专题1-3 “12345”模型·选填压轴必备大招（共3种类型）（解析版）.docx

1、专题1-3 “12345”模型选填压轴必备大招（共3种类型）目录知识点梳理1例题演练4【例1性质一】42022黔东南州5【例2性质二】：“345”三角形与倍半角7【例3其它角的配凑】9【压轴题实战篇】一题多解9重点题型归类精练12题型一：【性质一】专练122022乐山122021宜宾122022黔东南州中考数学真题13题型二 【性质二】解题：“345”三角形与倍半角232023湖北黄冈统考中考真题242022四川泸州统考中考真题292022北部湾经济区302023四川广元统考中考真题382023呼和浩特中考真题38题型三：其它特殊角的配凑与正切和角公式的运用402023内蒙古统考中考真题40深

2、圳中考真题43知识点梳理导语：在众多几何模型中，“12345”模型就像夜空中的木星一样明亮而璀璨，是中考解题的顶级神器，需要我们不断钻研、锤炼。初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。而在直角二角形中，345的三角形比含有30的直角二角形的1： ：2以及含有45的直角三角形的1：1：更加特殊更加重要。因为345不仅仅是自己特殊，更是可以在变化中隐藏更加特殊的变化(1：2：及1：3：)，综合性非常大，深受命题老师的喜爱。12345模型介绍：若，【性质一】；【性质二】；【性质三】；【

3、简证】1 如图，在 33 的网格中标出了 1 和 2，则 1 2 【图解】2 如图 ，在ABC 中，BAC45，AD 是 BC 边上的高，BD3，DC2， AD 的长为 .第2题 第3题3 A（0,6）B（3,0）在x轴上有一点P，若PAB=45，则P点坐标为 .【“1 2 3”+“4 5”的来源】构造倍半角（一）基本模型ABCDE已知：在ABC中，ACB90，AC3，BC4，点D在CA的延长线上，点E在CB的延长线上，且ADBEAB结论1：DE45结论2：tan2D，tan2E结论3：tanD，tanE因为在，45中出现数字12345，所以这种模型叫做12345模型（二）结论推导结论1：DE

4、45证明：ADBEAB，ABDD，BAEE，BAC2D，ABC2EACB90，BACABC90，2D2E90，DE45结论2：tan2D，tan2E证明：ACB90，tan2DtanBAC，tan2EtanABC结论3：tanD，tanE证明：ACB90，AC3，BC4，AB5，ADBEAB5，CD8，CE9，tanD，tanE（三）解题技巧如果题目中出现角的正切值或直角三角形的两条直角边的比为，或45配，时（对于角和，若满足45，tan，则一定有，tan，并且这三个式子，只要满足其中任意两个，都可以推出第三个），则考虑使用12345模型，将45，90，135这几个特殊的角度联系起来，简化此类

5、选择题或填空题的运算12345模型在中考题中常以选择题或填空题的形式出现除此之外，还能得出，你看出来了吗？【补充】其它角度配凑与正切和差公式“”45“”和“”45“”正切和差公式：实战练习例题演练【例1性质一】如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点,将ABG沿AG对折至AFG,延长GF交DC于点E,则DE长是( )A1 B1.5 C2 D2.5【答案】C【解析】根据BG是AB的一半，可得tanBAG=12，连接AE，易证AEFAED，tanDAE=1/3，DE=2【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，点E，F分别在边BC，CD上，EAF45，BE2，则DF的长为_AD

6、BCEF【答案】2【解析】BAD90，EAF45，BAEDAF45tanBAE，tanDAF，DF22022黔东南州【变式1-2】如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中点，则FG_cmDCABFMEG【答案】【解析】连接DF由题意，DEDCDA，DEFA90DFDF，DEFDAF，EDFADFCDMEDM，ADC90，FDM45tanCDM，tanADF，tanDGAtanCDGADAB4cm，EFAFcm，FGcm【变式1-3】在正方形ABCD中，边长为6，BE=2AE，连接DE，在AD、BC上分别存在点

