专题10 【五年中考 一年模拟】二次函数压轴题-备战2023年广东中考数学真题模拟题分类汇编（解析版）.docx

1、专题10 二次函数压轴题1（2022广东）如图，抛物线，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，点为线段上的动点，过作交于点（1）求该抛物线的解析式；（2）求面积的最大值，并求此时点坐标【答案】（1）；（2）面积的最大值为2，此时点坐标为【详解】（1）抛物线，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，解得，抛物线的解析式为；（2）过作轴于，过作轴于，设，则，即，当时有最大值2，面积的最大值为2，此时点坐标为2（2021广东）已知二次函数的图象过点，且对任意实数，都有（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与轴的正半轴交点为，与轴交点为；点是（1）中二次函数图象上的动点问在轴上是否存在点，使得

2、以、为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）点坐标为或或，或，【详解】（1）不妨令，解得：，当时，必过，又过，解得：，又，整理得：，且，该二次函数解析式为（2）存在，理由如下：令中，得，则点坐标为；令，得，则点坐标为设点坐标为，根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得：当为对角线时，即，解得：（舍去），即当为对角线时，即，解得：（舍去），即当为对角线时，即，解得：，或，综上所述，点坐标为或或，或，3（2020广东）如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，（1）求，的值

3、；（2）求直线的函数解析式；（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标【答案】（1），；（2）直线的函数解析式为；（3）满足条件的点的坐标为，或，或，或，【详解】（1），点，点，抛物线解析式为：，；（2）如图1，过点作于，点横坐标为，点坐标为，设直线的函数解析式为：，由题意可得：，解得：，直线的函数解析式为；（3）点，点，点，对称轴为直线，直线与轴交于点，点，如图2，过点作于，如图，设对称轴与轴的交点为，即点，若，当，点，；当，点，；若，当，点，；当，点，；综上所述：满足条件的点的坐标为，或，或，或，4（2019广东）如图1，在平面直角坐标系中

4、，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点，点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接（1）求点、的坐标；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）如图2，过顶点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与相似（不含全等）求出一个满足以上条件的点的横坐标；直接回答这样的点共有几个？【答案】（1），；（2）见解析；（3）点的横坐标为或或；3个【详解】（1）令，解得，由得，；（2）证明：轴于点，是等边三角形，绕点顺时针旋转得到，四边形是平行四边形；（3）点是抛物线上一动点，设点，当点在点的左侧时，与相似，或，或，解得：（不合题意舍去），或（不合题意舍去）

5、；当点在点的右侧时，与相似，或，或，解得：（不合题意舍去），（不合题意舍去）或（不合题意舍去），（不合题意舍去）；当点在之间时，与相似，或，或，解得：（不合题意舍去），（不合题意舍去）或（不合题意舍去），；综上所述，点的横坐标为或或；由得，这样的点共有3个5（2018广东）如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）的坐标为，或，【详解】（1）将代入，可得：；（2）将代入得：，所以点的坐标为，将、代入中，可得：，解得：，所以二次函数的解析式为：；

6、（3）存在，分以下两种情况：若在上方，设交轴于点，则，设为，代入，可得：，联立两个方程可得：，解得：，所以，；若在下方，设交轴于点，则，设为，代入，可得：，联立两个方程可得：，解得：，所以，综上所述的坐标为，或，6（2022东莞市一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点与轴交于点且点的坐标为，点的坐标为（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲若点是第一象限内抛物线上的一动点当点到直线的距离最大时，求点的坐标；（3）图（乙中，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使得以，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为；

7、（2）时，最大，即点到直线的距离最大，此时，；（3）的坐标为：或或【详解】（1）将的坐标，点的坐代入得：，解得，抛物线的解析式为；（2）过作轴于，交于，过作于，如图：在中，令得，解得或，是等腰直角三角形，轴，是等腰直角三角形，当最大时，最大，设直线解析式为，将代入得，直线解析式为，设，则，当时，最大为，时，最大，即点到直线的距离最大，此时，；（3）存在，理由如下：抛物线对称轴为直线，设，而，以、为对角线，则、的中点重合，如图：，解得，以、为对角线，则、的中点重合，如图：，解得，以、为对角线，则、中点重合，如图：，解得，；综上所述，的坐标为：或或7（2022东莞市校级一模）如图，点，分别在轴和轴

