专题1.27 全等三角形作辅助线方法（截长补短）（分层练习）（综合练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题1.27 全等三角形作辅助线方法（截长补短）（综合练）【知识与方法】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短1、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。2、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段

2、和求证中那一条线段相等；3、截长法与补短法：具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.一、填空题1如图，已知在中，平分，则 . （用含的代数式表示）. 2已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，则的长为 3如图，为等边三角形，若，则 （用含的式子表示）二、解答题4如图，四边形ABCD中，,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O.（1）请求出的度数;（2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 5如图，在中，的角平分线、相交

3、于点O，求证：6如图所示， ，分别是， 的平分线，点E在上，求证：7已知：如图，在中，、分别为、上的点，且、交于点若、为的角平分线(1) 求的度数；(2) 若，求的长8如图，ABC中，ABC60，AD、CE分别平分BAC、ACB，AD、CE相交于点P(1) 求APC的度数；(2) 若AE4，CD4，求线段AC的长9如图，、分别平分、，与交于点O（1）求的度数；（2）说明的理由10如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD求证：EF=BE+FD 11如图，在梯形ABCD中，ADBC，AE平分BAD，BE平分ABC，且AE、BE交CD于点E

4、试说明ADABBC的理由 12如图在中，、分别是、的平分线，、相交于点（1）请你判断并写出与之间的数量关系；（2）试判断线段、与之间的数量关系并说明理由 13如图所示，AD平分BAC，P是射线AD上一点，P与A不重合，求证： 14在四边形中，点E在DC上，AE平分，BE平分（1）判定AEB的形状，并说明理由.（2）求证： 15阅读：探究线段的和差倍分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明(1)请完成下题的证明过程：如图，在ABC中，B=2C，AD平分

5、BAC求证：AB+BD=AC证明：在AC上截取AE=AB，连接DE(2)如图，EA，EB分别平分DAB，CBA，CD过点E，求证：ABAD+BC16如图，四边形是正方形，E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F(1)求证：；(2)连接，则的值为_；(3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系17在中，如图，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证(1)如图，当，为的角平分线时，线段，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.(2)如图，当，为的外角平分线时，线段，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.18如图，已知ABCD，AE平分BAD，交DC

6、于E，DFBC于F，交AE于G，且DFAD(1)若C60，AB2，求EC的长；(2)求证：ABDG+FC19在四边形ABDE中，C是BD边的中点(1)如图（1），若AC平分BAE，ACE=90，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）(2)如图（2），AC平分BAE，EC平分AED，若ACE=120，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明20如图，在ABC中，C90，AD是BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DEBA于点E，点F在AC上，且BDDF（1）求证：ACAE；（2）若AB7.4，AF1.4，求线段BE的长 21如图，在ABC中，A

7、BBC，ABC60，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点（1）若DAE15，求证：ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BEAE+CE参考答案1a-b【分析】在CB上截取CA=CA，连接DA，根据SAS证明ADCADC，根据ADCADC，得出DA=DA，CAD=A，再证明DA=AB即可解决问题.解：在CB上截取CA=CA，连接DA，CD平分ACB，ACD=ACD，在ADC和ADC中， ，ADCADC（SAS），DA=DA，CAD=A，A=2B，CAD=B+ADB，ADB=B，BA=AD=AD，BC=CA+BA=AC+ADAD=BC-AC=a-b，故答案为：a-b.

8、【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.2/【分析】在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接想办法证明，推出，推出即可解决问题解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接，故答案为：【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题3/【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得 ，从而得到CE=CD，DCE=ACB=60，从而得到是等边三角形，进而得到BDC=60，则有，

9、即可求解解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，为等边三角形，BC=AC，BAC=ABC=ACB=60，BE=AD， ，CE=CD，BCE=ACD，BCE+ACE=ACD+ACE，DCE=ACB=60，CE=CD，是等边三角形，BDC=60，故答案为：【点拨】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键4（1）；（2）BE+CP=BC，理由见分析【分析】（1）先证得为等边三角形，再利用平行线的性质可求得结论；（2）由BP、CE是ABC的两条角平分线，结合BE=BM，依据“SAS”即可证得BEOBMO；利用三角形内角和求出BOC

