

15、BBDA180，BDAADC180，BADBADC，AD是的角平分线，BADCAD，CADBADCEACB，CADEACADC，即EADADC，EFAD，EFAEFD90EFAEADAEF180，EFDADCDEF180，AEFDEF，EF平分AED【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的判定和应用，角平分线的定义和判定等，理解定理并会应用是解题的关键知识点8.三角形的外角的定义及三角形内角和定理的推论（重点）三角形的外角1定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角如图，ACD是ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：顶点在三角形的一个顶点上； 一条边是三角形的一边；另一

16、条边是三角形某条边的延长线 （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和推论4 三角形外角大于与它不相邻的任何一个内角要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质【例9】（2022秋安徽安庆八年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据已知：如图，求证：证明：延长交于点，则（）又，_，（等量代换）（）【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角

17、的和；内错角相等，两直线平行【分析】第一个空是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，第二个空根据等量代换得出，第三个空是平行线的判定【详解】解：延长交于点，则（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）又，（等量代换）（内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查推理与证明，解题的关键是掌握推理与证明过程中理由的书写，平行线的性质和三角形外角的定理【方法二】实例探索法题型1.命题的证明1.证明命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于”是真命题【分析】利用三角形外角的性质得到，再由三角形内角和定理得到，即可证明【详解】已知：如图，是的三个外角；求证：证明：，命题“三角形不共顶点的三个外角的

18、和等于”是真命题题型2.利用三角形内角和定理的推论求角的度数或判断角的大小2.如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IHBC于H，试比较CIH和BID的大小【答案与解析】AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，BAD=BAC，ABI=ABC，HCI=ACBBAD+ABI+HCI=BAC+ABC+ACB=（BAC+ABC+ACB）=180=90BAD+ABI=90-HCIIHBC，IHC=9090-HCI=CIH，CIH=BAD+ABIBID=BAD+ABI（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和）BID=CIH【总结升华】考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：三角形三个内角

19、的和为180，在推导角的关系时，一定不要忘记与三角形有关的角中还有一个特别重要的性质：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和.题型3.利用三角形内角与外角的关系证明角的关系3.在ABC中，CB，AE平分BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FDBC于D；（1）如果点F与点A重合，且C=50，B=30，如图1，求EFD的度数；（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问EFD与CB有怎样的数量关系？并说明理由（3）如果点F在ABC外部，如图3，此时EFD与CB的数量关系是否会发生变化？请说明理由【答案】（1）解：C=50，B=30，BAC=1805030=100AE平分B

20、AC，CAE=50在ACE中AEC=80，在RtADE中EFD=9080=10（2）EFD=（CB）证明：AE平分BAC，BAE=90（C+B）AEC为ABE的外角，AEC=B+90（C+B）=90+（BC）FDBC，FDE=90EFD=9090（BC）EFD=（CB）（3）EFD=（CB）如图，AE平分BAC，BAE=DEF为ABE的外角，DEF=B+=90+（BC），FDBC，FDE=90EFD=9090（BC）EFD=（CB）题型4.一题多解法辅助线的作法4证明：三角形的内角和为180.【答案与解析】解：已知：如图，已知ABC，求证：A+B+C180.证法1：如图1所示，延长BC到E，作

21、CDAB因为ABCD（已作），所以1=A（两直线平行，内错角相等），B=2（两直线平行，同位角相等） 又ACB+1+2=180（平角定义）， 所以ACB+A+B=180（等量代换）证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DEAB，交AC于E，DFAC，交AB于点F因为DFAC（已作），所以1=C（两直线平行，同位角相等），2=DEC（两直线平行，内错角相等）因为DEAB（已作）所以3=B，DEC=A（两直线平行，同位角相等）所以A=2（等量代换）又1+2+3=180（平角定义），所以A+B+C=180（等量代换）证法3：如图3所示，过A点任作直线，过B点作，过C点作， 因为（已作） 所以l

22、=2（两直线平行，内错角相等） 同理3=4又（已作），所以5+1+6+4=180（两直线平行，同旁内角互补） 所以5+2+6+3=180（等量代换） 又2+3=ACB， 所以BAC+ABC+ACB=180（等量代换）证法4：如图4，将ABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角.证法5：如图51和图52，在图51中作1A，得CDAB，有2B；在图52中过A作MNBC有1B，2C，进而将三个内角拼成平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.【方法三】 成果评定法一、单选题1（2022秋安徽马鞍山八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）下列语句中不

23、是命题的是（）A锐角小于钝角 B作线段的中垂线C内错角相等D若则【答案】B【分析】根据命题的定义，能判断真假的陈述句分别进行判断即可【详解】解：锐角小于钝角，内错角相等，若则都是命题，作线段的中垂线，无法判断真假，不是命题，故选：【点睛】本题考查了命题与定理，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句是解答本题的关键2（2022秋安徽合肥八年级校考期中）下列命题中的真命题是（）A当时，B相等的角是对顶角CD若，则【答案】A【分析】根据不等式的性质、对顶角的意义、负指数幂及绝对值可进行求解【详解】解：A、当时，则，原命题是真命题；B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；C、，原命题是假命题；D、若，