8、的正半轴上，的长分别为的两个根，点在轴的负半轴上，且，连接（1）求过，三点的抛物线的函数解析式；（2）点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动到点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点，连接，当点到达点时，点停止运动，求的最大值；（3）是抛物线上一点，是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）过，三点的抛物线的函数解析式为；（2）当时，有最大值，最大值为；（3）或【详解】（1）由得或，又，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的函数解析式为，将点，的坐标代入中，得，解得，过，三点的抛物线的函数解析式为；（2），由题意得，当时，有最大值，最大值

9、为；（3）存在，如图，当点在上方时，过点作轴于点，作轴于点，连接，设点的坐标为，则，在中，四边形是矩形，即，解得（舍去），点的坐标为，如图，当点在下方时，过点作轴于点，设与轴交于点，连接，设点的坐标为，则，在中，在中，解得（舍去），点的坐标为，综上所述，存在点，使得，且点的坐标为或8（2022东莞市一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，且（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点是线段（不与，重合）上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当和相似时，求此时点的坐标；（3）若点是直线（不与，重合）上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，将沿对折，如果点的对应点恰好落

10、在轴上，求此时点的坐标；【答案】（1）抛物线解析式为：；（2），或，；（3），或，【详解】（1）在中，令，得：，解得：，抛物线解析式为：；（2）设直线解析式为，解得：，直线解析式为：，设点坐标为，轴，若和相似，分两种情况：当，即，解得：，；当，即，解得：，；综上所述，点的坐标为，或，；（3）设点坐标为，当点在的上方时，由（2）知，沿对折，点的对应点恰好落在轴上，轴，整理得：，解得：（舍去），当时，当点在点下方时，同理可得，解得（舍去），综上所述，点的坐标为，或，9（2022东莞市一模）如图，已知直线与抛物线相交于点、点，点在轴上，且对于任意实数，不等式恒成立（1）求该抛物线及直线的解析式；（2

11、）点为该抛物线上的一点，过点作轴于点，过点作轴于点，当以点、为顶点的三角形与相似，直接写出满足条件的全部点的横坐标，并选取其中两种情况写出解答过程；（3）试问，在抛物线上是否存在点，使得的面积等于的面积的2倍？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析为：，直线的解析式为：；（2）见解析；（3）使得的面积等于的面积的2倍的点的坐标为，或，【详解】（1）由题意可知，抛物线，不等式恒成立，当时，解得，抛物线的解析为：当，则，解得即，令，则，解得或；，将，代入，解得直线的解析式为：（2）轴，设点的横坐标为，则，若与相似，则或，或，解得或或或综上，当以点、为顶点的三

12、角形与相似时，点的横坐标为1或或或（3）存在，理由如下：如图，作点关于点的对称点，的面积等于的面积的2倍，过点作的平行线，与抛物线的交点即为点，直线的解析式为：，令，解得或，或，作直线关于直线的对称直线，则直线的解析式为：，令，无解综上，使得的面积等于的面积的2倍的点的坐标为，或，10（2022东莞市校级一模）函数图象交轴于，两点（点在左侧）、交轴交于点已知：，点的坐标为，（1）求抛物线解析式；（2）抛物线上点在第一象限，当时，求点的坐标；（3）抛物线上的点在第一象限内，过点作直线轴于点，当时，直接写出点的坐标；若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，为顶点的四边形是平行四边形？若

13、存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2），；（3）存在，或或【详解】（1）点的坐标为，令，则，点在左侧，将点代入，得，；（2）如图1，点在的角平分线上，设交轴于点，过点作于点，解得，设直线的解析式为，联立方程组，解得（舍或，；（3）存在以点，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设，则，点在第一象限内，解得或（舍，函数的对称轴为直线，设，点横坐标为1，当、为平行四边形的对角线时，；当、为平行四边形的对角线时，；当、为平行四边形的对角线时，；综上所述：点的坐标为或或11（2022东莞市一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知，两点坐标分别是，连接，（1

