专题1.4 菱形的性质与判定（拓展篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx

1、专题1.4 菱形的性质与判定（拓展篇）（专项练习）一、单选题类型一、平面直角坐标系中的菱形问题1如图，在平面直角坐标系中、四边形OABC为菱形，O为原点，A点坐标为（8，0），AOC60，则对角线交点E的坐标为（）A（4，2）B（2，4）C（2，6）D（6，2）2如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点C的坐标为（）ABCD3如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点图2是点运动时，的面积随时间变化的函数关系图象，则菱形的周长为 （）A5BCD4如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），四边形OABC是菱形，以OB为边作菱形，使顶点在OC的延长线上，再以为边作菱

2、形，使顶点在的延长线上，再以为边作菱形，使顶点在的延长线上，按照此规律继续下去，则的坐标是（）ABCD类型二、折叠中的菱形问题5如图，在RtABC中，C=90，A=30，AB=2，将BEF沿EF所在直线翻折得到DEF，点D为ABC的平分线与边AC的交点，则线段EF的长度为（）ABCD6图，在中，点是斜边上一动点，连结，将以直线为对称轴进行轴对称变换，点的对称点为，连结，则在点从点出发向点运动的整个过程中，线段长度的最小值为（）A1BCD7RtABC中，C90，B30，点D为AB的中点，点E在边BC（包括点B、C）上，将BDE沿着直线DE翻折得到BDE，设BDE为，当为（）度时，以点A、C、B、

3、D为顶点的四边形为菱形A60B30C30或120D45或608如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，APM的面积为y图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（）A12B24C10D20类型三、菱形的最值问题9如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB4，BD，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EPBP的最小值为（）A4BC D810如图，在平行四边形中，对角线平分，在对角线上有一动点P，边上有一动点Q，使的值最小，则

4、这个最小值为（）A4BCD811如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为（）ABC2D12如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（）A5B10C6D8类型四、菱形的旋转问题13如图，在中，点、分别是边、的中点，将绕点旋转得，则四边形一定是（ ）A矩形B菱形C正方形D梯形14如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的BC边的中点O在坐标原点上，轴，将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转90，点A的对应点为点，则点的坐标为（）ABCD15如图将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱

5、形ABCD，B当AC平分BAC时，与满足的数量关系是（）A2B23C4180D3218016如图，在菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是()ABCD二、填空题类型一、坐标系下的菱形问题17如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，点D在y轴上，则点是_18如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点O、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转135时，菱形的对角线交点D的坐标为_19如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线上有P，Q两个动点，且，已知点，当周长最小时，点

6、P的坐标为_20已知：在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线yx+与x轴、y轴分别交于B、C两点四边形ABCD为菱形，连接AC，点P为ACD内一点，且APB60，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BFAE，连接AF，EF，若AFE30，则AF2+EF2的值为_类型二、折叠中的菱形问题21如图，AD是ABC的高，在AB上取一点E，在AC上取一点F，将ABC沿过E、F的直线折叠，使点A与点D重合，给出以下判断：EF是ABC的中位线；DEF的周长等于ABC周长的一半；若AB=AC，则四边形AEDF是菱形；若BAC是直角，则四边形AEDF是矩形；其中正确的是_22如图，在菱

7、形中，F为边上一点，将沿折叠，点C恰好落在延长线上的点E处，连接交于点G，若，则的长为_23如图，在菱形ABCD中，A120，AB2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将DAE折叠得到DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F （1）DEF_；（2）若点E是AB的中点，则DF的长为_24如图，在菱形中，分别是边，上的点，将沿EF折叠，使点的对应点落在边上，若，则的长为_类型三、菱形的最值问题25如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在对角线AC和边AD上，连接DE，EF，若AC=4，BD=2，则DE，EF之和的最小值为_26如图，

8、在菱形中，点，在上，且，连接，则的最小值为_27如在菱形中，E为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为_28如图，在菱形ABCD中，ABC120，对角线AC、BD交于点O，BD4，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF3BF，点P为AC上一动点，连接PE、PF，则PFPE的最大值为 _类型四、菱形的旋转问题29如图，已知菱形ABCD的边长为2，A45，将菱形ABCD绕点A旋转45，得到菱形，其中B、C、D的对应点分别是，那么点的距离为_30如图，菱形ABCD，BAC=，M是AC、BD的交点，P是线段BM上的动点（不与点B、M重合），将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ，点Q恰好在