7、G、F，连接GF交DE于H点，且GHD=45，求线段FG=_【答案】【分析解答】法一：观察发现tanADE=1/3，且GHD=45，条件已经具备，考虑GF可动，平移GH，将、45汇于直角处。可知CF=3，所以DF长度为法二：平移【例2性质二】：“345”三角形与倍半角（广东省中考）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 6，E 为 BC 的中点，将ABE沿直线 AE 折叠后，点 B 落在点F 处，AF 交对角线 BD 于点 G，则 FG 的长是_【答案】【变式2-1】如图，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，使得点 C 落在点 G 处，若 DE=1，CE=2，BC=6，则 AF的长为 【答案】4【

8、变式2-2】如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线交直线 BC 于点 E，交直线 AB 与点 F， 若 AB=4，BE=3，则 BF 的长为 【答案】【简证】易知tanACB=tanAFE=，进而可知BF=2BE=6【变式2-3】如图 ，等腰RtABC 中，C= 90 ， D 为 BC 中点，将ABC 折叠，使A 点与 D 点重合，若 EF 为折痕，则sin BED 的值为 【答案】【简证】连接AD，,【例3其它角的配凑】在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于O，则tanBOD的值等于_【分析解答】取点E如图所示，则O

9、AE=，OEA=45，BOD=+45，tanBOD=3【压轴题实战篇】一题多解如图，在等腰RtABC中，B=90，BA=BC，D为BC上一点，且，为AD上点，连接CE，CED=45，则的长_.【法一】作CGED与G，则EGC为等腰直角三角形，记EC=，故AE=EG=GC=m，则AG=2CG，则，进而得出，故AB=9，而，下略【其它方法：4种】【简证】重点题型归类精练重点题型归类精练题型一：【性质一】专练2022乐山1 如图，在RtABC中，C90，BC，点D是AC上一点，连接BD若tanA，tanABD，则CD的长为（ ）A B3 C D2CDAB【答案】C【解析】tanA，tanABD，BD

10、C45C90，CDBC2021宜宾2 如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，将矩形纸片沿CE，CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C，H，G恰好在同一直线上，若AB6，AD4，BE2，则DF的长是（ ）A2 B C D3CDBAEFGH【答案】A【解析】由题意，BCEHCE，DCFGCFBCD90，BCEDCF45tanBCE，tanDCF，DF23 如图，将已知矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为点B，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在BC上，记为点D，折痕为CF，若BD2，BE，则矩形纸片ABCD的面积为_ADBCEFDB【答案

11、】15【解析】由题意，BCBC，CDCD，BCEBCE，DCFDCFBCD90，ECFBCEDCF45BE，tanBCE，tanDCF，tanBCBADBC，FBDBCB，tanFBD，DFDF，CDCD2DF3，BCBCBDCD235，S矩形ABCD BCCD53152022黔东南州中考数学真题4 如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则 cm【答案】【简证】连接易知ADFEDF（HL），记，则故,【常规法】解：连接如图，四边形ABCD是正方形，点M为BC的中点，由折叠得， 设则有又在中，在中，解得，（舍去）又即5 如图,在矩形ABCD中

12、,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上,若AE=，EAF=45,则AF的长为 .【答案】6 （丽水中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_【解析】根据解析式可知：即可求得C点坐标（3,0），可求得解析式7 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，ADCD，BCCD2AD，E 是 CD上一点，ABE45，则tan AEB 的值等于（）A B2 C D3【答案】D8 如图,三角形OEF的顶点E,F分别在正方形ABCD边AB,CD上,O为正方形ABCD的中心,若EOF=135,

13、DF=1,CF=2,则EF的长度为 【答案】【简证】9 如图，已知正方形 ABCD 的边长为，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 在 BC 上，且 CE=2BE,过 B 点作 BFAE 于点 F，连接 OF，则线段 OF 的长度为 。【答案】【简证】10 （四川省成都市中考模拟）如图，正方形，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 【答案】【简证】延长EF至H,易证BFHBCH(HL),则EBH=45，又因为HF=HC=HD，所以CFD=90，则BFH=ADG，故【常规法】解：如图，过点作的平行线，分别交于点，四边形是正方形，四边形是矩形

