专题10 利用二次函数性质求线段最值-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）（解析版）.docx

1、专题10 利用二次函数性质求线段最值方法点拨：二次函数当时，时，函数有最小值；当时，时，函数有最大值。1（2021重庆万州九年级期末）如图，抛物线与x轴相交于点和点B，交y轴于点C，点P是抛物线上第一象限内的一动点（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作轴交于点D，求线段长度的最大值；（3）若Q为坐标平面内一点，在（2）的条件下，是否存在点Q，使得以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）（0，）或（0，）或（3，）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点P（x，-x2+2x+3），则点

2、D（x，-x+3）（0x3），则PD，即可求解；（3）分别得到P，D，C的坐标，分PD为平行四边形的边和对角线，根据平行四边形的性质可得坐标【详解】解：（1）A（-1，0），则OA=1，又CO=3AO，OC=3，C（0，3），把A，C两点的坐标代入y=-x2+bx+c得，解得：，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）由-x2+2x+3=0得点B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B（3，0），C（0，3）代入得，解得：，直线BC的解析式为y=-x+3，设点P（x，-x2+2x+3），则点D（x，-x+3）（0x3），PD（-x2+2x+3）-（-x+3）-x2+3x，当x时

3、，PD有最大值；（3）由（2）可得：将x=分别代入y=-x+3和y=-x2+2x+3中，得y=，y=，D（，），P（，），又C（0，3），以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，如图，若PD为平行四边形的边，则四边形PDCQ2和四边形PCQ1D为平行四边形，PD=CQ2=CQ1，PDCQ2CQ1，可得Q1（0，），Q2（0，）；若PD为平行四边形的对角线，则四边形PCQ3D为平行四边形，则CP=DQ3，CPDQ3，则Q3（3，），综上：点Q的坐标为（0，）或（0，）或（3，）【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，有一定的综合性，难度适中2（2021安徽

4、合肥市九年级月考）如图，抛物线yx2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点D为抛物线上一个动点（不与B，C重合）（1）求直线l的表达式；（2）如图，当点D在直线l上方的抛物线上时，过D点作DEx轴交直线l于点E，设点D的横坐标为m当点D运动到使得点E与点C重合时，求点D的坐标；求线段DE的长（用含m的代数式表示），并求出线段DE的最大值【答案】（1）；（2）；，8【分析】（1）根据抛物线的解析式，分别令即可求得的坐标，进而根据待定系数法求得直线的解析式；（2）根据题意DEx，则的纵坐标为，根据是二次函数上的点即可求得的横坐标；根据是直线上的点

5、，结合（1）的结论，根据的横坐标，表示出的纵坐标，进而根据DEx轴，即可求得的纵坐标，根据的解析式即可求得横坐标，由的长等于的横坐标减去的横坐标即可求得的长，进而根据配方法即可求得最大值【详解】（1）由，令，则，即令，则，即解得点A在点B的左侧，设直线的解析式为：，将，代入得，解得设直线的解析式为：，（2） DEx轴，当点D运动到使得点E与点C重合时，的纵坐标为，由，令，则解得点D的横坐标为m，则 DEx轴，点的纵坐标为，点在直线：上，此时点的横坐标为：则线段DE的长为线段DE的最大值为【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与坐标轴的交点问题，求一次函数的解析式，求二次函数最值问题

6、，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键3（2021山东济阳区九年级月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限当M点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点M的坐标；过点M作轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值【答案】（1）抛物线的对称轴是直线x1，k4；（2）P（1，2）；（3）的最大面积为8，点M的坐标为（1，4）；线段PM长度的最大值为【分析】（1）直接将C点坐标代入函数关系式，进而得出k的值即可；（2）如图，连接A

7、C交对称轴于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法可求出直线AC的解析式，进一步即可求出点P的坐标；（3）表示出M点坐标，进而表示出AMB的面积，然后利用二次函数的性质即可得出答案；表示出M点、P点的坐标，进而表示出PM的长，再利用二次函数的性质求解即可【详解】解：（1）抛物线y（x+1）2+k 与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线x1，且3（0+1）2+k，解得：k4，抛物线的对称轴是直线x1，k4；（2）由（1）可得抛物线的解析式为：y（x+1）24，当y0，则0（x+1）24，解得：x11，x23，点A（3，0）、B（1，0），如图，连接AC交对称轴于点P，则此时P

8、A+PC的值最小，设直线AC的解析式为yax+d，将（3，0），（0，3）代入得：，解得： 故直线AC：yx3，当x=1时，y=2，点P的坐标为（1，2）；（3）点M是抛物线上的一动点，设点M的坐标为x，（x+1）24，点M在第三象限，3x0；如图，AB4，SAMB4|（x+1）24|2|（x+1）24|，点M在第三象限，SAMB82（x+1）2，当x1时，即点M的坐标为（1，4）时，AMB的面积最大，最大值为8；直线AC的解析式为yx3，故设点P的坐标为（x，x3），PMx3（x+1）2+4x23x（ x+）2+，当x时，PM最大，最大值为【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求

9、一次函数解析式、二次函数的图象与性质以及函数图象上点的坐标特点等知识，属于常考题型，正确表示出AMB的面积和PM的长、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键4（2021山东临沂市第九中学九年级月考）如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；（2）点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动时，点P到直线AB的距离为d