9、CD上，若要使得PQ=QD，则的范围为_31如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得到，分别为线段和线段上的动点，且，有以下结论：四边形为菱形；为等边三角形；其中正确结论有_（填序号）32如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，ADx轴，AD=4，A=60将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是_三、解答题33如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为，它与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线y=-x与直线AB交于点C动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CO运动，运动时间为t秒(1)求AOC的面积；(2)设PAO的面积为S，求S与t的

10、函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)M是直线OC上一点，在平面内是否存在点N，使以A，O，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由34矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A落在线段BC上，再打开得到折痕EF （1）当A与B重合时（如图1），EF= ；（2）当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；（3）观察图3和图4，利用图4，证明四边形AEAF是菱形；设BA=x，当x的取值范围是 时，四边形AEAF是菱形35如图，在菱形ABCD中，DAB60，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将ACE

11、的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120，分别交射线AD于点F，G(1)若ACE，求AFC的大小（用含的式子表示）；(2)证明AE+AFCG；(3)若AB4，点M为菱形ABCD对角线AC（不含A点）上的任意一点，则BM+AM的最小值为_36综合与探究问题情境：数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形，把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点重合，且，连接，(1)操作发现：如图1，当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系：(2)探究发现：如图2，将菱形绕点按逆时针方向旋转，使点落在边上，连接和你认为（1）中的结论是否还成立

12、？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)探究拓广：如图3，在（2）的条件下，当时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系参考答案1D【分析】过点E作EF x轴于点F，由直角三角形的性质求出EF长和OF长即可解：过点E作EFx轴于点F，四边形OABC为菱形，AOC=60，AOE=AOC=30，OBAC，FAE=60，AEF=30A(8,0)，AO=8，AE=AO=8=4，AF=AE=2，OF=AOAF=82=6，故选：D【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键2B【分析】作CDx轴，根据菱形的性质得到OC=OA= 2 ，在RtOCD中，根

13、据勾股定理求出OD的值，即可得到C点的坐标解：作轴于点D，则，四边形OABC是菱形，又，在RtOCD中，则点C的坐标为，故选：B【点拨】此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出 OC=OD=是解决问题的关键3D【分析】由图1可知点P在AD上运动时，的底和高不变，面积不变；在DB上运动时，面积在减小；故结合图2可知菱形的边长为a，高为3，BD=5，进而构建直角三角形，由勾股定理可得到答案解：由图可知菱形的边长为a，BD=5，菱形BC边上的高是3，如图则有 由 有 解得 故选：D【点拨】本题考查菱形的性质，解直角三角形；懂得从图中数据提炼图形的

14、边长并构建直角三角形是解题的关键4A【分析】连接AC、BC1，分别交OB、OB1于点D、D1，利用菱形的性质及勾股定理即可得OB的长，进一步在菱形OBB1C1计算出OB1，过点B1作B1Mx轴于M，利用勾股定理计算出B1M，OM，从而得B1的坐标，同理可得B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8，B9，B10，B11，B12，根据循环规律可得B2021的坐标解：如图所示，连接AC， 分别交OB，与D、，点A的坐标为（1，0），OA=1，四边形OABC是菱形，AOC=60，OC=OA=1，OB=2OD，COD=30，CDO=90，AOC=60，B1OC1=90-60=30，四边形OBB1C1是菱

15、形，在RtOC1D1中，OB1=2OD1=3，过点B1作B1Mx轴于点M，在RtOMB1中，同理可得，由此可以发现规律“每经过12次作图后点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次菱形的边长变成原来的倍即，202112=1685，B2021的纵坐标符号与B5的相同，则B2021在y轴的负半轴上，又B2021的坐标为，故选A【点拨】本题考查平面直角坐标系找规律，利用菱形的性质处理条件，掌握循环规律的处理方法是解题的关键5C【分析】连接BD，求证四边形BEDF是菱形，利用含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质求解即可解：如图，连接BD，C=90，A=30，AB=2，BC=AB=1，AB

