专题09与圆有关的定值问题（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、专题09 与圆有关的定值问题1已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切（1）试求圆的方程；（2）若圆与直线相交于，两点求证：为定值【解答】解：（1）由题意知：过且与直线垂直的直线方程为：，圆心在直线：上，由即，且半径，所求圆的方程为：（2）将的方程与圆的方程联立得，由韦达定理得，故【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解及直线与圆的位置关系的简单应用，方程的根与系数关系的应用是证明（2）的关键2动圆与轴交于，两点，且，是方程的两根（1）若线段是动圆的直径，求动圆的方程；（2）证明：当动圆过点时，动圆在轴上截得弦长为定值【解答】解：（1），是方程的两根，动圆与轴交于，两点，且线段是动圆的直径，动

2、圆的圆心的坐标为，半径为动圆的方程为；（2）证明：设动圆的方程为，动圆与轴交于，令则，由题意可知，又动圆过点，解得令，则，解得或，动圆在轴上截得弦长为故动圆在轴上截得弦长为定值【点睛】本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于定值问题中的基础题3如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线、分别与圆交于、两点（1）若，求的面积；（2）若直线过点，证明：为定值，并求此定值【解答】解：（1）根据题意，圆的圆心为，半径为2，若，则直线的方程为，即，直线的方程为，即，由题知，所以，为圆的直径，所以圆心到直线的距离，则，又由中位线定理知，即，则的面积；（2）证明：设，、，当直线斜率存在

3、时，设直线的方程为，代入圆的方程中有：，整理得：，则有，此时，当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入圆的方程可得，；此时，综合可得：为定值，且此定值为【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，以及弦长公式的运用，属于定值问题中的基础题4已知过点 且斜率为的直线与圆交于，两点（1）求斜率的取值范围；（2）以点为圆心，为半径的圆与圆总存在公共点，求的取值范围；（3）为坐标原点，求证：直线与斜率之和为定值【解答】解：（1）根据题意可得，直线的方程为：，即，圆的方程为，则其圆心，半径，若直线与圆相交，必有，即，解得，所以斜率的取值范围为（2）若以点为圆心，为半径的圆与圆总存在公共点，

4、则，即，所以（3）证明：联立直线与圆的方程：，消去整理得，设，根据韦达定理得，则，故直线与直线的斜率之和为定值1【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，斜率，属于中档题5在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为，经过坐标原点的直线与圆交于，两点（1）求当满足时对应的直线的方程；（2）若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为、，求证：为定值【解答】解：因为圆被轴截得的弦长为，所以，又圆心在轴上的圆经过点，所以，即，解得，所以圆心，所以圆方程为设直线方程为：，联立圆的方程得，（1）因为，所以，即得，代入得，代入得，解得，所

5、以直线的方程为：（2）直线方程为：，联立圆的方程得：，所以，所以，所以，同理可得，所以，所以，所以为定值【点睛】本题考查圆的方程，向量，直线与圆相交问题，还考查运算能力，属于中档题6已知圆心在第一象限，半径为的圆与轴相切，且与轴正半轴交于，两点在左侧），为坐标原点）（1）求圆的标准方程；（2）过点任作一条直线与圆相交于，两点证明：为定值；求的最小值【解答】（1）解：因为圆心在第一象限，半径为的圆与轴相切，故设圆心，则，所以，所以，解得，所以圆的方程为；（2）证明：由（1）可得，设，则，所以，同理可得，所以为定值；解：因为，所以，故的最小值为【点睛】本题考查了圆的标准方程的求解与应用，直线与圆位

6、置关系的应用，圆中弦长公式的应用以及圆中最值问题的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题7已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切（1）求圆的标准方程（2）直线与圆交于，两点（）求的取值范围；（）证明：直线与直线的斜率之和为定值【解答】解：（1）设圆的圆心坐标为，其中，半径为，圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，又圆与直线相切，解得或（舍去），圆心，故圆的标准方程为（2）联立直线与圆的方程，可得，直线交圆与，两点，解得，故的取值范围为证明：设，由韦达定理，可得，又，直线与直线的斜率之和为定值，即得证【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，并考查了点到直线的距离公式和韦达定理，

