专题09 相似三角形中的“A”字型相似模型(解析版).docx

1、专题09 相似三角形中的“A”字型相似模型 【模型展示】特点结论DEBCADEABC.【模型证明】解决方案非平行A字型AEDBADEACB.非平行A字型ACDBADCACB.【题型演练】一、单选题1如图，已知若的面积为，则的面积为（）ABCD【答案】A【分析】根据相似三角形的性质得出，代入求出即可【详解】解：ADEABC，AD：AB1：3，ABC的面积为9，SADE1，故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键2如图，在ABC中，DEBC，若AE2，EC3，则ADE与ABC的面积之比为（）A4：25B2：3C4：9D2：5【答案】A【

2、分析】根据相似三角形的判定定理得到ADEABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案【详解】解：AE=2，EC=3，AC=AE+EC=5，DEBC，ADEABC，故选：A【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键3如图，在ABC 中，C=90，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将ADE沿DE翻折后，点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为（）AB3C2D1【答案】D【详解】试题解析：由题意得：DEAC，DEA=90，C=DEA，A=A，AEDACB,=,A为CE的中点，C A=E A，C A=E A=AE，=，DE

3、=1.故选D.4如图在ABC中，DEBC，B=ACD，则图中相似三角形有（）A2对B3对C4对D5对【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论【详解】B=ACD，A=A，ACDABC，DEBC，ADEABC，ACDADE，DEBC，EDC=DCB，B=DCE，CDEBCD，故共4对，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似5如图，中，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为（）A5BC5或D6【答案】B【分析】分APQABC，APQACB两种情况，结

4、合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.【详解】解：若APQABC，APQ=ABC，PQBC，PDB=DBC，BD平分ABC，PBD=CBD，PBD =PDB，PB=PD，同理，DQ=CQ，BC=，设AP=x，根据得,AQ=，PB=PD=8-x，CQ=DQ=6-，PQ=PD+QD=，即，解得：x=，PQ=；若APQACB，则，由题意知：D为ABC的内心，设ABC的内切圆交AB于M，交AC于N，可知四边形AMDN为正方形，A=AMD=AND=MDN=90，AMDN，ANDM，MPD=NDQ，MDP=NQD，MPDNDQ，AB=8，AC=6，BC=10，DM=DN=2，AM=AN=2，设PM=x

5、，则，NQ=，即，解得：x=或-2（舍），AP=+2=，PQ=APBCAC=106=.综上：PQ的值为.故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内切圆，角平分线的定义，有一定难度，解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.6如图，在中，取的中点，连接，点关于线段的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接、，已知，当的值最小时，则的值为（）ABCD【答案】C【分析】设点M和点B关于AC对称，F为EM与AC交点，过点E作EGAC于G，过点E作ENBC，交BC延长线于点N，根据题意得出当EF+BF最小时点F的位置，再通过平行线的性质得到EAG=BDC，从而求出EG的长，再判定四边形EGC

6、N为矩形，得到CN，最后利用MFCMEN将转化为求值即可.【详解】解：当EF+BF最小时，如图，点M和点B关于AC对称，F为EM与AC交点，过点E作EGAC于G，过点E作ENBC，交BC延长线于点N，此时EF+BF的最小值即为EF+FM，即EM，AC=，点D为AC中点，BC=2，AD=CD=，tanBDC=，AEBD，EAG=BDC，tanEAG=，设EG=x，AG=x，而AE=，在AEG中，解之得：x=或（舍），由题意可得：N=ACB=EGC=90，四边形EGCN为矩形，EG=NC=，ACBC，ENBC，ACEN，MFCMEN，则，故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，相似三

7、角形的判定和性质，最短路径问题，矩形的判定和性质，解题的关键是根据平行利用三角函数得到FG的长.二、填空题7如图，光源在水平横杆的上方，照射横杆得到它在平地上的影子为（点、在一条直线上，点、在一条直线上），不难发现已知，点到横杆的距离是，则点到地面的距离等于_【答案】3【分析】易得PABPCD，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比可得AB与CD间的距离【详解】解：如图，作PFCD于点F，ABCD，PABPCD，PEAB，PABPCD，即：，解得：PF=3故答案为：3【点睛】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形对应边的比等于对应高的比8如图，矩形 ABCD 中，AC 为对角线，E、

