专题1.14 有理数章末八大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题1.14 有理数章末八大题型总结（拔尖篇）【沪科版】【题型1 数轴中的新定义问题】1【题型2 数轴中的动点问题】8【题型3 绝对值中的最值问题】14【题型4 分类讨论多绝对值问题】19【题型5 有理数中的规律探究】22【题型6 有理数中的对折问题】29【题型7 幻方的应用】34【题型8 有理数的实际应用】38【题型1 数轴中的新定义问题】【例1】（2023春浙江金华七年级校考期中）定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为10，我们就称点C是A,B的美好点例如：点M、N、P表示的数分别为-6、2、0，则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那

2、么点P是M,N的美好点，而点P就不是N,M的美好点(1)若点M、N、P表示的数分别为3、6、7，则 是 ， 的美好点（空格内分别填入M、N、P）(2)若点M、P表示的数分别为-4、-2，且P是M,N的美好点，则点N为 (3)如图，数轴上A，B，C三点分别表示的数为-10、12、2，点Q从B点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A，B两点间往返运动在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P，Q停止运动当t为何值时，点C恰好为P,Q的美好点？【答案】(1)M，P，N(2)6或2(3)1

3、19或97或359或337秒【分析】（1）先求出点M到点P和点N的距离，再根据美好点的定义，即可得到答案；（2）设点N表示的数为n，得到点P到点M和点N的距离，再根据美好点的定义，即可得到答案；（3）分三种情况讨论：当0t114时，此时点Q第一次从B点出发向左匀速运动；当114t112时，此时点Q第一次到达A点这番折返出发向右匀速运动；当112t6时，此时点Q第二次从B点出发向左匀速运动，分别表述出CP和CQ的长度，再根据美好点的定义求解，即可得到答案【详解】（1）解：点M、N、P表示的数分别为3、6、7，点M到点P的距离是4，到点N的距离是3，4+32=10，点M是P,N的美好点，故答案为：

4、M，P，N;（2）解：设点N表示的数为n，点M、P表示的数分别为-4、-2，点P到点M的距离是2，到点N的距离是n-2=n+2点P是M,N的美好点，2+2n+2=10，n=-6或2；（3）解：当0t114时，此时点Q第一次从B点出发向左匀速运动，根据题意得：点P表示的数为-10+2t，点Q表示的数为12-8t，点C表示的数为2，CP=2-10+2t=12-2t，CQ=12-8t-2=10-8t，点C恰好为P,Q的美好点，12-2t+210-8t=10，当0t54时，12-2t+210-8t=12-2t+210-8t=-18t+32=10，解得：t=119；当54t114时，12-2t+210-

5、8t=12-2t+28t-10=14t-8=10，解得：t=97；当114t112时，此时点Q第一次到达A点这番折返出发向右匀速运动，根据题意得：点P表示的数为-10+2t，点Q表示的数为-10+8t-228=8t-32，点C表示的数为2，CP=2-10+2t=12-2t，CQ=8t-32-2=8t-34，点C恰好为P,Q的美好点，12-2t+28t-34=10，当114t174时，12-2t+28t-34=12-2t+234-8t=-18t+80=10，解得：t=359；当174t112时，12-2t+28t-34=12-2t+28t-34=14t-56=10，解得：t=337；当112t6

6、时，此时点Q第二次从B点出发向左匀速运动，点P表示的数为-10+2t，点Q表示的数为12-8t-448=56-8t，CP=2-10+2t=12-2t，CQ=56-8t-2=54-8t，点C恰好为P,Q的美好点，12-2t+254-8t=10，解得：t=559（舍），综上可知，当t值为119或97或359或337秒时，点C恰好为P,Q的美好点【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，动点问题，正确理解美好点的定义，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键【变式1-1】（2023春江西景德镇七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，ab=a+b-20232，如：12=1+2-20232，123

7、=1+2-20232+3-20232=-2017材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，-2=-2，-1.3=-2(1)26 =_，-=_；(2)求123420222023的值：(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出mm+n的结果【答案】(1)-20072，-64(2)2023(3)-20532【分析】（1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出26的值，根据材料2中的定义即可求出-的值；（2）根据新定义函数把123420222023变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出123420222023的值；（3）根据m=2n=3n+1求出m的值和n的范围，再求出m+n的