14、）求抛物线的表达式和所在直线的表达式；（2）将沿所在直线折叠，得到，点的对应点是否落在抛物线的对称轴上，若点在对称轴上，请求出点的坐标；若点不在对称轴上，请说明理由；（3）点是抛物线图象上的一动点，当时，直接写出点的坐标【答案】（1）抛物线的表达式为，直线的表达式为；（2）见解析；（3）或，【详解】（1）抛物线经过，两点，解得：，抛物线的表达式为，设直线的表达式为，则，解得：，直线的表达式为；（2）点不在抛物线的对称轴上，理由是：抛物线的表达式为，点坐标为，又，将沿所在直线折叠，点一定落在直线上，延长至，使，过点作轴交轴于点，如图1又，则点横坐标为，抛物线的对称轴为直线故点不在抛物线的对称轴上

15、（3）当点在轴下方时，如图2，点的纵坐标为，令，得，解得：（舍去）或，；当点在轴上方时，如图2，设交轴于点，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，联立方程组得，解得：，综上所述，点的坐标为或，12（2022东莞市校级一模）如图1，过原点的抛物线的顶点坐标为，与轴的另一交点记为，在轴上有一定点，抛物线上有一动点在、之间运动，过点且平行于轴的直线交于点，交于点，的延长线交轴于点（1）求抛物线的解析式（2）连接，当时，求点的坐标（3）如图2，在第（2）问的条件下，抛物线上有一动点在、之间运动，过点且平行于轴的直线把分割为两部分，当这两部分的面积比为时，直接

16、写出点的纵坐标【答案】（1）；（2）；（3）或2【详解】（1）抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，该抛物线经过原点，解得：，故该抛物线的解析式为（2）设直线的解析式为，把代入得：，解得：，直线的解析式为，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，直线的解析式为，由，解得：（舍去），（3）过点作轴，交于点，直线的解析式为，设，且，当时，设过点且平行于轴的直线交于点，交于点，如图2，直线的解析式为，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，过点且平行于轴的直线把分割为两部分的面积比为，；当时，设过点且平行于轴的直线交于点，交于点，如图3，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，过点且平

17、行于轴的直线把分割为两部分的面积比为，即，解得：或2，；综上所述，点的纵坐标为或213（2022东莞市一模）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为（1）求这个二次函数的表达式：（2）如图，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；（3）如图，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，当的面积为12时，求点的坐标【答案】（1）；（2）或；（3）或【详解】（1）将，代入，得，解得，二次函数的解析式为；（2）如图1，图2，连接，由点在线段的垂直平分线上，得设，由勾股定理可得：解得满足条件的点的坐标为或；（3）如图3，设交抛物线的对称轴于点，设点，则

18、点，设直线的解析式为，则，解得，于是，当时，解得或，当时，当时，综合以上可得，满足条件的点的坐标为或14（2022中山市一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为点为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为，直线交轴于点，过点作交轴于点，轴，交直线于点，交直线于点（1）求直线的表达式及点的坐标；（2）当时，求的值；（3）试探究点在运动过程中，是否存在，使四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）求直线的表达式为，点；（2）或；（3）存在，或，【详解】（1），当时，解得，点在点的左侧，即，设直线的函数表达式为直线过点，则，解得，当时，故；（2）如图

19、，过点作轴于点，交于点点的横坐标为，轴，当时，即，当时，点在抛物线对称轴的右侧，；当时，点在抛物线对称轴的右侧，综上所述，或；（3）存在，理由：当点在轴上方时，设点，则点的坐标为，把点的坐标代入的表达式得：，解得，故点的坐标为，则，由直线的表达式知，则，则，四边形是菱形，则，即，解得（舍去）或，故点的坐标为，；当点在轴下方时，同理可得，点的坐标为，综上，点的坐标为，或，15（2022中山市二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴相交于点，直线经过点，（1）求抛物线和直线函数解析式；（2）若点是轴左侧抛物线上一点，且，求点的坐标；（3）在抛物线对称轴上是否存在一点，使线段绕点逆时针旋转得到线段且刚

20、好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；（2），；（3）存在，或，【详解】（1）将，代入，得，解得，抛物线的解析式为，当时，将，代入，得，解得，直线的解析式为（2）如图1，作直线交于点，垂直平分，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，由解得，（不符合题意，舍去），（3）存在，如图2，该抛物线的对称轴为直线，设直线交轴于点，作于点，则，设点，则点，点，在抛物线上，解得，当点在直线左侧，如图2，则，；当点在直线右侧，如图3，则，综上所述，点的坐标为，或，16（2022中山市模拟）如图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，