16、C=90-A=60，点D为ABC的平分线与边AC的交点，ABD=CBD=ABC =30，将BEF沿EF所在直线翻折得到DEF，BE=DE，BF=DF，EDB=CBD=30，FDB=ABD=30，EBD=FDB=30，EDB=FBD=30，BEDF，BFDE，四边形BEDF是平行四边形，ADF=C=90，又BE=DE，四边形BEDF是菱形，BE=BF=DF=DE，在RtADF中，A=30，AF=2DF=2BF，AB=AF+BF=2BF+BF=3BF，BF=AB=，又BEF是等边三角形，BE=BF=EF=， 故选：C【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质

17、以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握运用这些知识点6D【分析】由题意可知点在AC上时，线段长度最短，故可求解解：将以直线为对称轴进行轴对称变换，点的对称点为，AC、BC长度不变，故当A、C在三点共线时，符合题意，即点在AC上时，线段长度最短，即=AC-，在中，AB=2BC=2，AC=,线段长度最短为AC-=，故选D【点拨】此题主要考查三角形的长度求解，解题的关键是熟知轴对称变换的特点及含30的直角三角形的性质7C【分析】分为菱形点对角线，菱形的边长两种情况讨论即可解：RtABC中，C90，B30，点D为AB的中点，是等边三角形折叠如图，当为菱形的边长时，则当为菱形的对角线时，此时与重合，如

18、图同理可得，则故选C【点拨】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，确定是等边三角形是解题的关键8D【分析】由图2，可知BP=6，SABP=12，由图1翻折可知，AQBP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形 ABCD的面积为BCAQ即可求出.解：由图2，得BP=6，SABP=12AQ=4由翻折可知，AQBP由勾股定理，得BC=AB=5菱形 ABCD的面积为BCAQ=54=20故选：D【点拨】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.9C【分析】连接DE交AC于点P，连结BP，

19、根据菱形的性质推出AO是BD的垂直平分线，推出PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根据勾股定理求出DE的长即可解： 四边形ABCD是菱形，ACBD，AOAC，BOBD2，AB4，连接DE交AC于点P，连结BP，作EMBD于点M，四边形ABCD是菱形，ACBD，且DOBO，即AO是BD的垂直平分线，PDPB，PE+PBPE+PDDE且值最小，E是AB的中点，EMBD，BE=2，DMBD-BMBO3，DE，故选C【点拨】此题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等等，关键是根据题意确定P点位置从而确定PE+PB的最小值的情形10B【分析】根据平行线的性质得到ADBCBD，由角平分线的定

20、义得到ABDCBD，得到平行四边形ABCD是菱形，推出点A，C关于BD对称，过A作AQBC于Q交BD于P，则PQPC最小值AQ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBCBD，BD平分ABC，ABDCBD，ABDADB，ABAD，平行四边形ABCD是菱形，点A，C关于BD对称，过A作AQBC于Q交BD于P，则PQPC最小值AQ，ABC45，ABQ是等腰直角三角形，ABBC8，AQAB，这个最小值为，故选：B【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，准确的找到P与Q的位置是解题的关键11D【分析】如

21、图，作出辅助线，当点G，F，B共线时，有最小值，利用题目中的条件，在中，求出，的长度，即可求出的长度，即为的最小值解：如图，过点，过点F作，DG与FG交于点G，则四边形DEFG是平行四边形，当点G，F，B共线时，有最小值连接BD，由菱形的性质可知，又，当G，F，B共线时，故的最小值为，故选：D【点拨】本题主要考查了动点几何问题中的最短线段问题，正确作出辅助线，得到点G，F，B共线时，有最小值，并利用菱形的性质和勾股定理求解是解题的关键12A【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=Q

22、N=BC，即可得出答案解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，四边形ABCD是菱形，ACBD，QBP=MBP，即Q在AB上，MQBD，ACMQ，M为BC中点，Q为AB中点，N为CD中点，四边形ABCD是菱形，BQCD，BQ=CN，四边形BQNC是平行四边形，PQAD，而点Q是AB的中点，故PQ是ABD的中位线，即点P是BD的中点，同理可得，PM是ABC的中位线，故点P是AC的中点，即点P是菱形ABCD对角线的交点，四边形ABCD是菱形，则BPC为直角三角形，,在RtBPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，MP+NP=Q

