专题1 用导数研究含参函数的单调性（解析版）.docx

1、专题1 用导数研究含参函数的单调性一、考情分析函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的热点难点.二、解题秘籍连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程的根,所以求解含参函数的单调性问题,一般要根据的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次

2、型、二次型还是其他类型1.若导函数是一次型,分类步骤是：判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；若有根,求出导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；2. 若导函数是二次型,分类步骤是：先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间上的单调性.3.若导函数是三角函数类型，需要借助三角函数的单调性及有界性进行讨

3、论下面我们根据的根的情况总结出11类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.类型一：定义域不是,可化为单根型一次方程思路：根据根是否在定义域内进行分类【例1】讨论的单调性分析：,根的情况转化为根的情况根据是否在定义域内进行分类答案：(1),在上是增函数；(2),在上是减函数,在上是增函数.类型二：定义域不是,可化为单根型类一次方程思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类【例2】讨论的单调性分析：,根的情况转化为在上根的情况.步骤一：讨论(无实根)；步骤二：讨论,由得(不在定义域内)；步骤三：讨论,根据是否在定义域内再分.答案：(1),在上是减函数；(2),在上是减函数；(3)(i

4、), ,在上是增函数；(ii),在上是减函数,在上是增函数.类型三：定义域为, 可化为单根型类二次（或高次）方程思路：根据的系数符号进行分类【例3】讨论的单调性分析：,因为,根的情况转化为根的情况,步骤一：讨论；步骤二：讨论,注意此时 ；步骤三：讨论,注意不等式两边除以,不等式要改变方向.答案：(1)时在上递增,在上递减；(2)时在上递减；(3) 时在上递减,在上递增.类型四：定义域不是,可化为单根型二次方程思路：根据方程的根是否在定义域内进行分类【例4】讨论的单调性分析：,因为,根的情况转化为在上根的情况.步骤一：讨论(无实根)；步骤二：讨论,由得；答案：(1),在上是增函数；(2), ,在

5、上是增函数；,在上是减函数.类型五：定义域为, 可化为双根型二次方程思路：根据根的大小进行分类【例5】讨论的单调性分析：,根的情况转化为的根的情况,根据与的大小进行讨论.步骤一：讨论；步骤二：讨论,注意此时；步骤三：讨论.答案：(1)在上是增函数,在上是减函数；(2),在上是增函数；(3), 在上是增函数,在上是减函数.类型六：定义域不是,可化为双根型二次方程思路：根据根是否在定义域内及根的大小进行分类【例6】讨论的单调性分析：,根的情况转化为在上根的情况.步骤一：讨论(根不在定义域内).步骤二：讨论(根据的大小再分)答案：(1),在上是增函数；(2)在上是增函数,在上是减函数；(3),在上是

6、增函数；(4), 在上是增函数,在上是减函数.类型七：定义域是,可化为双根型类二次方程思路：根据根的个数及根的大小进行分类【例7】讨论的单调性分析：,根的情况转化为根的情况.步骤一：讨论(无实根)；步骤二：讨论,此时；步骤三：讨论(根据的大小再分)答案：(1),在上是增函数,在上是减函数；(2) 在上是减函数,在上是增函数；(3)在上是增函数,在上是减函数；(4),在上是增函数；(5), 在上是增函数,在上是减函数.提醒：对于类二次方程,不要忽略对项的系数为零的讨论类型八：定义域不是,可化为双根型类二次方程思路：根据根是否在定义域内、根的个数及根的大小进行分类【例8】讨论的单调性分析：,根的情

7、况转化为根的情况.步骤一：讨论(有1个根).步骤二：讨论(不在定义域内)步骤三：讨论(均在定义域内,根据的大小再分)答案：(1),在上是增函数,在上是减函数；(步骤一二合并)(2)在上是增函数,在上是减函数；(3),在上是增函数；(4), 在上是增函数,在上是减函数.类型九：先化为指数型方程,再通过拟合化为一次（或类一次）或二次（或类二次）方程【例9】讨论的单调性分析：,根的情况转化为根的情况.步骤一：讨论(有1个根).步骤二：讨论,的拟合函数为 (根据的大小再分)答案：(1),在上是增函数,在上是减函数；(2)在上是增函数,在上是减函数；(3),在上是增函数；(4), 在上是增函数,在上是减

8、函数.类型十：先化为对数型方程,再通过拟合化为一次（或类一次）或二次（或类二次）方程【例10】讨论的单调性分析：的拟合函数为(根据与0,1大小分类)步骤一：讨论( ).步骤二：讨论, (再分)答案：(1),在上是减函数,在上是增函数；(2)在上是增函数,在上是减函数；(3),在上是增函数；(4), 在上是增函数,在上是减函数.类型十一：导函数为三角函数类型【例10】判断在上的单调性分析：步骤一：，步骤二：令，步骤三：利用弦函数有界性得，步骤四：为增函数，答案：在上单调递增.三、典例展示【例1】（2024届重庆市南开中学校高三上学期7月月考）已知函数，其中且.(1)讨论的单调性；(2)，有，求证