8、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是_【答案】5【分析】AF与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接AG，又因点F是DC上是一动点，由三角形的边与边关系，只有当点F在直线AG上时，最小，由平行四边形CEFG可知时，可求的最小值【详解】解：如图所示：过点C作，且，连接FG，设，则,当点A、F、G三点共线时，的最值小，且，四边形CEFG是平行四边形；，又点A、F、G三点共线，又四边形ABCD是矩形，四边形AECF是平行四边形，又，四边形AECF是菱形，在中，由勾股定理得：，又，则，解得：，在中，由勾股定理得，所以

9、 ，又， ，即，又，即最小值是5，故答案为：5【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定9如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则_【答案】【分析】过点G作GRBC于R，过点H作HNBC交BD于N，由正方形性质可证明：ABEFCB，由勾股定理可求BF，由翻折性质可得HGCBGC，进而可证明：BHNBED，可求得HN，再由HNMCBM，可求得，再由CGRCBF即可求得结论【详解】解：如图，过点作于，过点作交于则， 正方形

10、 ， 在中， ，即 ，由翻折知：， ，即 ， 是等腰直角三角形，设，则， ，即，解得 ，故答案为：【点睛】本题考查了正方形性质，翻折变换的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，三角形面积等知识点；解题关键是利用平行线证明相似三角形进行转化，有一定难度，属于中考填空压轴题类型10如图，在三角形中，点D为边的中点，连接，将三角形沿直线翻折至三角形平面内，使得B点与E点重合，连接、，分别与边交于点H，与交于点O，若，则点A到线段的距离为_【答案】【分析】如图，过点作交的延长线于利用勾股定理求出，利用三角形重心的性质求出，再利用勾股定理求出，利用相似三角形的性

11、质求出即可【详解】解：如图，过点作交的延长线于由翻折的性质可知，垂直平分线段，点D为边的中点，点是的重心，故答案为：【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质以及重心的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型11如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是边AB的中点，连接CE，将BCE沿CE折叠得到FCE，CF与BD交于点P，则DP的长为 _【答案】【分析】由勾股定理可求出BD、EC的长，连接BF交CE于点G，作FHBC于点H，PQBC于点Q，根据相似三角形的性质求出BG的长，再根据面积等式列方程求出FH的长，再根据相似三角形的性质求出

12、BQ与CQ的比，进而求出DP的长【详解】解：如图，连接BF交CE于点G，作FHBC于点H，PQBC于点Q，四边形ABCD是矩形，AB=DC=2，ABC=BCD=90，BC=3，；AE=BE=AB=2=1，；由折叠得，CE垂直平分BF，BGC=EBC=90，GCB=BCE，BGCEBC，；由BCFH=BFCG得，3FH=，解得，FH=；CHF=90，FC=BC=3，；PQFH，CPQCFH，CQ=PQ，BQP=BCD=90，PQDC，BPQBDC，BQ=PQ，故答案为：【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简以及用面积等式列方程等知识与方法，

13、解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，此题难度较大，计算烦琐，应注意检验所求的结果是否正确三、解答题12如图，ABD中，A90，AB6cm，AD12cm某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts（1）求t为何值时，AMN的面积是ABD面积的；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与ABD相似时，求t值【答案】（1），；（2）t3或【分析】（1）由题意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可

14、求出t的值【详解】解：（1）由题意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，AMN的面积ANAM（122t）t6tt2，A90，AB6cm，AD12cmABD的面积为ABAD61236，AMN的面积是ABD面积的，6tt2，t26t+80，解得t14，t22，答：经过4秒或2秒，AMN的面积是ABD面积的；（2）由题意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，若AMNABD，则有，即，解得t3，若AMNADB，则有，即，解得t，答：当t3或时，以A、M、N为顶点的三角形与ABD相似【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论