23、P+NP=QN=5，故选：A【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置13A【分析】根据旋转的性质确定，进而确定四边形是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质确定，进而确定四边形是矩形解：绕点旋转得，四边形是平行四边形，点是边的中点，四边形是矩形故选：A【点拨】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题关键14D【分析】根据60的菱形的性质得到OB长，再根据旋转的性质和解直角三角形得到OP，P，OP长，结合图形从而得到点的坐标；解：如图1，连接OA，点O为菱形ABCD

24、中BC边的中点，由旋转的性质可知，在中，点的坐标为，故选D【点拨】本题考查了菱形的性质，坐标由图形的性质，旋转的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键15C【分析】根据AC平分BAC，得到BACCAC，根据旋转角为，得到BABCAC，根据AC平分BAD，得到BACDAC，推出BABDAC，推出BABBACCACDAC，根据ADBC，得到B+BAD180，推出4+180解：AC平分BAC，BACCAC，菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形ABCD，BABCAC，AC平分BAD，BACDAC，BABDAC，BABBACCACDAC，ADBC，B+BAD180，4+180故选：C【点拨】本题

25、考查了菱形性质，旋转性质和角平分线，熟练掌握菱形的边、角、对角线性质，旋转图形全等性质，角平分线定义，是解决本题的关键16A【分析】连接BD交AC于O，根据四边形ABCD是菱形，得到AD=CD=AB=2，BCD=BAD=，ACD=BAC=BAD=，OA=OC，ACBD，求出AC=2，由旋转得AE=AB=2，EAG=BAC=，求出CE=AC-AE=2-2，再证得CPE=，求出PC=PE=3-，根据DP=CD-PC求出数值即可解：连接BD交AC于O，四边形ABCD是菱形，AD=CD=AB=2，BCD=BAD=，ACD=BAC=BAD=，OA=OC，ACBD，ABD是等边三角形，OB=AB=1，OA

26、=，AC=2，由旋转得AE=AB=2，EAG=BAC=，CE=AC-AE=2-2，四边形AEFG是菱形，EFAG，CEP=EAG=CEP+ACD=，CPE=，PE=CE=-1，PC=PE=3-，DP=CD-PC=2-(3-)=-1，故选：A【点拨】此题考查旋转的性质，菱形的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记菱形的性质是解题的关键1710【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而三角形的面积解：菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D在y轴上，AB=3-（-2）=5，ABCD，AD=CD=AB=5，即CDx

27、轴，在RtAOD中，由勾股定理得：OD=S=故答案：10【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，根据勾股定理求出DO的长是解题的关键18【分析】根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点的坐标解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得D点坐标为（1，1），OB与y轴的正半轴的夹角为45，而y轴的正半轴与x轴的负半轴夹角为90，菱形绕点O逆时针旋转135时，即线段OD绕点O逆时针旋转135时，此时OD在x 轴的负半轴上，菱形的对角线交点D的坐标为（-，0），故答案为：【点拨】本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质是解题关键19【分析】连接AP、AC交BD于点E，

28、过A点作ADPQ，且AD=PQ，连接DQ、CD，则当点Q在线段CD上时CQ+CP最短，从而周长最小，则易得PAOA，从而可求得点P的坐标解：连接AP、AC交BD于点E，过A点作ADPQ，且AD=PQ，连接DQ、CD，如图四边形ADQP是平行四边形DQ=AP，AD=PQ=2由菱形的对称性知：AP=CPDQ=CP当点Q在线段CD上时，CQ+DQ= CQ+CP最短，从而周长=CQ+CP+2最小四边形OABC是菱形OC=OA=，CE=AE，ACBD AOC=60OAC是等边三角形 ADPQACAD由勾股定理得ACD=30APCDPAC=ACD=30PAO=CAO+PAC=90即PAOAAOE=30OP

29、=2AP在RtPAO中，由勾股定理得：解得：AP=2则点P的坐标为故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，解题的关键是掌握过A点作ADPQ，且AD=PQ2025【分析】连接CE、CF证明CEF是等边三角形以及AFCF，然后利用勾股定理得出答案解：如图，连接、，在中，四边形是菱形，是等边三角形，在和中，是等边三角形，在中，故答案为：25【点拨】本题考查一次函数综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建方程解决问题