8、值，即可得出mm+n的值【详解】（1）解：ab=a+b-20232，26=2+6-20232=-20072，-=-4，=3，- =-43=-64，故答案为：-20072，-64；（2）依题意，123420222023=1+2+3+2023+2022-20232=1+202322023-202220232=2023；（3）n+1=n+1，2n=3n+1，2n=3n+3，n=-3，m=2-3 =-6，m+n =-6+n=-9，mm+n =-9-6=-9-6-20232=-20532【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键【变式1-2】（2023春广西南宁七年级南宁市第

9、四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”(1)若点A表示数-3，点B表示数3，下列各数，-1，0，1所对应的点分别是C1,C2,C3，其中是点A，B的“联盟点”的是_；(2)点A表示数-10，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数【答案】(1)C1，

10、C3(2)-25；20或35或12.5【分析】（1）根据“联盟点”的定义列出绝对值方程即可求解；（2）根据数轴上两点的距离公式以及新定义，分类讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解【详解】（1）解：设C点表示的数为x，且C点是点A，B的“联盟点”，根据-1，0，1三个数在数A、B之间，可得CA=2CB或CB=2CA，x+3=2|x-3|或|x-3|=2x+3，当x+3=2|x-3|时，解得x=1或x=9（舍），当|x-3|=2x+3时，解得x=-1或x=-9（舍），C1，C3是点A，B的“联盟点”，故答案为：C1，C3；（2）设P点表示的数是a，点P在点A的左侧，PAPB，PA=-10-a，P

11、B=5-a，点P是点A，B的“联盟点”，PB=2PA，2-10-a=5-a，解得a=-25，即P点表示的数是-25；设P点表示的数是b，点P在点B的右侧，当P是点A，B的“联盟点”时，PA=2PB，b+10=2b-5，解得b=20；当A是点P，B的“联盟点”时，PA=2AB，b+10=215，解得b=20；当B是点P，A的“联盟点”时，PB=2AB或AB=2PB，b-5=215或15=2b-5，解得b=35或b=12.5；综上所述：P点表示的数为20或35或12.5【点睛】本题考查了几何新定义，数轴上两点的距离，绝对值的意义，数形结合是解题的关键【变式1-3】（2023春安徽滁州七年级校考期中

12、）已知A、B、C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍时，则称点C是A，B的三倍点，不是B，A的三倍点若数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1，点B在原点的右边，且到点A的距离为4(1)直接写出A、B两点表示的数；(2)若点C是A，B的三倍点，求点C表示的数；(3)若点C在点A的左边，是否存在使得A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况？若存在，请求出点C表示的数；若不存在，请说明理由【答案】(1)点A表示的数为-1，点B表示的数为3(2)点C表示的数为2或5(3)存在，-13或-73或-9或-3【分析】（1）根据数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1可得出点A表

13、示的数，根据点B在原点的右边，且到点A的距离为4可得出点B表示的数；（2）设点C表示的数为a，根据题意可得a-1=33-a，求解即可得到答案；（3）分四种情况：若点A是C，B的三倍点；若点A是B，C的三倍点；若点B是C，A的三倍点；若点B是A，C的三倍点；若C是B，A的三倍点，分别求解即可得到答案【详解】（1）解：数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1，点A表示的数为-1，点B在原点的右边，且到点A的距离为4，点B表示的数为3；（2）解：设点C表示的数为a，由题意可得a-1=33-a，a+1=33-a，解得a=2或a=5，点C表示的数为2或5；（3）解：存在假设存在点C为b，满足题意，若点

14、A是C，B的三倍点，由题意可得，-1-b=33-1，解得：b=-13，点C为-13；若点A是B，C的三倍点，由题意可得，3-1-b=3-1，解得：b=-73，点C为-73；若点B是C，A的三倍点，由题意可得，3-b=33-1，解得b=-9，点C为-9；若点B是A，C的三倍点，由题意可得，3-1=33-b，解得b=53，点C在点A的左边，即b-1，所以不符合题意；若C是B，A的三倍点，由题意可得，3-b=3-1-b，解得b=-3，故点C表示的数为-13或-73或-9或-3时使得A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，正确理

15、解“三倍点”的定义，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键【题型2 数轴中的动点问题】【例2】（2023春湖南株洲七年级统考期中）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是-18，-8，8A到C的距离可以用AC表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数-18，8大于-18，用8-18用式子表示为：AC=8-18=26根据阅读完成下列问题：(1)填空：AB=_，BC=_(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由(3)现有动点P、Q都从A点出发，点P以每

16、秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动设点P移动的时间为t秒0t19，写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）【答案】(1)10，16(2)不会改变，见解析(3)t或-t+12或t-12【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；（2）根据题意求出点A，B，C向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示AB，BC的值，最后再进行计算即可；（3）分三种情况讨论，点Q在点A处，点P在点Q的右边，点Q在点P的右边【详解】（1）解： AB=-8-18=10，BC=8-8=16，（2）解：不变，因为：经过t秒后，A，B，C三