10、=120，利用角平分线得出BOE=BOM=60，求出BOM，即可判断出COM=COP，即可判断出OCMOCP，即可得出结论；解：（1），为等边三角形，ACD=，BAC=ACD=；（2）BE+CP=BC，理由如下：在BC上取一点M，使BM=BE，连接OM，如图所示：BP、CE是ABC的两条角平分线， OBE=OBM=ABC，在BEO和BMO中，BEOBMO(SAS)，BOE=BOM=60，BP、CE是ABC的两条角平分线，OBC+OCB=在ABC中，BAC+ABC+ACB=180，BAC =60，ABC+ACB=180-A=180-60=120，BOC=180-(OBC+OCB)=180=180

11、-120=120，BOE=60，COP=BOE=60BEOBMO，BOE=BOM=60，COM=BOC-BOM=120-60=60，COM=COP=60，CE是ACB的平分线，OCM=OCP，在OCM和OCP中，OCMOCP（ASA），CM=CP，BC=CM+BM=CP+BE，BE+CP=BC【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，证明CFM=CFD是解题的关键5证明见分析【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，在上截取，连接，分别证明，得到，即可证明结论解：证明：，、分别平分

12、、，如图，在上截取，连接，在和中，在和中，【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键6见分析【分析】运用截长补短的方法，在上取点F，使，由角平分线定义得，可证，得，结合平行线的性质可证，进一步证得，所以，得证结论解：在上取点F，使，分别是，的平分线，在和中在和中，【点拨】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质；运用截长补短的方法构造全等三角形求证线段相等是解题的关键7(1)；(2)10【分析】（1）由题意，根据，即可解决问题；（2）在上截取，连接只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题解：、分别为的角

13、平分线，；（2）解：在上截取，连接、分别为的角平分线，在和中，在和中，【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题8(1)120；(2)8【分析】（1）利用ABC60，AD、CE分别平分BAC，ACB，即可得出答案；（2）由题中条件可得APEAPF，进而得出APEAPF，通过角之间的转化可得出CPFCPD，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论解：ABC60，BACBCA120，AD、CE分别平分BAC，ACB，PACPCA（BACBCA）60，APC120；（2）解：在AC上截取AFAE，连接PF，

14、如图所示：AD平分BAC，BADCAD，在APE和APF中，APEAPF（SAS），APEAPF，AF=AE，APC120，APE60，APFCPD60CPF，在CPF和CPD中，CPFCPD（ASA）CFCD，ACAFCFAECD448【点拨】本题主要考查了利用角平分线求角度和全等三角形的判定及性质，根据在AC上截取AFAE得出APEAPF是解题关键9（1）120；（2）见分析【分析】（1）根据角平分线的定义可得OAB+OBA=60，从而得到AOB；（2）在AB上截取AE=AC，证明AOCAOE，得到C=AEO，再证明C+D=180，从而推出BEO=D，证明OBEOBD，可得BD=BE，即可

15、证明AC+BD= AB解：（1）AD，BC分别平分CAB和ABD，CAB+ABD=120，OAB+OBA=60，AOB=180-60=120；（2）在AB上截取AE=AC，CAO=EAO，AO=AO，AOCAOE（SAS），C=AEO，C+D=（180-CAB-ABC）+（180-ABD-BAD）=180，AEO+D=180，AEO+BEO=180，BEO=D，又EBO=DBO，BO=BO，OBEOBD（AAS），BD=BE，又AC=AE，AC+BD=AE+BE=AB【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE=AC，利用全等三角形的性质证明结论

16、10证明见分析【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG先说明ABGADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得AEGAEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答解：延长EB到G，使BG=DF，连接AGABG=ABC=D=90，AB=AD，ABGADFAG=AF，1=21+3=2+3=EAF=BADGAE=EAF又AE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BE+BGEF=BE+FD【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键11见分析【分析】在AB上找到F使得AFAD，易证AEFAED，可得AFAD，AFED，根据平行线性质可证CBFE，即可证