24、则，原命题是假命题，故选A【点睛】本题主要考查真假命题、不等式的性质及负指数幂，熟练掌握真假命题及各个概念是解题的关键3（2023秋安徽淮南八年级校联考阶段练习）如图，直线，则的度数为（）ABCD【答案】B【分析】根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可【详解】解：如图，故选：B【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键4（2022秋安徽安庆八年级校考期中）下列命题：在同一平面内，已知直线、，若，则；在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；已知直线，如果，那么，其中正确的命题是（）A和B和

25、C和D和【答案】A【分析】根据平面内两直线的位置关系，平行公理，垂线的定义进行求解即可【详解】解：在同一平面内，已知直线、，若，则，是假命题；在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，是真命题；同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题；已知直线，如果，那么，是真命题；故选A【点睛】本题主要考查了判断命题真假，平面内两直线的位置关系，平行公理，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键5（2022秋安徽八年级期末）下面四个命题：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；全等三角形的对应角相等；如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是（）A1B

26、2C3D4【答案】B【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可【详解】解：对顶角相等的逆命题是相等的解是对顶角，是假命题；同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补是真命题；全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等的逆命题为：如果两个实数相等，那么它们的平方相等，是真命题，其中逆命题是真命题的有2个，故选：B【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称

27、为另一个命题的逆命题6（2020秋安徽芜湖八年级期末）如图，中，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（）ABCD【答案】D【分析】先根据折叠的性质得，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果【详解】解如图，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，在中，在中，即，故选：D【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出和的倍数关系是解决问题的关键7（2023秋安徽阜阳八年级统考阶段练习）如图，在中，是上一点，若为直角三角形，则的度数为（）ABC或D或【答案】

28、C【分析】利用三角形内角和先求出的度数，再根据点的位置不同分情况利用求出的度数，进而求出的度数【详解】解：在中，如图，当时，当时，故选：【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解答本题的关键8（2023春安徽宿州八年级校考阶段练习）已知：直线，一块含角的直角三角板如图所示放置，则等于（）ABCD【答案】A【分析】如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余可得，最后根据对顶角相等即可得【详解】解：如图，由题意得：，由对顶角相等得：，故选：A【点睛】本题考查了三角形的外角性质、平行线的性质、对顶角相等、直角三角形的两个

29、锐角互余，熟练掌握各知识点是解题关键9（2023秋安徽滁州八年级统考期末）如图在中，分别平分，交于O，为外角的平分线， 的延长线交于点E，记，则以下结论：，正确的是（）ABCD【答案】C【分析】由分别平分，为外角的平分线，可得，由，可知，进而可判断的正误；由，可判断的正误；由，可知，进而可判断的正误【详解】解：分别平分，为外角的平分线，正确，故符合要求；，错误，故不符合要求；正确，故符合要求；，错误，故不符合要求；故选：C【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，外角的性质等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用10（2023秋安徽阜阳八年级统考阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，当

30、点落在三角形内部时，与，之间的数量关系是（）ABCD【答案】A【分析】首先根据折叠性质可得，利用邻补角可得，在中，根据三角形内角和定理可得，整理即可得出结果【详解】解：如图三角形纸片沿折叠，当点落在三角形内部，在中，整理得：，故选：【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠性质，邻补角定义，熟练掌握三角形内角和定理是解答本题的关键二、填空题11（2017秋安徽合肥八年级合肥市五十中学西校校考期中）把命题“对顶角相等”写成“如果，那么”的形式为：如果 ，那么 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面【详

31、解】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果那么”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单12（2023春安徽宿州八年级校考期中）利用反证法证明“在中，求证：”时，第一步应假设： 【答案】/【分析】根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法；据此即可求解【详解】解：假设结论：不成立，假设；故答案：【点睛】本题

32、考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键13（2022秋安徽八年级期末）如图，BP是ABC中ABC的平分线，CP是ACB的外角的平分线，如果ABP20，ACP50，则P 【答案】30【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出P的度数【详解】解：BP是ABC中ABC的平分线，CP是ACB的外角的平分线，ABPCBP20，ACPMCP50，PCM是BCP的外角，PPCMCBP502030，故答案为：30【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键14（2022秋安徽合肥八年级统考期中）如图，在中，点在边上，将沿折叠，使点恰

33、好落在边上的点处若，则 【答案】72【分析】根据折叠的性质和直角三角形的有关知识求解即可【详解】将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，故答案为：【点睛】本题考查的是直角三角形和折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质找到对应相等的角三、解答题15（2022秋安徽亳州八年级统考期末）写出下列命题的逆命题，并判断其真假(1)等边三角形有一个角等于(2)等腰三角形两腰上的高线长相等【答案】(1)逆命题为“有一个角等于的三角形是等边三角形”，是假命题(2)逆命题为“有两条边上的高线相等的三角形是等腰三角形”，是真命题【分析】把原命题的题设和结论互换写出对应的逆命题，然后判断真假即可【详解】（1）解：命题“等