17、点所对应的数分别是-18-t，-8+4t，8+9t，所以：BC=8+9t-8+4t=16+5t， AB=-8+4t-18-t=10+5t，所以：BC-AB=16+5t-10+5t=6，所以BC-AB的值不会随着时间t的变化而改变；（3）解：经过t秒后，P，Q两点所对应的数分别是-18+t，-18+2t-6，当点Q追上点P时，-18+t-18+2t-6=0，解得：t=12，当0t6时，点Q在还点A处，所以：PQ=t，当6t12时，点P在点Q的右边，所以：PQ=-18+t-18+2t-6=-t+12，当1254 ，75480041754-10041=2675164（秒）故t的值为：2675164；

18、【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、有理数的混合运算；熟练根据数轴上的两点求距离是解题的关键【题型3 绝对值中的最值问题】【例3】（2023春山东临沂七年级统考期中）数轴上表示数-5的点与原点的距离可记作|-5-0|=|-5|=5；表示数-5的点与表示数-2的点的距离可记作|-5-(-2)|=|-3|=3也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b则A，B两点间的距离就可记作|a-b|回答下列问题：(1)数轴上表示-3和2的两点之间的距离是_，数轴上表示-2和3的两点之间的距离是_；(2)数轴上表示x与-2的两点A和B之间的距离为5，那么x为_；(3)找出所有使得|x+1|+

19、|x-2|=3的整数x；求|x+3|+|x-1|的最小值【答案】(1)5，5(2)3，-7(3)-1，0，1，24【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式直接代入计算即可；（2）根据数轴上两点间的距离公式直接代入可得A，B之间的距离为x+2；当AB=5时，即x+2=5时，可求得x的值；（3）从数轴上可以看出只要x取-1和2之间的数（包括-1，2）就有|x+1|+|x-2|=3，可得这样的整数是1，0，1，2；对x进行讨论，可得|x+3|+|x-1|的最小值【详解】（1）表示-3和2的两点之间的距离是|-3-2|=5，表示-2和3的两点之间的距离是|-2-3|=5；故答案为：5，5；（2）由题意

20、可得，x+2=5，x+2=5或x+2=-5，x=3或x=-7；故答案为：3，-7（3）从数轴上可以看出只要x取-1和2之间的数（包括-1，2），就有|x+1|+|x-2|=3，因此这样的整数是-1，0，1，2；对x进行讨论：当-3xb，则可化简为AB=a-b请你利用数轴解决以下问题：(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 _；(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示5的点与表示2的点之间，则m-2+m+5=_；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图

21、所示，若a-d=12，b-d=7，a-c=9，则b-c等于 _(4)若b=a，c=12a，d=13a，e=14a，f=15a，则式子b-1+2c+2+3d-3+4e+4+5f-5的最小值为 _【答案】(1)1或5(2)7(3)4(4)54【分析】（1）由题意可知，a-2=3，再接方程即可；（2）由点P位于表示5的点与表示2的点之间，得到m-2+m+5表示点P到2和5的距离和，由-5-2=7，即可得到答案；（3）由题意得到a-c=AC，a-d=AD，b-d=BD，a-c=AC，则b-c=BC=BD+AC-AD=b-d+a-c-a-d=9+7-12=4，即可得到答案；（4）由题意可得b-1+2c+

22、2+3d-3+4e+4+5f-5 =a-1+a+4+a-9+a+16+a-25，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，4，9，16，25距离和最小，即可得到答案【详解】（1）解：点P与表示有理数2的点的距离是3个单位长度，a-2=3，a+2=3或a+2=-3，解得a=1或a=-5，故答案为：1或5；（2）点P位于表示5的点与表示2的点之间，m-2+m+5表示点P到2和5的距离和，-5-2=7，m-2+m+5=7，故答案为：7；（3）a-c=AC，a-d=AD，b-d=BD，a-c=AC，b-c=BC=BD+AC-AD=b-d+a-c-a-d=9+7-12=4，故答案为：4（4）

23、b=a,c=12a,d=13a,e=14a,f=15a，b-1+2c+2+3d-3+4e+4+5f-5=a-1+212a+2+313a-3+414a+4+515a-5=a-1+a+4+a-9+a+16+a-25，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，4，9，16，25距离和最小，只能取a=1，当a=1时，a-1+a+4+a-9+a+16+a-25有最小值，此时原式1-1+1+4+1-9+1+16+1-2554，故答案为：54【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键【变式3-3】（2023春浙江七年级期末）阅读绝对值拓展材料：a表