17、明BECBEF，可得BFBC，即可解题解：证明：在AB上找到F使得AFAD，AE平分BAD，EADEAF，在AEF和AED中，AEFAED，（SAS）AFAD，AFED，ADBC，DC180，AFEBFE180CBFE，BE平分BAD，FBEC，在BEC和BEF中，BECBEF，（AAS）BFBC，ABAFBF，ABADBC，即ADABBC【点拨】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证AEFAED和BECBEF是解题的关键12（1）；（2），见分析【分析】（1）在上截取，利用SAS证出，从而得出，然后利用ASA证出，从而得出，即可得出结论；（2）根据（

18、1）中两个全等三角形可得，从而证出结论解：（1）与的关系是，在上截取，、分别是、的平分线，在AEF和AHF中，B=60BACBCA=180B=120、分别是、的平分线，FACFCA=60180（FACFCA）=120，=FACFCA=60，在CFH和CFD中，（2）理由：由（1）知：， ，即【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键13详见分析【分析】在AC上截取AE=AB，连接PE，利用SAS可证明BAPEAP，可得PB=PE，利用三角形的三边关系即可得答案解：在AC上截取AE=AB，连接PE，AD平分，在和中，在中，AE=A

19、B，【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，正确作出辅助线构建全等三角形并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键14（1）AEB为直角三角形，理由见分析；（2）见分析.【分析】（1）根据平行线性质得出DAB+ABC=180，由角平分线得出EAB=DAB，EBA=ABC，可得EAB+ABE=90，根据三角形内角和定理求出AEB=90，即可得出答案；（2）在AB上截取线段AF=AD，连接EF，构建全等三角形ADEAFE（SAS）、BFEBCE（AAS），根据全等三角形的对应边相等得到BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代换即可得证解：AEB为直角三角形，理由如下：ADBC，DA

20、B+ABC=180，AE、BE分别平分BAD、ABC，EAB=DAB,EBA=ABC，EAB+ABE=180=90，AEB=18090=90,AEB为直角三角形；(2)证明：如图，在边AB上截取线段AF=AD，连接EF，AE平分BAD，FAE=DAE，在ADE和AFE中,，ADEAFE(SAS)，AED=AEF，AEBE，AEF+BEF=AED+BEC=90，BEC=BEF，又在BFE与BCE中,BFEBCE(AAS)，BF=BC，AB=AF+BF，AB=AD+BC.【点拨】本题考查全等三角形的综合问题，是“截长补短”模型的典型题目，熟练掌握此模型辅助线的作法，构造全等三角形是解决本题的关键.

21、15(1)证明见分析；(2)证明见分析；【分析】（1）在AC上截取AE=AB，连接DE，证明，得到 ，再证明ED=EC即可；（2）先过E作，交于，则 ，因为EA、EB分别平分和，所以AF=EF=FB，再根据梯形中位线定理得出AB=AD+BC解：（1）AD平分BAC，EAD=BAD 在AED和ABD中， AEDABD（SAS），ED=BD，AED=B，B=2CAED=2C，又AED为CED的外角，AED=C+EDC，C=EDC，EC=EDEC=BD，AC=AE+EC=AB+BD（2）在AB上截取AF=AD，连接EF AE平分DABDAE=FAE又AE=AE，AF=ADDAEFAE（SAS）D=A

22、FEC+D=180AFE+BFE=180BFE=C 又FBE=CBE，BE=BE（AAS）BF=BCAB=AF+BF=AD+BC【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，此题利用了全等三角形常见的辅助线中的截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题的最常见解法，注意熟悉掌握16(1)见分析；(2)；(3)，理由见分析【分析】（1）取的中点，并连接，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明，即可得出结论；（2）连接后，由点，分别为，的中点，推出为的中位线，再结合全等三角形的性质转换边长，根据中位线定理求解即可；（3）结合（1）的结论，可得到，从而考虑运用“半角”模型