14、，点为中点，即，设，则，由折叠的性质得：，又，在和中，即，解得，又，解得或，经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解，11 如图，在RtABC中，BAC90，ABAC，点D，E在边BC上，tanBAD，DAE45，将ABD沿AD翻折得到ABD，AB 交BC于点F，若DF3，则EF的长为_ABEDCBF【答案】4【解析】连接BE，过点D作DGAB于点G，过点E作EHAC于点HABEDCBFGHBAC90，ABAC，BC45，ABDB45，BGDG，CHEH由tanBAD，可设BGDGa，则AG3a，AB4aDAE45，BADCAE45，tanCAE设CHEHb，则AH2b，AC3b，4a3bDA

15、E45，BADBAE45，BADCAE45，BADBAD，BAECAEABABAC，AEAE，ABEACE，EF412 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上一点，且OB=3OE，连接AE，过点D作DGAE于点F，交AB边于点G，连接GE。若AD=，则GE的长是_.【答案】【简证】易知，则，勾股可知13 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE1，将ABE，ADF分别沿折痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EHAE，交AF的延长线于H，则线段FH的长为 【答案】【简证】易知ADFAGFEAF=45，四点共圆型相似+12345模型14 如

16、图，在等腰直角ABC中，BAC90，BC6，过点C作CDBC，CD2，连接BD，过点C作CEBD，垂足为E，连接AE，则AE长为 【答案】【详解】法一：二级结论CBA=45，故，设AC交BE于F，故蓝黄AFEBFC易知相似比为法二：常规法解：如图作AMBD于M，ANCE于N易证ABMACN，可得AMAN，四边形AMEN是正方形，设AMEMNEANa，BMb，在RtBCD中，BD2，CE，BE，在RtABC中，ABAC，则有，解得a，AEa题型二 【性质二】解题：“345”三角形与倍半角2024届深圳九年级南山实验教育集团南海中学校考期中15 如图，在正方形中，点E是边上一点，其中线段的垂直平分

17、线分别交于点F，G，H，则的值为 【答案】2【简证】（和角公式，详情见本专辑“12345模型”）设AE=3t，则FB=FE=5t，故HC=2t2023湖北黄冈统考中考真题16 如图，矩形中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（）ABCD4【答案】A【简证】易知，故【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，矩形中，由作图过程可知，平分，四边形是矩形，又，在和中，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，即，解得17 （2023深圳市高级中学联考）如图，正方形中，是中点，连接

18、，作交于，交于，交于，延长交延长线于，则的值为（）ABCD【答案】C【简证】【常规法详解】解：四边形是正方形，是中点，设，则，；故选：C.18 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE2，F是AB边上一点，将CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（）ABC1D【答案】B【简证】易知，故，【常规法详解】解：四边形是边长为的正方形，由翻折得，垂直平分，在和中，且，解得，解得19 如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F是CD的中点，EAF45，连接AE与BF交于点G，连接AF与DG交于点H，则的值为_ADBCEFGH【答案

19、】【解析】过点G作GMAF于点M，过点D作DNAF于点NADBCEFMGHN四边形ABCD是正方形，点F是CD的中点，tanDAFtanCBFAFB180AFDBFC2( 90AFD )2DAF，tanAFBtan2DAF设AMGM4a，则FM3a，AF7a，AN2DN4FN，FN，DN2FN，2022四川泸州统考中考真题20 如图，在边长为3的正方形中，点是边上的点，且，过点作的垂线交正方形外角的平分线于点，交边于点，连接交边于点，则的长为（）ABCD1【答案】B【简证】易知，故【详解】在AD上截取AHAE，连接HECDABENMHGF则AHEAEH45，DHE135由题意，ADAB，EBF

20、135，DHBE，DHEEBFADEF90，HDEBEF90DEA，HDEBEF，DEEF，EDF45BE2AE，ADAB3AE，tanADE，tanCDN，BNCNADEMEBM90，ADEBEM，BM，MNBNBM2022北部湾经济区21 如图，在正方形ABCD中，AB，对角线AC，BD相交于点O点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EFBE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF交AC于点H，将EFH沿EF翻折，点H的对应点H 恰好落在BD上，得到EFH若点F为CD的中点，则EGH 的周长是_ADEHFGHOBC【答案】5【解析】过点E作EPAC，交CB的延长线于点PADEHFGHOB