24、示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离而5=5-0，即5-0表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：5+3=5-3表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为a-b回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么x= （3）x+2可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离（4）x-2+x-3可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和

25、x+2+x-1可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和（5）x-2+x-3最小值是 ，x+2+x-1的最小值是 【答案】（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3【分析】（1）根据两点之间的距离公式计算即可；（2）根据两点之间的距离公式计算即可；（3）根据绝对值的意义可得；（4）根据绝对值的意义可得；（5）分别得出x-2+x-3和x+2+x-1的意义，再根据数轴的性质可得【详解】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果

26、|AB|=2，即|x+1|=2，x=1或-3；（3）|x+2|可以理解为数轴上表示x和-2的两点之间的距离；（4）|x-2|+|x-3|可以理解为数轴上表示x的点到表示2和3这两点的距离之和，|x+2|+|x-1|可以理解为数轴上表示x的点到表示-2和1这两点的距离之和；（5）由（4）可知：当x在2和3之间时，|x-2|+|x-3|最小值是1，当x在-2和1之间时，|x+2|+|x-1|的最小值是3【点睛】本题考查的是绝对值的问题，涉及到数轴应用问题，只要理解绝对值含义和数轴上表示数值的关系（如：|x+2|表示x与-2的距离），即可求解【题型4 分类讨论多绝对值问题】【例4】（2023春浙江金

27、华七年级校联考期中）已知a,b表示两个非零的实数，则aa+bb的值不可能是（）A2B2C1D0【答案】C【详解】当a0时，aa=aa=1；当a0时，bb=bb=1；当b0，b0时，aa+bb=1+1=2；当a0，b0，b0时，aa+bb=1+-1=0；当a0时，aa+bb=-1+1=0；综上所述，aa+bb的值可能为2，-2，0，不可能为1故选：C【点睛】本题考查化简绝对值，（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；（2）分情况讨论时，虽然两种情况在本题中的计算结果是一样的，但在分类讨论时，还是要分为两种【变式4-1】（2023春广东惠州七年级校考期中）若ab0，则aa-bb-ab

28、ab= 【答案】3或-1/-1或3【分析】根据ab0、b0和a0两种情况解答即可【详解】解：ab0，a0或a0，b0、b0，则aa-bb-abab=1-1-1=3；若a0，则aa-bb-abab=-1-1-1=-1；综上所述，aa-bb-abab的值为3或-1故答案为：3或-1【点睛】本题考查绝对值的性质，掌握分情况讨论思想是解题的关键【变式4-2】（2023春江西宜春七年级宜春市第三中学校考期中）若ab0，a+b0，则|a|a+|b|b+|ab|ab+|a+b|a+b= 【答案】-2或0或4【分析】对a和b，以及a+b的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值【详解】解：当a0，b0时，a

29、b0，a+b0，原式=aa+bb+abab+a+ba+b=1+1+1+1=4；当a0，b0，a+b0，b0时，ab0，b0，且a+b0时，ab0，原式=aa+-bb+-abab+-a+ba+b=1-1-1-1=-2；当a0，且a+b0时，ab0，原式=-aa+bb+-abab+a+ba+b=-1+1-1+1=0；当a0，且a+b0时，ab0，原式=-aa+bb+-abab+-a+ba+b=-1+1-1-1=-2故答案是：-2或0或4【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值【变式4-3】（2023春广东惠州七年级统考期中）满足x-1+x+3=4的整数x共有（）A2

30、B3C4D5【答案】D【分析】根据绝对值的性质化简即可求出答案【详解】当x1时，x-1+x+3=x-1+x+3=2x+2，令2x+2=4，解得：x=1；当-3x1时，x-1+x+3=1-x+x+3=4，恒为4，此时整数x=-2或-1或0；当x-3时，x-1+x+3=1-x-x-3=-2x-2，令-2x-2=4，解得：x=-3综上，整数x可能为-3、-2、-1、0、1，共有5个故选：D【点睛】本题考查了绝对值的化简，熟练掌握绝对值的意义及性质，利用绝对值的性质解题是关键【题型5 有理数中的规律探究】【例5】（2023春山东青岛七年级统考期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明他到底

31、聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量转变就是化归的实质化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式从字面上看，化归就是转化和归结的意思例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：数学问题，计算19+192+193+19n(其中n是正整数，且n2，)