30、，属于中考压轴题21【分析】由折叠的性质及垂直的条件可得点E、F分别是AB、AC的中点，从而可判定正确；由中位线定理即可判定正确；由AB=AC及E、F分别为中点可得AE=AF，由折叠的性质即可判定正确；当AB与AC不相等时，点D不是BC的中点，则DE与AC不平行，从而四边形AEDF不是平行四边形，故不是矩形，从而可判定错误解：由折叠性质得：AE=DE，AF=DF，且EFADEAD=EDAADBCEDA+EDB=90，EAD+B=90EDB=BDE=BEDE=AE即点E是AB的中点同理：点F是AC的中点EF是ABC的中位线故正确EF是ABC的中位线，AEF的周长为而ABC的周长为AB+BC+AC

31、AEF的周长等于ABC周长的一半故正确vAB=AC，E、F分别是AB、AC的中点AE=AFAE=DE，AF=DFAE=DE=DF=AF即四边形AEDF是菱形故正确当AB与AC不相等时，点D不是BC的中点，则DE与AC不平行，从而四边形AEDF不是平行四边形，故不是矩形故错误故答案为：【点拨】本题考查了三角形中位线定理，菱形的判定，折叠的性质等知识，由题意得到E、F分别是中点是解题的关键22【分析】根据折叠的性质得CF=EF，DFBC，代入相关数据可得CF=5，BC=7，由菱形的性质得DC=7，最后根据勾股定理可得DF的长解：由折叠得，CF=EF，DFBC，BE=3，BF=2EF=BE+BF=3

32、+2=5CF=5BC=BF+FC=2+5=7四边形ABCD是菱形DC=BC=7在RtDFC中， 故答案为：【点拨】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质以及勾股定理等知识，根据折叠的性质得到CF=EF，DFBC是解答本题的关键23 90 2.8【分析】（1）由折叠得，再根据平角的定义可得结论；（2）首先证明B、G、D在同一条直线上，再运用勾股定理列方程求解即可解：解由折叠得，即故答案为：90；（2）四边形ABCD是菱形ADBC，DCAB， A=120 点E为AB的中点，且AB=2点A与点G重合， 点B与点H重合 又点G与点H重合三点在同一条直线上过点D作，交BC的延长线于点O，如图，DCAB 在

33、中，由折叠得，设，则，在中，解得，故答案为2.8【点拨】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键24#【分析】根据菱形性质和，可得，过点作于点，于点，过点于点，得矩形，然后利用含度角的直角三角形可得，得，再利用勾股定理即可解决问题解：在菱形中，如图，过点作于点，于点，过点于点，得矩形，如图所示：，由翻折可知：，解得，在中，在中，根据勾股定理，得：，解得，故答案为：【点拨】本题考查勾股定理求线段长，涉及到翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键25#【分析】如图所

34、示：在AB上取点F，使AF=AF，过点D作DHAB，垂足为H因为EF+DE=EF+DE，推出当D、E、F共线，且点F与H重合时，FE+DE的值最小解：菱形ABCD中，AC=4，BD=2，AO=OC=2，BO=OD=1，AD=AB=，如图所示：在AB上取点F，使AF=AF，过点D作DHAB，垂足为HSABD=AOBD=ABDH，DH=，EF+DE=EF+DE，当D、E、F共线，且点F与H重合时，FE+DE的值最小，最小值为，故答案为：【点拨】本题主要考查的是菱形的性质，轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称解决最短问题26【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性

35、质和勾股定理可得DO=3，当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，再证明得DN=BM，由勾股定理求出DN的长即可解：连接BD交AC于点O，如图，四边形ABCD是菱形，AC=8 又 在RtAOB中， DO=5当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，MN=1 在RtDON中， 在RtDON和RtBOM中， DN=BM 的最小值为故答案为【点拨】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，灵活运用菱形的性质和勾股定理求出BN=是解答本题的关键27【分析】连接AC，CE，则CE的长即为AP+PE的最小值，再根据菱形ABCD中，得出ABC的度数，进而判断出ABC是等边三角形，故BCE

36、是直角三角形，根据勾股定理即可得出CE的长解：连接AC，CE，四边形ABCD是菱形，A、C关于直线BD对称，CE的长即为AP+PE的最小值，ABC是等边三角形，E是AB的中点，故答案为：【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键281【分析】取OB中点E，连接PE，作射线FE交AC于点P则PEPE，当P与P重合，P、E、F三点在同一直线上时，PFPE有最大值，即为FE的长解：如图，取OB中点E，连接PE，作射线FE交AC于点P则PEPE，PFPEPFPEFE，当P与P重合，P、E、F三点在同一直线上时，PFPE有最大值，即为FE的长，在菱形ABCD