15、是解题的关键13在中，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接设，求的取值范围【答案】【分析】作AGBC于F点，交DE于G点，设AD=x，首先结合相似三角形的判定与性质推出和的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可【详解】解：如图所示，作AGBC于F点，交DE于G点，设AD=x，DEBC，ADEABC，整理得：，点D在AB上，抛物线的开口向下，且当时，取得最大值为，当和时，均有，综上分析，的取值范围是【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质运用等，掌握相似三角形的判定与性质推出相关线段的比例，以及熟练运用二次函数的

16、性质分析是解题关键14中，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动时间为t秒（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?（2）若的面积为，求关于t的函数关系式（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为ts，则

17、CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；（3）分和，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，在RtCPQ中，即；秒或秒（2）由题意得，则，因此的面积为；（3）分两种情况：当时，即，解得；当时，即，解得因此或时，以点、为顶点的三角形与相似【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键15如图，在ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEB

18、C，（1）求证：DFBE；（2）如且AF2，EF4，AB6求证ADEAEB【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证【详解】解：（1）DEBC，DFBE；（2）AF2，EF4，由（1）可知，AE=6，AB6，A=A，ADEAEB【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键16矩形ABCD中，ABCD3cm，ADBC4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s过点P作B

19、C的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O若点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s）（0t1.5），解答下列问题：（1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由；（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，【分析】（1）当四边形为矩形时，利用相似三角形的性质求出，构建方程求解即可；（2）证明，由相似的性质得出，由此构建方程求解即可；（3）根据矩形的面积是四边形面积的，构建方

20、程求解即可【详解】解：（1），由题可得：，四边形是矩形，即，当四边形为矩形时，解得：，当时，四边形为矩形；（2）存在一个时刻，使，当时，即，解得：，当时，；（3）存在，由题意得：，解得：或（舍去），当时，矩形的面积是四边形面积的【点睛】本题属于四边形综合问题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关的知识点是解决本题的关键17图，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB2，CD3，求GH的长【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理，由，可证CGHCAB，由性质得出，由，可证BGHBDC，由性质得出，将两个式子相加，即可求出GH的长【详解】解：，A=HGC，ABC=GHC，CGHCAB

21、，D=HGB，DCB=GHB，BGHBDC，AB=2，CD=3，解得：GH=【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键18一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）【答案】乙木匠的加工方法符合要求说明见解析【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平

22、行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求【详解】解：作BHAC于H，交DE于M，如图又DEAC，解得设正方形的边长为x米，如图乙DEAB，解得乙木匠的加工方法符合要求【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键19如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点求的值【答案】【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的

23、性质和中点的定义即可得出答案；解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出，即可得出答案；【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H因为所以，所以因为D为BC的中点，所以因为，所以，所以因为M为AD的中点，所以所以，所以解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H因为，所以，所以因为D为BC

24、的中点，所以因为M为AD的中点，所以，所以因为，所以，所以解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H因为，所以，所以因为M为AD的中点，所以，所以因为，所以，所以因为D为BC的中点，且，所以解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H在中，因为M为AD的中点，所以N为AH的中点，即在中，因为D为BC的中点，所以H为CN的中点，即，所以所以20如图，中，中线，交于点，交于点（1）求的值（2）如果，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明【答案】（1）3；（2），证明见解析【分析】（1）先证明，再证明，得到，则问题可解；（2）根据题意分别证明，问题可证【详解】解：（1）是的中点，

25、是的中点，（2）当，时，由（1）可得，又，【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似21如图，在中，点分别在上，且（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EFBC，于是可得AEGABD，AGFADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论【详解】解：（1）在AEF和ABC中，AEFABC；（2）AEFABC，AEF=ABC，EFBC，AEGABD，AGFADC，,，【点睛】本题考查了相似三角形的判

26、定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键22如图，在平行四边形ABCD中，ADAC，ADC，点E为射线BA上一动点，且AEAB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G（1）如图1，当60时，求证：ADHCDG；（2）当60时，如图2，连接HG，求证：ADCHDG；若AB9，BC12，AE3，请直接写出EG的长【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；EG的长为或【分析】（1）ADAC，ADC60，可证ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，B=ADC=60，ADBC，可得H