9、：.【解析】（1），当时，可得，所以在上单调递减，当时，故在单调递减，在单调递增.（2）当时，在上单减，因为，故，所以，不符题意，故舍去.（也可用时，舍去）当时，在单减，单增，故，令，则有，令，且，令，故在单减，因为，故使得，当时，单增，当时，单减，又，故存在使得，所以由不等式解得，即，又，所以函数在单减，所以，记，则，所以在单减，而，显然成立，综上：.【例2】（2024届山西省朔州市怀仁市高三上学期摸底）已知函数（，e为自然对数的底数）.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有且仅有3个零点，求实数a的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为，. 当时，由，有，令，可得，可得函数的减区间为，令，

10、函数的增区间为；当时，可得函数在区间上单调递增，无单调减区间；当时，令，可得，可得函数的减区间为，令，可得，或，所以函数的增区间为，；当时，令，可得，令，可得，或，可得函数的减区间为，增区间为，；综上，当时，由函数的减区间为，增区间为；当时，函数在区间上单调递增；当时，函数的减区间为，增区间为，；当时，函数的减区间为，增区间为，.（2）.由（1）可知：当时，由函数的减区间为，增区间为，有，函数没有零点，不合题意； 当时，函数单调递增，函数最多只有一个零点，不合题意；当时，函数的减区间为，增区间为，由，函数最多只有一个零点，不合题意；当时，函数的减区间为，增区间为，.由，若函数有且仅有3个零点，

11、必需，令，有，令，有，可得函数单调递增，有，可得函数单调递增，又由，故满足不等式的a的取值范围为.又由，可得当时，又由，可得函数有且仅有3个零点.由上知，若函数有且仅有3个零点，实数a的取值范围为.【例3】（2023届福建省三明市高三三模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，证明：.【解析】（1）定义域为，因为，所以.令，则，所以，当时，此时，所以在上单调递减.当时，令，则，所以当时，即在上单调递减.当时，令，则，所以当时，即在和上单调递减，当时，即在上单调递增.综上所述：当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增（2）要证明：，只要证明：，只要证明：只要证明：.只要证明：，只

12、要证明：，只要证明：.由（1）知，当时，在上单调递减.即要证明，即要证明.即证明.因为，所以，所以原不等式成立.解法二：要证明：，只要证明：.只要证明：只要证明：只要证明：.令，所以所以.因为，所以，即在上单调递增.所以，即原不等式成立【例4】（2023届福建省福州高三适应性考试）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，且，求证:(其中是自然对数的底数).【解析】（1）函数定义域为，当时恒成立，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减；当时令，解得或，当，即时恒成立，所以在上单调递增；当即时，令，解得或，则在，上单调递增，令，解得，则在上单调递减；当即时，令，解得或，则

13、在，上单调递增，令，解得，则在上单调递减；综上可得，当时在上单调递增，在上单调递减；当时在上单调递增；当时在，上单调递增，在上单调递减；当时在，上单调递增，在上单调递减；（2）因为，由题意，是方程的两个根，两式相加，得，两式相减，得，联立，得，设，因为，所以，则，若，则一定有，只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立，设函数，在上单调递增，故时，即证得当时，即证得，即证得，则【例5】（2023届湖北省新高三摸底联考）已知,函数(1)讨论函数的单调性；(2)如果我们用表示区间的长度,试证明：对任意实数,关于的不等式的解集的区间长度小于【解析】 (1),定义域为,若恒成立,所以在上单调递减；若,

14、当时,；当时,所以在上单调递减,在上单调递增综上,时,在上单调递减；时,在上单调递减,在上单调递增(2)令,则,因为,由（1）知,在上单调递减,在上单调递增,又,所以,令,由恒成立,所以在上单调递增又,所以,即从而,所以,即因为,所以,所以存在唯一,使得,所以的解集为,即的解集为,又的区间长度为,原命题得证四、跟踪检测1.（2024届湖北省黄冈市高三上学期8月质量检测）已知函数，为函数的导函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若方程在上有实根，求的取值范围.【解析】（1），令，则当时，函数在上单调递增；当时，得，得.所以函数在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，方程在上有实根等价于方程在

15、上有实根.令，则当时，函数在上单调递增，不合题意；当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减，不合题意；当时，得，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，所以综上所述，的取值范围为2（2024届广东省罗定中学高三上学期8月调研）已知函数，其中.(1)求函数的单调区间；(2)讨论函数零点的个数；【解析】（1）由题意知：定义域为，令，解得：，又，当时，；当时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为.（2）取，则当时，；，由（1）知：在上单调递增，当时，即在上无零点；下面讨论的情况：当时，在上单调递减，在上单调递增，又，在和上各存在一个零点，即有两个不同零点；当时，在上单调递减，在上单调递增，