37、中，ABC120，ABD60，DAB60，ABD为等边三角形ABBDAD4ODOB2点E为OB的中点，EB1，AF3BF，BFAB1，ABD60，BEF为等边三角形，EFFB1故PFPE的最大值为1故答案为：1【点拨】本题考查了轴对称最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键29【分析】首先由菱形的性质可知，由旋转的性质可知：，从而可证明为直角三角形，然后由勾股定理即可求得的长度解：如图所示：四边形ABCD为菱形，由旋转的性质可知：，在中，故答案为：【点拨】本题主要考查的是旋转的性质和菱形的性质以及勾股定理的应用，证得为直角三角形是解题的关

38、键3045ABM，得到3-9090-，45，根据APM90，得到3-9090，60，得到45ABM，ABM=CDM，3-9090-，45，APM90，3-9090，60，4560故答案为4560【点拨】本题考查了菱形的性质，三角形外角性质，直角三角形的角的性质，熟练掌握菱形的边、角、对角线的性质，三角形外角大于不相邻任一个内角，直角三角形中锐角小于直角的性质，是解决问题的关键31【分析】由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD即可判断；利用SAS即可判定ABECBF；由全等三角形的性质可知BE=BF，ABE=CBF，再结合ABC=ABE+EBC=60，即可求出EBF=60，即证明BEF

39、为等边三角形；由CFB=CFG+BFG，CGE=CFG+FCG即可判断解：由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABCD为菱形故正确在ABE和CBF中，ABECBF（SAS），故正确；ABECBF，BE=BF，ABE=CBF，ABC=ABE+EBC=60，CBF+EBC=60，即EBF=60，BEF为等边三角形，故正确；CFB=CFG+BFG，CGE=CFG+FCG，FCG=BFG=60，CFB=CGE，故正确；综上，都正确，故答案为：【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，熟练掌握这些知识并利用数形结合

40、的思想解题的关键32或#或【分析】分当D落在x轴正半轴时和当D落在x轴负半轴时，两种情况讨论求解即可解：如图1所示，当D落在x轴正半轴时，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AODO，当D落在x轴正半轴时，A点在y轴正半轴，同理可得A、B、C三点均在坐标轴上，且点C在y轴负半轴，BAD=60，OAD=30，点C的坐标为（0，）；如图2所示，当D落在x轴负半轴时，同理可得，点C的坐标为（0，）；综上所述，点C的坐标为（0，）或（0，），故答案为：（0，）或（0，）【点拨】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键33(1)AOC的面

41、积=3(2)(3)存在，【分析】（1）由yx+3可求得A（0，3），联立yx得C（2，2），根据三角形的面积公式即可得AOC的面积；（2）设点P的坐标为（m，m），由题意得CPt，根据两点的距离公式可得mt2，根据三角形的面积公式得出SOAPE，根据t的取值范围即可求解；（3）分两种情况：当OA为菱形的边时，当OA为菱形的对角线时，分别根据菱形的性质即可求得答案(1)解：把x=0代入中，y=3， 点A的坐标为（0，3），即OA =3联立解得点C的坐标为（-2，2）AOC的面积；(2)解：如图，过点C作CFy轴于点F，过点P作PEy轴于点E点C的坐标为（-2，2），AOC =45由题意，得CP

42、=t当时，；同理可得当时，综上，(3)解：A（0，3），AO3，当OA为菱形的边时，如图，四边形AOMN是菱形，MNOA，MNOAOM3，直线OC：yx，MOB45，M（，），N（，+3）；同理N（，3）；当OA为菱形边时，如图 此时菱形AMNO是正方形，OA=ON，点N的坐标为（-3，0）；当OA为菱形的对角线时，如图，连接MN，四边形AOMN是菱形，MNOA，MN、OA互相平分，MNx轴，点M、N的纵坐标为，直线OC：yx，M是直线OC上一点，M（，），N（，），综上所述，存在点N，使以A，O，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（，+3）或（，3）或（，）或（-3，0）【点拨】本题是