27、AD=B=60=GCD，由GDH=CDA=60，可证HAD =CDG，即可证ADHCDG（ASA）；（2）根据ADAC，ADC，可得ACD=ADC，根据四边形ABCD为平行四边形，可得ADBC，可得HAD=ADC=GCD，由GDH=ADC，可得ADH =CDG即可；根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CNAB于N，过G作GMAE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，ABDC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证AGECGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=，根据勾股定理CN=，由GMCN，再证AMGANC，可求,，EM=A

28、E-AM=，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CNAB于N，过G作GMAE于M，由AECD，GAEGCD，可求GA=6，由GMCN，可证GMACNA，可得，EM=AE-AM=3-，根据勾股定理EG=【详解】（1）证明：ADAC，ADC60，ACD为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，AB=CD=BC=AD，B=ADC=60，ADBC，HAD=B=60=GCD，GDH=CDA=60，HDA+ADG=CDG+ADG=60，HDA =CDG，在ADH和CDG中ADHCDG（ASA）；（2）证明：ADAC，ADC，ACD=ADC，四边形ABCD为平行四边形，ADBC，HAD=ADC=

29、GCD，GDH=ADC，ADH+ADG=CDG+ADG=，ADH =CDG，ADHCDG；解：当点E在AB上时，过C作CNAB于N，过G作GMAE于M，四边形ABCD为平行四边形，ABDC，AB=DC=9，AD=BC=12，EAG=DCG，AEG=CDG，AGECGD，AD=AC=12，AG+CG=AG+3AG=4AG=12，AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，AC=AD=BC，CNAB，AN=BN=，在RtBCN中，根据勾股定理CN=，GMCN，AMGANC，,，EM=AE-AM=，在RtMGE中，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CNAB于N，过G作GMAE于M，AEC

30、D，GAE=GCD，GEA=GDC，GAEGCD，AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12,GA=6，AC=AD=BC，CNAB，AN=BN=，在RtBCN中，根据勾股定理CN=，CNAB， GMAE，GMCN，GMACNA，EM=AE-AM=3-，在RtGME中，根据勾股定理EG=，综合EG的长为或【点睛】本题考查图形旋转性质，平行四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相似判定与性质，勾股定理，本题难度角度，利用辅助线画出准确图形，掌握以上知识是解题关键23已知：矩形ABCD中，AB9，AD6，点E在对角线AC上，且满足AE2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段A

31、B于点M，交直线BC于点N（1）当CF2时，求线段BN的长；（2）若设CFx，BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值【答案】（1）BN10；（2），0x3；，3x4.5；（3）x2或或【分析】（1）由得CFEAME，NCFNBM，进而求得；（2）分为0x3和3x4.5两种情形，作EGBC于G，根据三角形相似求出EG和BN；（3）分为BMBE，EMBE，ENBM三种，可根据BM92CF求得【详解】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BCAD6， CFEAME，NCFNBM，, AM2CF4，BMABAM5，

32、 BN10；（2）当CFBM时，此时BEN不存在，CF92CF，CF3，当点M和B点重合时，AB2CF，CF4.5，分为0x3和3x4.5，如图2，当0x3时，作EGBC于G，由（1）知，EG3，AM2CF2x，BM92x，由得， ， y；如图3，当3x4.5时，由得， CN， y； （3）如图4， CGCB2， GBCBCG4，BE5，当BMBE5时，92x5，x2，如图5，当EMEB5时，作EHAB于H，BM2BH2EG6，92x6，x=， 如图6，当EMBM时，作MHBE于H，在RtBMH中，BH，cosMBHcosBEG， BM，92x， x，综上所述：x2或或【点睛】此题考查相似三角

33、形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键24如图，在平行四边形中，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作交于点，连接，交于点.设运动时间为.解答下列问题：（1）当为_时，？（2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式.（3）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？（4）若点关于的对称点为，是否存在某一时刻，使得点，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）由题意得，PQAB，则四边形