21、PC四边形ABCD是正方形，ECBECF45P45，PECF，EPECBEF90，PEBCEF，EPBECF，EBEF，EBHEFH45OBC45，EBOFBC点F为CD的中点，tanEBOtanFBCAB，OB4，OE2HEFHEF90BEOEBO，tanHEFtanEBO，tanHEO，OG1，OH，EH，EG，GH1，EGH 的周长EHEGGH522 （2022泰州）如图，在ABC中，ACB90，AC8，BC6，O为ABC的内心，过点O的直线分别与边AC，AB相交于点D，E，若DECDBE，则线段CD的长为_CABO【答案】2或【解析】过点O作AC的垂线，分别与边AC，AB相交于点D，E

22、，连接OA，OB，OCDCABEOEDACB90，DEBCO为ABC的内心，OA平分BAC，OC平分ACB，OB平分ABC，OC平分ACB，BOEOBCOBE，CODOCBOCD，BEOE，CDOD，DEODOECDBEAC8，BC6，tanBAC由12345模型可知tanOAD设CDODx，则AD3x，AC4x8，x2，即CD的长为2（也可由直角三角形内切圆的半径与边长的公式求出CD）过点O作AB的垂线，分别与边AC，AB相交于点D，E，则ODOE，DODEOE，ODDOEE90，ODDOEE，ODOE，DDEE，DEODOEODOEDECDBECDDDBEEECDBEDOD90ADEBAC

23、，tanDODtanBAC，DD，CD综上，线段CD的长为2或23 如图，已知正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点将正方形折叠起来，使点A和点E重合，折痕为 MN若tanAEN，DCCE10(1)求ANE 的面积；求sinENB 的值【答案】24 如图内接于，为直径，是的中点，与的交点为，则等于 【解答】解：连接，交于点，是的中点，是的中位线，为直径，25 如图，是圆的直径，点为左半圆上一点，的平分线与圆交于点，连接交于点，若时，则的值为ABCD【答案】D【解答】解：如图，连接，是直径，平分，设，26 如图，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接交于点若，则的长为A8B10C12D16【

24、答案】C【解答】解：连接，如图，为直径，而，而，在中，即，在中，27 如图 ，PA 为O 的切线，A 为切点，过 A 作 OP 的垂线 AB，垂足为点 C， 交O 于点 B，延长 BO 与O 交于点 D，与 PA 的延长线交于点 E求证：PB 为O 的切线；若 tanABE=，求 sinE【答案】（1）略（2）28 如图，已知点，为坐标原点，点关于直线的对称点恰好落在反比例函数的图象上，则 【答案】【详解】法一：易知，故.法二：常规法解：作轴于点，连接，如图所示，点，点关于直线的对称点为点，即， ，设，解得：，2023四川广元统考中考真题29 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且

25、点在点右方，连接，若，则点的坐标为 【答案】【简证】易知,故.【详解】解：点，点，过点作于点，是的角平分线，设，则，解得：或（舍去），2023呼和浩特中考真题30 如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，且，连接，则 ， 【答案】 2 【简证】易知，接下来对AME分析，如图易知，过M作AE的垂线段，设EM=5x，则，则【常规法思路】如图，证明，得到，勾股定理求出的长，等积法求出的长，证明，相似比求出的长，证明，求出的长，证明，求出的长，再利用勾股定理求出的长【常规法】解：正方形的边长为，点是的中点，；，故点作，则：，题型三：其它特殊角的配凑与正切和角公式的运用2

26、023内蒙古统考中考真题31 如图，在中，将绕点A逆时针方向旋转，得到连接，交于点D，则的值为 【答案】5【简证】因为，故【常规法】解：过点D作于点F，将绕点A逆时针方向旋转得到，是等腰直角三角形，又，是等腰直角三角形，即， ，即，又，故答案为：532 如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的65网格中的格点，连接交于点E，连接给出4个结论：；其中正确的是（）ABCD【答案】B【简证】易知，故错误，选B【详解】解：连接，为格点，如图，由题意得：，在和中，为等腰直角三角形，的结论正确；，的结论正确；，在中，的结论不正确；，的结论正确综上，正确的结论有：深圳中考真题33 已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（-3，0），C（-3，8），点F为x轴上任意一动点，当时，直接写出所有F点的坐标_.【答案】【解析】情况一，此时；情况二，