34、边三角形有一个角等于”的逆命题为“有一个角等于的三角形是等边三角形”，是假命题；（2）解：命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题为“有两条边上的高线相等的三角形是等腰三角形”，是真命题【点睛】本题主要考查了判断命题真假，写出一个命题的逆命题，正确写出对应命题的逆命题是解题的关键16（2021秋安徽合肥八年级统考期中）如图，已知D为边延长线上一点，于F交于E，求的度数【答案】【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答【详解】解：，【点睛】此题考查三角形外角与内角的关系，关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形内角和定理：三角形的三个内角和为17（2023秋

35、安徽淮南八年级校联考阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接(1)当为边上的中线时，若，的面积为42，求的长；(2)当为的角平分线时，若，求的度数【答案】(1)7(2)【分析】（1）利用三角形中线定义及三角形面积求出长；（2）利用三角形内角和先求，再用外角性质和直角三角形性质求出【详解】（1）解：为边上的中线，为边上的高，（2）解：，为的角平分线，【点睛】本题考查了用三角形中线求三角形面积、三角形外角性质、直角三角形性质，掌握这几个知识点的熟练应用是解决此题的关键18（2023秋安徽淮南八年级校联考阶段练习）请认真完成下列的数学活动我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

36、角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究（1）如图，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系初步运用（2）如图，在纸片中前去，得到四边形若，则_小明联想到了曾经解决的一个问题：如图，在中，分别平分外角，则与之间的数量关系为_（请利用上面的结论直接写出答案）拓展提升（3）如图，在四边形中，分别平分外角，设试说明与的数量关系；根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）【答案】（1）（2）； （3）；当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可（2）先由邻补角性质求出，再根据三角形

37、外角性质、角平分线的定义计算即可（3）利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可.【详解】解：（1），（2），分别平分外角，即（3）如图，当时，为钝角三角形；当时，为直角三角形；当时，为锐角三角形【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键19（2023秋安徽阜阳八年级统考阶段练习）如图，在中，与外角的角平分线相交于点.(1)当，时，求的度数；(2)求证：.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据角平分线的定义分别求出和的度数，再利用三角形外角性质求出的度数；（2）由

38、三角形外角的性质可得，再由角平分线的定义可得，则可求得，从而可得到的关系【详解】（1）解：平分，平分，；（2）证明：为的外角，平分，平分，是的外角，【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系20（2023秋安徽阜阳八年级统考阶段练习）如图，与分别是的角平分线和高(1)已知，求度数；(2)探究：小明认为如果只知道，也能得出的度数，你认为可能吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由【答案】(1)(2)能，理由见解析【分析】（1）由三角形内角和定理得度数，再根据角平分线定义得到，根据得，然后利用进行计算即可；（2）结合，由三角形内角和定理得

39、度数，再根据角平分线定义得到，根据得，然后利用进行计算即可【详解】（1）解：，平分，；（2）能，理由如下：，平分，【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解答本题的关键21（2023秋安徽阜阳八年级统考阶段练习）如图1，线段，相交于点，连接，我们把形如图的图形称为“字形”. (1)求证：；(2)如图2，求的度数；(3)如图3，平分，平分的邻补角，试猜想，与之间的数量关系，并说明理由.【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据三角形内角和对顶角相等结合等式性质即可得出结论；（2）连接，由（1）中得出的“字形”的性质结合三角形内角和定理即可求出结果；

40、（3）由角平分线性质得到，由“字形”可知：，得出，再根据，整理即可得到【详解】（1）证明：，又，；（2）如图：连接，由（1）可知与相交，连接，图形称为“字形”，；（3），理由如下：如图：平分，平分，由“字形”可知：，即，【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，对顶角相等，理解题意灵活运用题中得出的“字形”性质，是解答本题的关键22（2021秋安徽合肥八年级合肥市第四十五中学校考期中）如图，已知：点A、B、C在一条直线上（1）请从三个论断：ADBE；1=2；A=E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：条件： 结论： （2）证明你所构建的命题是真命题【答案】（

41、1）ADBE，；（2）见解析【分析】（1）根据命题的概念，写出条件、结论；（2）根据平行线的判定的礼盒性质定理证明【详解】解：（1）条件：ADBE；12；结论：AE，故答案为：ADBE，12；AE；（2）证明：ADBE，AEBC，12，DEBC，EEBC，AE【点睛】本题考查的是命题的概念、平行线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键23（2022秋安徽六安八年级校考期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系(1)如图1，1与2的关系是_；证明：(2)如图2，则1与2的关系是_；证明：(3)经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是_【答案】(1)

42、12，证明见解析(2)12180，证明见解析(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补【分析】（1）根据平行线性质可得答案；（2）根据平行线性质，可得答案；（3）由（1）（2）可得一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补【详解】（1）1=2，证明：如图1：，1=3，3=2，1=2；故答案为：1=2；（2）2+1=180，证明：如图2：，1=4，2+4=180，2+1=180；故答案为：2+1=180；（3）由（1）（2）可得：一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补故答案为：一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用