34、PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ，即8-2t=t，解方程即可求解；（2）过点Q作QHAB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD=6，证明ADBBHQ，根据相似三角形的性质可得QH=，根据平行线分线段成比例定理可得，可得出BE=，根据y=S四边形APQB-SBEQ即可求解；（3）先证出APEABD，根据相似三角形的性质可得，可得PE=6-，根据线段垂直平分线的性质得EQ=PE，由（2）得QH=，可得出BH=，根据勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；（4）连接FF交AB于点N，由对称及平行线的性质可得FEB=ABD，由等角对等边得EF=FB，则，再证DP

35、FBQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后证明BNFBDA，根据相似三角形的性质即可得t的值【详解】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，若PQAB，四边形PABQ是平行四边形，AP=BQ，8-2t=t，t=，当t=时，PQAB；故答案为：；（2）如图，过点Q作QHAB交AB的延长线于点H，ADB=90，BD2=AB2-AD2=100-64=36，即BD=6，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，A=QBH，又ADB=BHQ=90，ADBBHQ，即，PEBD，即，y=S四边形APQB-SBEQ=；（3）如图：PEBD，APE=ADB，A=A，APEADB，即，点E在线段PQ的垂

36、直平分线上，EQ=，由（2）得，RtEQH中，EH2+HQ2=EQ2，即t2+2t-4=0，解得：（舍去），当t=时，点E在PQ的垂直平分线上；（4）连接FF交AB于点N，点F关于AB的对称点为F，FEB=FEB，FNEB，点P，E，F三点共线，PEAB，FEB=ABD，FEB=ABD，EF=FB，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DPF=FQB，DFP=BFQ，DPFBQF，DF=2BF，2BF+BF=6，BF=2，FBN=ABD，FNB=ADB，BNFBDA，解得：t=，存在某一时刻t，使得点P，E，F三点共线，t的值为【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定

37、和性质，平行四边形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题25如图1，平行四边形的对角线，相交于点，边的垂直平分线交于点，连接，（1）过点作交于点，求证：；（2）如图2，将沿翻折得到求证：；若，求的长度【答案】（1）见解析；（2）见解析；【分析】（1）根据题意证明，即可证明，在根据垂直平分可得，即可证的结果；（2）过点作交于点，根据（1）中结论，然后证明即可；求证，则，据此解答即可【详解】证明：（1）四边形是平行四边形，垂直平分，；（2）如图2，过点作交于点证明：由（1）可知，将沿翻折得到，又，；解：，由翻折可知，设，（负根舍去）经检验：是原方程的根，且符合题意，【

38、点睛】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，能够根据已知条件证明相关三角形全等和相似是解题的关键26如图，中，点D在边上，且 （1）求证：；（2）点E在边上，连接交于点F，且，求的度数（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长【答案】（1）见解析；（2）60；（3）AF11【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出，证得；（2）作CHBE，连接DH，根据角的数量关系证得，再由三角形全等判定得BDHABE，最后推出DCH为等边三角形，即可得出60；（3）借助辅助线AOCE，构造直角三角形，并结合平行线构

39、造BFEBDH，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值【详解】（1）证明：BDC90ABD，BDC=ABD+A，A90ABDBDCBDA180， BDA180BDC90ABDABDA90ABDDBAB解：（2）如图1，作CHBE，连接DH，AFDABC，AFDABDBAE，ABCABDDBC，BAEDBC由（1）知，BADBDA，又EACBADBAE，CADBDBC，CAECAECEBECH，BEEHCHEH即BHCEAEABBD，BDHABEBEDHBECD，CHDHCDDCH为等边三角形ACB 60（3）如图2，过点A作AOCE，垂足为ODHAE，CAECDH60，AECDHC60ACE是等边三角形设ACCEAEx，则BE16x，DHAE，BFEBDH，ABF的周长等于30，即ABBFAFABx=30，解得AB16在RtACO中，AC，AO，BO16在RtABO中，AO2BO2AB2，即解得（舍去）ACAF11【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，