21、三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为，每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶到轴距离从点处向右上方沿抛物线发出一个带光的点（1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上；（2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为11，求抛物线的解析式；（3）线段与两抛物线、的顶点所在的直线垂直，点在轴上，垂足为；若要保证（2）中沿抛物线下落的点能落在线段（包括端点）上，求线段的最小值【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）图形如图所示，由题意台阶左边的端点坐标，右边的端点，对于抛物线，令，解得或6，点的横坐标为，当时，当时，当时，解得或5，

22、抛物线与台阶有交点，设交点为，点会落在台阶上；（2）由题意抛物线，经过，最高点的纵坐标为11，解得或（舍弃），抛物线的解析式为；（3）抛物线，抛物线顶点坐标为，抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，设过点，的直线解析式为，则，解得：，过点，的直线解析式为，设直线与轴、轴分别相交于点，则，如图所示：对于抛物线，令，得到，解得，抛物线交轴的正半轴于，当点与，重合时，线段最小，17（2022中山市一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线、线段以及轴于点，（1）求抛物线的表达式；（2）连接

23、，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标；（3）作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值【答案】（1）；（2），；（3）【详解】（1）将点、的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）点、，轴，只有当时，此时，即：，设点的纵坐标为，则，将点坐标代入二次函数表达式并解得：或（舍去，则点，；（3）在中，轴，而，即当取得最大值时，最大，将、坐标代入一次函数表达式并解得：直线的表达式为：，设点，则点，则，当时，的最大值为4，故当时，18（2022中山市校级一模）如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点和点（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点，使得的周长最

24、小请求出点的坐标（3）在（2）的条件下，在轴上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标【答案】（1）；（2）；（3）或，或，或【详解】（1）根据题意，得，解得，二次函数的表达式为；（2）令，得二次函数的图象与轴的另一个交点坐标；由于是对称轴上一点，连接，由于，要使的周长最小，只要最小；由于点与点关于对称轴对称，连接交对称轴于点，则，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为；因而与对称轴的交点就是所求的点；设直线的解析式为，根据题意可得解得所以直线的解析式为；因此直线与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得，所求的点的坐标为；（3）或，或，或19（2022中山市三模）如图1，在平面直

25、角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点点是的外心，作直线交抛物线于另一点（1）求抛物线的函数表达式（2）求点及点的坐标（3）如图2，点是抛物线上的一个动点（不与、重合），作直线轴于，交直线于，直线交轴于，连接，是否存在点，使与相似？若存在，直接写出的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2），；（3）存在，或或，或，【详解】（1）将，代入得：，解得，抛物线的函数表达式为；（2）由得，点是的外心，在的垂直平分线上，的横坐标为，设，解得，设直线解析式为，将代入得：，解得，直线解析式为，解得或，；（3）存在点，使与相似，理由如下：由得，设，则，要使与相似，只需或，即或，当时，解得或（与重合，

26、舍去）或（增根，舍去），；当时，解得或（与重合，舍去）或（增根，舍去），；当时，解得或（与重合，舍去）或（增根，舍去），当时，解得或（与重合，舍去）或（增根，舍去），综上所述，的坐标为或或，或，20（2022中山市三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点，过的直线交轴于点，交抛物线于，且（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线第四象限的图象上找一点，使得的面积最大，求出点的坐标；（3）点是线段上的一点，求的最小值，并求出此时点的坐标【答案】（1）；（2）当时，即，时的面积最大；（3）的最小值，此时【详解】（1）抛物线与轴交于、两点，抛物线的对称轴为直线，点，解得抛物

27、线的解析式为（2），即直线的解析式为：如图，过点作轴，交于点，设，则，当时，即，时的面积最大（3）如图，过点作轴，过点作轴，过作于点，轴，的最小值为令，解得（舍或，的最小值，此时21（2022珠海二模）如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上时，那么我们称抛物线与 “互为关联”的抛物线如图1，已知抛物线与是“互为关联”的抛物线，点，分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点（1）直接写出，的坐标和抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使得是直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点在抛物线上，点，分别是抛物线，上的动点，且点，的横坐标相同，记面积为（