7、需要学生较强的综合能力，属于中档题8在平面直角坐标系中，设圆的圆心为，（1）若，是圆的两条切线，是切点，为圆心，求四边形的面积；（2）若过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点，设直线、的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由【解答】解：（1）圆心的坐标为，半径圆心到直线的距离，直线是圆的一条切线，无妨设切点为，则，四边形的面积为（2）过点的直线方程为，设，联立得，整理得，直线与圆相交，则，于是，为定值【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，用联立法求解是解决问题的关键，属于中档题9已知圆，直线过定点（1）若与圆相切，求的方程；（2）若与圆相交于、两点，线段中点为，又

8、与交点为，求证：为定值【解答】（1）解：由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为，则由与圆相切得：，解得：或，故的方程为或（2）证明：与圆相交于两点，故斜率存在且不为0设直线的方程为，联立得，故；线段中点为，设直线的方程为，联立，得，故；，又由于，三点共线，得证，为定值【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力10已知为坐标原点，圆的方程为：，直线过点（1）若直线与圆有且只有一个公共点，求直线的方程；（2）若直线与圆交于不同的两点，试问：直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由【解答】解：（1）当直线斜率不存在时，的方程为，

9、符合题意当直线斜率存在时，设的方程为，由，得圆心，半径直线与圆有一个公共点，解得的方程为，即综上所述，直线的方程为或；（2）直线与的斜率之和为定值证明：由（1）知直线斜率存在，设的方程为，设，联立直线与圆的方程：，消去得根据韦达定理得则直线与的斜率之和为定值【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题11若圆与圆相外切（1）求的值；（2）若圆与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，为第三象限内一点且在圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值【解答】解：（1）圆的圆心坐标，半径为，圆的圆心坐标，半径为3，又两圆外切得，

10、（2）证明：点坐标为，点坐标为，设点坐标为，由题意得点的坐标为；点的坐标为，四边形的面积，由点在圆上，有，四边形的面积，即四边形的面积为定值4【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了圆与圆的位置关系，考查计算能力与推理论证能力，是中档题12已知圆和轴相切于点，与轴的正半轴交于、两点在的左侧），且；（1）求圆的方程；（2）过点任作一条直线与圆相交于点、，连接和，记和的斜率为，求证：为定值【解答】解：（1）圆与轴相切于点，可设圆心的坐标为，则圆的半径为，又，解得，圆的方程为；证明：（2）由（1）知，当直线的斜率为0时，知，即为定值当直线的斜率不为0时，设直线，将代入，整理得，设，则综上可知，为定值【点

11、睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题13平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴交于点（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；（2）若过点的直线与圆交于不同的两点，设直线，的斜率分别是，问是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由；设线段的中点为，点，若，求直线的方程【解答】解：（1）当的斜率不存在时，易得的方程为适合题意；当的斜率存在时，设，即，由题设知：圆心到直线的距离，此时，直线的方程为或；（2），联立，可得设，则，；设，由知，代入直线方程，可得，由，得，化简为，把，代入，可得，解得或直线的方程为或，即或

12、【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了“设而不求”的解题思想，考查计算能力，是中档题14平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆被直线截得弦长为（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于，两点，与轴交于点，设，求证：为定值【解答】解：（1）设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则，则圆的方程为；证明：（2）当与轴垂直时（不妨设在轴上方），此时与重合，从而，；当点与点不重合时，直线的斜率存在，设，则，由，得：，即联立，得则，综上，为定值【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题15已知圆的圆心在轴上，半径，过点且与直线相切（1）求圆的方

13、程；（2）若过点的直线与圆交于不同的两点，且与直线交于点，若，中点为，问是否存在实数，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设圆心，圆心到直线的距离等于半径，解得或，又半径，则圆的方程为；（2）当直线的斜率存在时，设，联立，解得，要使为定值，则，此时；当的斜率不存在时，时满足；又当与重合时，也为的值综上，当或4时，为定值【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题16在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点是圆上一点（1）若，为圆上两点，若四边形的对角线的方程为，求四边形面积的最大值；（2）过点作两条相异直线分别与圆相交于，两

14、点，若直线，的斜率分别为，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由【解答】解：（1）由圆的方程为，可知，半径，则到距离，所以，当且仅当时取等号，由，解得；由，在两侧，所以到距离，到距离，所以四边形的面积，所以时，四边形面积最大为；（2）由题意可设，由，可得，设，则，所以，所以，同理，因为，所以，所以为定值【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题17已知圆与轴的正半轴交于点，直线与圆交于不同的两点，（1）求实数的取值范围；（2）设直线，的斜率分别是，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；（3）设的中点为，求点到直线的距离的最大值【解答】解