43、一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，菱形的性质等，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题34（1）5；（2）；（3）见分析；3x5.【分析】（1）由于矩形对折，于是EF=AD=5；（2）根据折叠的性质得到DC=AB=3，AF=AD=5，在RtACF中利用勾股定理可计算出AC=4，设AE=t，则BE=3-t，EA=t，在RtEBA中，利用勾股定理得（3-t）2+12=t2，解得t=，然后在RtAEF中，利用勾股定理即可计算出EF； （3）根据折叠的性质得到EA=EA，FA=FA，AEF=AEF，根据平行线的性质可得AEF=AFE，则有AFE=AEF，于是AE=AF，易

44、得AE=EA=AF=FA，根据菱形的判定即可得到结论； 当折痕FE过B点时，四边形AEAF是正方形，BA最小，此时BA=BA=3；当点A的对应点A落在C点时，BA=5，于是得到x的取值范围是3x5，四边形AEAF是菱形.解：（1）当A与B重合时，如图1，把矩形对折，所以EF=AD=5 故答案为：5； （2）如图2，DC=AB=3，AF=AD=5， 在RtACF中，AC= ， 设AE=t，则BE=3-t，EA=t， 在RtEBA中，BA=BC-AC=5-4=1， BE2+BA2=EA2， （3-t）2+12=t2，解得t=， 在RtAEF中，AE=，AF=5， EF=； （3）如图4，AEF沿E

45、F折叠到AEF， EA=EA，FA=FA，AEF=AEF， 四边形ABCD为矩形， AFEC， AEF=AFE， AFE=AEF， AE=AF， AE=EA=AF=FA， 四边形AEAF是菱形； 当折痕FE过B点时，四边形AEAF是正方形，BA最小，此时BA=BA=3；当点A的对应点A落在C点时，BA=5，于是得到x的取值范围是3x5，四边形AEAF是菱形，故答案为：3x5.【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，折痕垂直平分对应点的连线段也考查了矩形的性质、勾股定理以及菱形的判定与性质35(1)AFC+30 (2)证明见分析 (3)【分析】（1）利用菱形的性质结合已知得出，ECFA

46、CG120，DACBAC30，求得AGC的度数即可得出结果；（2）作CHAG于点H，由（1）可知BACDACAGC30，得出CACG，进而得出HGAG，由“ASA”证得ACEGCF，得出AEFG，再得出HGCG，则AGCG，即可得出结果；（3）连接BD，作BJAD于J，当B、M、J在同一条直线上时，BM+MJ的值最小；证出ABD是等边三角形，BJ是AD边上的中线，求出AJDJAB2，再由直角三角形的性质得出MJAM，由勾股定理求出BJ即可(1)解：由题意可知，ECFACG120，FCGACE，四边形ABCD是菱形，DAB60，DACBAC30，AGC180ACGGAC1801203030，AF

47、C+30；(2)证明：用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系为：AE+AFCG，理由如下：作CHAG于点H，如图1所示：由（1）可知BACDACAGC30，CACG，HGAG，在ACE和GCF中，ACEGCF（ASA），AEFG，在RtHCG中，HGCG，AGCG，即AGCG，AGAF+FGAF+AE，AF+AECG；(3)解：连接BD，作BJAD于J，如图2所示：当B、M、J在同一条直线上时，BM+MJ的值最小；四边形ABCD是菱形，DAB60，ABD是等边三角形，BJ是AD边上的中线，AJDJAB2，DAC30，MJAM，BM+AM的最小值BJ2，故答案为：2【点拨】本题考查了菱形的

48、性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练运用以上知识是解题的关键36(1)，理由见分析 (2)成立，理由见分析 (3)，理由见分析【分析】（1）只需要利用SAS证明BAEDAG即可得到BE=DG；（2）同（1）求解即可；（3）如图，延长与的延长线交于点，证明，得到，则再证明即可得到(1)解：，理由如下：四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，AB=AD，AE=AG，又BAE=DAG，BAEDAG（SAS），BE=DG；(2)解：（1）中结论成立，理由如下：证明：四边形和四边形是菱形，在和中，(3)解：，理由如下：理由如下：如图，延长与的延长线交于点四边形和四边形是菱形，菱形和菱形是正方形，在和中，在中，【点拨】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知菱形的性质和全等三角形的性质与判定是解题的关键