16、又，有唯一零点；当时，在上单调递减，在上单调递增，无零点；综上所述：当时，有两个不同零点；当时，有且仅有一个零点；当时，无零点.3.（2023届四川省内江市高三零模考试）已知函数,(1)讨论的单调性；(2)若不等式对任意恒成立,求的最大值【解析】 (1),当时,恒成立,在上单调递增；当时,令得,令得,在上单调递增,在上单调递减；综上所述：当时, 在上单调递增；当时, 在上单调递增,在上单调递减；(2)依题意得：对任意恒成立,等价于恒成立.令,则,则当时,当时,又,在上单调递减,在上单调递增,即的最大值为.4.（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研摸底考试）已知函数(1)当时,讨论的单调性；

17、(2)当时,若,求b的最小值【解析】 (1)当时,当时,在R上单调递增；当时,令有,当时,单调递减,当时,单调递增.(2)当时,由（1）若,则有解即可,即有解,即有解,设,则,故当时,单调递减；当时,单调递增.故,故当.故b的最小值为5.（2023届三省三校高三第一次联考）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若,设在上的最小值为,求证： .【解析】 (1).当,即时：恒成立.故在上单调递减.当,即时：令,即,解得：;所以在上单调递减,在上单调递增.综上所述：当时：在上单调递减；当时：在上单调递减,在上单调递增.(2)当时,.因为在上单调递增,且,.所以必存在点,使,即且当时,当时,所以在区间上

18、单调递减,在区间上单调递减.所以.又因在上单调递减.所以.故恒成立.6（2024届海南省陵水黎族自治县高三上学期第一次模拟）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，记较小零点为，求证：.【解析】（1）解：的定义域为，当时，有，即在上单调递增；当时，令，可得，令，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：函数有两个零点，由第一问可知，且较小的零点，则要证，即证，即证，而可得（易检验），代换上式中，所以即证，即证，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，而，所以，即，得证.7（2023届贵州省贵阳市高三3 3 3高考备考诊断性联考）实数，.(1)讨论的单调性并写出过程；

19、(2)求证：.【解析】（1）若，令，的定义域为.此时当时，时，在上是增函数；时，在上是减函数；时，在上是增函数；当时，在上单调递增；当时，时，在上是增函数，时，在上是减函数，时，是增函数.若时，时，在上是减函数；时，在上是增函数；若，则的定义域为，此时且，当时，当时，；当时，；当时，；故在，上为增函数，在，上为减函数（2）由（1）得时，在上是减函数，即当时，即，即.令，求和即得.8（2024届江西省高三第一次稳派大联考）已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）定义域为，当时，令，得，此时单调递增，令，得，此时单调递减；当时，令，得，此时单调递增，

20、令，得，此时单调递减；综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减.（2）记，由（1）知，当时，则，则，当时，恒成立，即对恒成立，即对恒成立，则，即对恒成立，令，对恒成立，则在单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.9.已知(1)若,讨论函数的单调性；(2)有两个不同的零点,若恒成立,求的范围【解析】 (1)定义域为）即时,或）即时,恒成立）即,或综上：时,单调递减；、,单调递增时,单调递增时,单调递减；、,单调递增(2),由题,则,设恒成立,恒成立设,恒成立）时,在上单调递增恒成立,合题）,在上单调递增时,在上单调递减,不满足恒成立综上：10.已知函数.(1)讨论的

21、单调性；(2)若在上恒成立,求实数a的取值范围.【解析】 (1)的定义域是,.当时,恒成立,所以在上单调递增；当时,令,解得或（舍）,令,解得,令,解得,所以在上单调递增,在上单调递减.(2)若在上恒成立,即在上恒成立.令,则.当时,不符合题意；当时,在上恒成立,所以在上单调递减,又,所以,不符合题意；当时,若,即,在上恒成立,所以在上单调递增,又,所以在上恒成立,符合题意.若,即,令,解得,令,解得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,不符合题意；若,即,在上恒成立,所以在上单调递减,又,所以,不符合题意.综上所述,实数a的取值范围是.11.已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若,函数

22、在上恒成立,求整数的最大值.【解析】 (1)若时,在上单调递增；若时,当或时,为增函数,当时,为减函数,若时,当或时,为增函数,当时,为减函数.综上,时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减.(2)由,解得 ,所以,由时,可知在上恒成立可化为在上恒成立,设,则,设,则 ,所以在上单调递增,又,所以方程有且只有一个实根,且 ,所以在上, 单调递减,在上,单调递增,所以函数的最小值为,从而,又为整数,所以的最大值为.12已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在上只有一个极值,且该极值小于,求的取值范围.【解析】（1）由题意,函数,可得,当时,令,解得；令,解得,故在递减,在递增,当时,令,解得或,设,可得,当时,；当时,故,故,由,解得或,由,解得,故在递增,在递减,在递增,综上可得：当时,在递减,在递增,时,在递增,在递减,在递增；（2）当时,由（1）知,在递减,在递增,故,解得,当时,由（1）知在处取极大值,设,则,因为,可得,所以,在递减,所以,所以不合题意,当时,由（1）知在递增,此时在无极值,不符合题意,综上可得,实数的取值范围是.