15、：圆与轴的正半轴交于点，圆心，半径，（1）直线与圆交于不同的两点、，圆心到直线的距离，即，解得；（2）设，联立，可得，为定值是定值，定值为；（3）（方法一）的中点为，记点到直线的距离为，则，令，则，（当且仅当，即时取等号）点到直线的距离的最大值为；（方法二）直线的方程为，即，直线恒过定点的中点为，点在以为直径的圆上（在圆内的部分）以为直径的圆的方程为点到直线的距离的最大值为（此时为【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查化归与转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题18平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴的交于点（1）若过点的直线与圆相切，求

16、直线的方程；（2）若过点的直线与圆交于不同的两点，设线段的中点为，求点纵坐标的最小值；设直线，的斜率分别是，问：是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由【解答】解：（1）当直线的斜率不存在时，则直线的方程为：，圆心到直线的距离，显然符合条件，当直线的斜率存在时，由题意设直线的方程为即，圆心到直线的距离为，解得，所以切线方程为，即，综上所述：过点的切线方程为或；（2）设点，因为是弦的中点，所以，又因为，所以，即，联立解得或，又因为在圆的内部，所以点的轨迹是一段圆以，和为端点的一段劣弧（不包括端点），在圆方程中，令，得，根据点在圆内部，所以点的纵坐标的最小值为；联立，整理可得，设，则，所以

17、，所以为定值【点睛】本题考查求过某点的切线方程的方法，及直线与圆的位置关系的应用，属于中档题19如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆，点，为圆上的不同于点的两点（1）已知坐标为，若直线截圆所得的弦长为，求圆的方程；（2）若直线过，求面积的最大值；（3）若直线，与圆都相切，求证：当变化时，直线的斜率为定值【解答】解：（1），可得，故直线的方程为：，点到直线的距离为直线截圆所得的弦长为，圆的方程为：；（2）由题意可知直线的斜率存在，故可设直线的方程为，所以点到直线的距离，可得，令，当时，即时，面积的最大值为；（3），所以过与圆相切的直线的斜率存在设为由直线与圆相切，整理可得，联立，可得，所以，当变

18、化时，直线的斜率为定值【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想、计算能力，属于中档题20在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴右侧，原点和点都在圆上，且圆在轴上截得的线段长度为3（1）求圆的方程；（2）若，为圆上两点，若四边形的对角线的方程为，求四边形面积的最大值；（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，若直线，的斜率分别为，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由【解答】解：（1）由题意，圆过点，设圆的方程为则，解得圆的方程为，即；（2）由（1）可知，半径，到的距离，当且仅当时取等号由，解得由，在的两侧，得，即到的距离，到的距离四边形的面积时，四边形的面积有最大值为；（3）

19、由题意可设联立，得设，则，结合，同理，【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题21在直角坐标系中，曲线与轴交于、两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题：（1）能否出现的情况？说明理由；（2）证明过、三点的圆在轴上截得的弦长为定值【解答】解：（1）曲线与轴交于、两点，可设，由韦达定理可得，若，则，即有，即为这与矛盾，故不出现的情况；（2）证明：设过、三点的圆的方程为，由题意可得时，与等价，可得，圆的方程即为，由圆过，可得，可得，则圆的方程即为，另解：设过、三点的圆在轴上的交点为，则由相交弦定理可得，即有，再令，可得，解得或即有圆与轴的交点为，则过、三点

20、的圆在轴上截得的弦长为定值3【点睛】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题22如图，已知圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于，两点（点在点的左侧），且（）求圆的方程；（）过点任作一条直线与圆相交于，两点，连接，求证：为定值【解答】解：（）因为圆与轴相切于点，可设圆心的坐标为，则圆的半径为；又，所以，解得；所以圆的方程为；（）证明：由（1）知，当直线的斜率为0时，易知，即；当直线的斜率不为0时，设直线，将代入，整理得；设，所以，则；综上，可得【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了直线斜率的计算问题，是综合题23已知圆，直线过定点（1）若直线与圆相切，切点为，求线段的长度；（2）若与圆相交于，两点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【解答】解：（1）圆，圆心为，半径为2，直线过定点；直线与圆相切，切点为，连接，与，则，且，所以，即线段的长度为4；（2）易知，若斜率不存在，则与圆相切，若斜率为0，则与圆相离，故直线的斜率存在，可设的方程：，由，解得，再由，解得，又直线，所以，解得，所以为定值（12分）【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用问题，考查了数形结合思想与方程的应用问题，是综合性题目