28、当点与点，重合时，的面积为（当点与点，重合时，令，观察图象，当时，写出的取值范围，并求出在此范围内的最大值【答案】（1），；抛物线的解析式为；（2）或；（3）见解析【详解】由抛物线可得，将，代入得，解得，；（2）易得直线的解析式：，若为直角顶点，直线解析式为联立，解得，或，；若为直角顶点，同理得解析式：，联立，解得，或，；若为直角顶点，设由得，即，或，或（无解）解得或（不符合题意舍去），点的坐标或；（3），设，且，易求直线的解析式：，过作轴的平行线交于，则，设交于点，易知，当时，的最大值为1622（2022香洲区校级一模）已知抛物线与轴相交于不同的两点、（1）求的取值范围；（2）证明该抛物线一

29、定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；（3）当时，由（2）求出的点和点，构成的的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的值【答案】（1）且；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）解：抛物线与轴相交于不同的两点、，二次项系数是，的取值范围为且；（2）证明：抛物线，抛物线过定点，过此定点时，与无关，显然当时，与无关，解得或，当时，定点坐标为；当时，定点坐标为，不在坐标轴上，；（3）解：，最大时，解得，或（舍去），当时，有最大值，此时的面积最大，没有最小值，则面积最大为：故当时，面积取最大值为23（2022香洲区校级一模）已知抛物线经过点，交轴于，两点在左边），交轴于点对于任意实数，不等式恒成

30、立（1）抛物线解析式；（2）在上方的抛物线对称轴上是否存在点，使得，若有求出点的坐标，若没有，请说明理由；（3）将抛物线沿轴正方向平移一个单位把得到的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折，图的其余部分保持不变，得到一个新的图象，若直线与新图象有四个交点，求的取值范围（直接写出结果即可）【答案】（1）；（2）；（3）时，直线与新图象有四个交点【详解】（1）由题意可知点是抛物线的顶点，解得或，；（2）存在点，使得，理由如下：，抛物线的对称轴为直线，设，作的垂直平分线与对称轴的交点为，、在以为圆心为半径的圆上，；（3）如图2，平移后的抛物线解析式为，抛物线与轴对称轴的抛物线解析式为，图象与轴的交点为，当直

31、线经过时，当，时，时，直线与新图象有四个交点24（2022珠海一模）如图1，抛物线，点对称轴是直线顶点为抛物线与轴交于点，连接，过点作轴于点，点是线段上的动点（点不与、两点重合）（1）求抛物线的函数解析式和顶点的坐标；（2）若直线将四边形分成面积比为的两个四边形，求点的坐标；（3）如图2，连接，作矩形，在点的运动过程中，是否存在点落在轴上的同时点也恰好落在抛物线上？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的函数表达式为：，顶点的坐标为；（2），或，；（3）存在，【详解】（1）抛物线经过点，对称轴是直线，解得，抛物线的函数表达式为：，顶点的坐标为；（2），时，则点的坐标为，

32、四边形是矩形设点的坐标为，直线的函数表达式为：，直线交轴于点，如图1所示：则，解得，直线的函数表达式为：令，则，点的坐标为直线将四边形分成面积比为的两部分，点在线段上，点不与点重合，分两种情况：，即，解得点的坐标为：，；，即，解得点的坐标为：，；综上所述，点的坐标为：，或，；存在点落在轴上的同时点恰好落在抛物线上，理由如下：由题意得：满足条件的矩形在直线的下方，过点作于，则，如图2所示：设点的坐标为，则，四边形与四边形都是矩形，在和中，即，即，整理，得，解得或0当时，点与点重合，舍去，当点落在轴上的同时点恰好落在抛物线上，此时的长为25（2022香洲区校级一模）已知，抛物线经过、三点，点是抛物

33、线上一点（1）求抛物线的解析式；（2）当点位于第四象限时，连接，若，求直线的解析式；（3）如图2，当点位于第二象限时，过点作直线，分别交轴于，两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）见解析【详解】（1）将、代入，；（2）过点作交于点，过点作轴交于点，、，设直线的解析式为，直线的解析式为；（3）的值是为定值，理由如下：设，设直线的解析式为，设直线的解析式为，的值是为定值26（2022香洲区校级一模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，且与轴交于点，连接（1）求，的值（2）点为线段上一动点（不与点，重合），过点作直线，交于点，连接，