23、，因此延长至点，使得，连接，运用两次基础全等证明即可得出结论解：（1）证明：如图所示，取的中点，并连接，E是边的中点，四边形是正方形，正方形外角的平分线为，在和中，；（2）解：如图所示，连接，点，分别为，的中点，为的中位线，由（1）得，故答案为：；（3）解：，理由如下：如图所示，延长至点，使得，连接，由正方形基本性质得：，由（1）知，且，即：，在和中，【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键17(1)；(2)，证明见分析【分析

24、】（1）首先在上截取，连接，易证，则可得，又由，所以，即，易证进而求解；（2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，又由，易证，则可求解解：理由为：在上截取，连接，如图所示，为的平分线，在和中， ，又，则；（2）解：理由为：在上截取，连接，如图所示，为的平分线，在和中，又，则【点拨】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题18(1)；(2)见分析【分析】（1）先由，在中，求得，由平分，则，由，则，从而有，得出，再根据即可求得；（2）延长至，使，连接，根据全等三角形的判定和性质可得，结合（1）中

25、结论及利用外角的性质得出，根据等角对等边得出，由此即可证明（1）解：在中，在中，平分，；（2）证明：如图所示：延长至，连接，使，在和中，由（1）可得：，即，即【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质等，理解题意，作出辅助线，由补短法构造全等三角形是解题关键19(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，证明见分析【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，由三角形全等的判定可证得ACBACF，根据全等三角形的性质可得BC=FC，ACB=ACF，根据三角形全等的判定证得CEFCED，得到EF=ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在A

26、E上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG，根据全等三角形的判定证得ACBACF和ECDECG，由全等三角形的性质证得CF=CG，进而证得CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，从而可证得结论解：（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=ABAC平分BAE，BAC=FAC在ACB和ACF中，ACBACF（SAS），BC=FC，ACB=ACFC是BD边的中点，BC=CD，CF=CDACE=90，ACB+DCE=90，ACF+ECF=90，ECF=ECD在CEF和CED中，CEFCED（SAS），EF=EDAE=AF+EF，AE=AB+DE故答案为：

27、AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CGC是BD边的中点，CB=CD=BDAC平分BAE，BAC=FAC在ACB和ACF中，ACBACF（SAS），CF=CB，BCA=FCA，同理可证：CD=CG，DCE=GCECB=CD，CG=CFACE=120，BCA+DCE=180120=60，FCA+GCE=60，FCG=60，FGC是等边三角形，FG=FC=BDAE=AF+EG+FG，AE=AB+DE+BD【点拨】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，能熟练

28、应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键20（1）见分析；（2）3【分析】（1）证明ACDAED（AAS），即可得出结论；（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，证FADMAD（SAS），得FD=MD，ADF=ADM，再证RtMDERtBDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解解：（1）证明：AD平分BAC，DAC=DAE，DEBA，DEA=DEB=90，C=90，C=DEA=90，在ACD和AED中，ACDAED（AAS），AC=AE；（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，在FAD和MAD中，FADMAD（SAS），FD=MD，ADF=ADM，BD=DF，BD=MD

29、，在RtMDE和RtBDE中，RtMDERtBDE（HL），ME=BE，AF=AM，且AF=1.4，AM=1.4，AB=7.4，MB=AB-AM=7.4-1.4=6，BEBM3，即BE的长为3【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明FADMAD和RtMDERtBDE是解题的关键21（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）首先根据题意确定出ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出BAC60，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及DAE15，推出BAD90，即可得出结论；（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BFCE

30、，连接AF，根据题目条件推出ABFACE，得出AFAE，再进一步推出AEF60，可得到AFE是等边三角形，则得到AFFE，从而推出结论即可解：证明：（1）在ABC中，ABBC，ABC60，ABC是等边三角形，ACABBC，BACABCACB60，线段AC与AD关于直线AP对称，CAEDAE15，ADAC，BAEBAC+CAE75，BAD90，ABACAD，ABD是等腰直角三角形；（2）在BE上取点F，使BFCE，连接AF，线段AC与AD关于直线AP对称，ACEADE，ADAC，ADACAB，ADBABD=ACE，在ABF与ACE中，ABFACE（SAS），AFAE，ADAB，DABD，又CAEDAE，在AFE中，AFAE，AEF60，AFE是等边三角形，AFFE，BEBF+FECE+AE【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键