34、设，的面积为求关于的函数关系式，并求出的最大值（3）若点在抛物线的对称轴上运动，点在轴运动，当以点，为顶点的三角形为等腰直角三角形时，称这样的点为“美丽点”请直接写出“美丽点” 的坐标【答案】（1）；（2），；当时，的最大值为；（3），或，或，或，【详解】（1）令，则，解得，令，则，将点，代入，解得；（2）由（1）可得，令，则，解得或，即，；，当时，的最大值为；（3），抛物线的对称轴为直线，设，如图1，当，点在轴负半轴时，过点作轴交轴于点，过点作交于，；如图2，当，点在轴正半轴时，过点作轴交于点，过点作交于点，；如图3，当，点在轴的负半轴上是，过点作轴，过点作交于，过点作交于，；如图4，当，点

35、在轴的正半轴上是，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，；综上所述；点坐标为，或，或，或，27（2022香洲区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点若线段、的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线如图，抛物线为“黄金”抛物线，其与轴交点为，（其中在的右侧），与轴交于点，且（1）求抛物线的解析式；（2）若为上方抛物线上的动点，过点作，垂足为求的最大值；连接，当与相似时，求点的坐标【答案】（1）；（2）；或者【详解】（1）由题意得，；（2）如图1，作于交于，可得的关系式是：，设点，当时，；如图2，当时，点与点关于抛物线对称轴对称，如图3，当时，作于，交于

36、，由知：，当时，综上所述，符合条件的的坐标或者28（2022香洲区校级一模）如图，四边形顶点坐标分别为，抛物线经过，三点（1）请写出四边形是哪种特殊的平行四边形；（2）求抛物线的解析式；（3）绕平面内一点顺时针旋转得到，即点，的对应点分别为，若恰好两个顶点落在抛物线上，求此时的坐标【答案】（1）平行四边形是矩形；（2）；（3），或，【详解】（1），平行四边形是矩形；（2）设，将，代入，解得，；（3）如图1，当，在抛物线上时，抛物线的对称轴为直线，的横坐标为，；如图2，当，在抛物线上时，设，则，解得，；综上所述：点的坐标为，或，29（2022香洲区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于

37、、两点（点在点左侧），交轴于点，一次函数与抛物线交于、两点，已知（1）求点的坐标；（2）点是抛物线的顶点，连接是抛物线上、两点之间的任意一点，过点作交于点，连接、求四边形面积的最大值及相应的点的坐标；（3）连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点是原抛物线对称轴上一点，是平面内任意一点，、四点能否构成以为边的菱形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由【答案】（1）；（2）当时，有最大值，此时；（3）存在，或，或，【详解】（1）当时，解得或，如图，设与轴交于点，则，将，的坐标代入直线，解得，直线的解析式为：，令，解得或（舍，（2）如图，连接，过点作轴交

38、于点，设，则，当时，有最大值，此时（3）存在，理由如下：当时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即先右平移5个单位，再向上平移10个单位，点是原抛物线的顶点，原抛物线的对称轴为直线，设点经过平移后移到点，平移后的抛物线，令，解得，当以点、以为边的菱形，需要分两种情况：当时，如图：，设，解得，点到先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到，先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到，当时，如图：设，解得，点和的中点为，和的中点也为，综上所述，点的坐标为：，或，或，30（2022澄海区模拟）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，点坐标为，对称轴

39、为点为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点作轴，交抛物线于点，交于点（1）求抛物线及直线的表达式；（2）过点作，垂足为点求线段的最大值；（3）试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线解析式为，直线的解析式为；（2）当时，的最大值为；（3）存在，或，或，【详解】（1）抛物线对称轴为，点与关于直线对称，设，把代入得：，解得：，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，故抛物线解析式为，直线的解析式为；（2）设，则，轴，轴，当时，的最大值为；（3）存在，设，以，为顶点的三角形是等腰三角形，或或，当时，解得：（舍去）或，；当时，解得：（舍去）或，；当时，解得：，；综上所述，点的坐标为或，或，