10、，求d的最大时点P的坐标【答案】（1）抛物线的表达式为：y=-x2+2x+6，（2，8）；（2）存在，点M的坐标为（2-2，-6）或（2+2，-6）或（4，6）（3）当x=3时，d取得最大值，此时点P（3，）【分析】（1）抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），则c=6，将点B的坐标代入函数表达式即可求解；（2）分AB是平行四边形的一条边、AB是平行四边形的对角线两种情况分别求解即可；（3）先求出AB解析式，可求d=PH=PG=，即可求解【详解】解：（1）由抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），则c=6，将点B（6，0）代入函数表达式得：0=36a+12+6，解得：a

11、=-，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+6，y=-x2+2x+6= ，函数图象的顶点坐标为（2，8）；（2）设点M（m，n），n=-m2+2m+6，点N（s，0），当AB是平行四边形的一条边时，点A向右、向下均平移6个单位得到B，同理点N右、向下均平移6个单位得到M，故：s+6=m，0-6=n，-m2+2m+6=-6解得：m=22，故点M的坐标为（2-2，-6）或（2+2，-6）；当AB是平行四边形的对角线时，则AB的中点即为MN的中点，则s+m=6，n+0=6，-m2+2m+6=6解得：m=4，m=0(不合题意舍去)故点M的坐标为（4，6），综上，点M的坐标为（2-2，-6）或（2+2，

12、-6）或（4，6）（3）如下图，过点P作PGy轴交AB于点G，作PHAB交于点H，OA=OB=6，则OAB=OBA=45，PGy轴，则PGH=OAB=45，直线AB的表达式为：y=-x+6，设点P（x，），则G（x，-x+6），当x=3时，d取得最大值，此时点P（3，）【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、点的平移、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏5（20212022辽宁大连市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴经过顶点，作直线是该抛物线上一点，过点作轴的垂线交于点，过点作l于点，以、N为边作矩形（1）_；（2）当点在

13、抛物线，两点之间时，求线段长度的最大值；（3）矩形与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作，的最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为，当时，求点的坐标【答案】（1）-2；（2）；（3）点的坐标为或【分析】（1）将代入抛物线即可求解；（2）首先根据A，B两点的坐标利用待定系数法求出直线AB的表达式，设出点Q和点P的坐标，表示出PQ的长度，然后根据二次函数的性质求解即可；（3）分别当点P在直线左侧和右侧时两种情况讨论，根据题意表示出m和n的值，然后根据列方程求解即可【详解】解：（1）将代入抛物线得：，解得；（2）抛物线解析式为配方得顶点的坐标为设直线的解析式为，过点则，解得直线的解析式为设点，与轴垂直

14、，点在直线上，点的坐标为当时，配方得，当时，的最大值为（3）当点在直线左侧时，此时，从左到右上升，图象最高点为，最低点为，解得，（舍）此时点的坐标为当点在直线右侧时，此时，从左到右下降，图象最高点为，最低点为，垂直轴，点与点的坐标相同，解得，（舍）此时点的坐标为综上述，点的坐标为或【点睛】此题考查了二次函数和矩形结合的题目，解题的关键是设出点P和点Q的坐标，根据题意列出方程求解6（2021江苏丹阳中考二模）如图1，在平面直角坐标系中抛物线与x轴交于点、与y轴交于点C，点P是该抛物线的对称轴（x轴上方部分）上的一个动点（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AP、BP将沿直线AP翻折，得到，当点落

15、在该抛物线的对称轴上时，求点P的坐标；（3）如图2，过点P作轴交抛物线于点E、F，连接AC，交线段EF于M，AC、OF交于点N求的最大值【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用待定系数法把点、代入二次函数解析式即可求解；（2）根据得到，则，解直角三角形PAD即可；（3）通过证明得到，即当MF的值最大时，有最大值即可求解【详解】解：（1）把点、代入二次函数解析式，可得：，解得，抛物线解析式为；（2）设对称轴与x轴交于点D，则，将沿直线AP翻折，得到，点；（3）轴，当MF的值最大时，有最大值，设AC的函数解析式为，把，代入可得，AC的函数解析式为，设，则，令，则，当时，此时取得最大值，此时

16、为最大值【点睛】本题考查二次函数综合、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等内容，灵活运用上述性质定理是解题的关键7（2021西藏中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点与y轴交于点C且点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，5）（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲）若点P是第一象限内抛物线上的一动点当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx24x5；（2）P（，）；（3

17、）存在，M的坐标为：（3，8）或（3，16）或（7，16）【分析】（1）将A的坐标（1，0），点C的坐（0，5）代入yx2bxc，即可得抛物线的解析式为yx24x5；（2）过P作PDx轴于D，交BC于Q，过P作PHBC于H，由yx24x5可得B（5，0），故OBOC，BOC是等腰直角三角形，可证明PHQ是等腰直角三角形，即知PH，当PQ最大时，PH最大，设直线BC解析式为ykx5，将B（5，0）代入得直线BC解析式为yx5，设P（m，m24m5），（0m5），则Q（m，m5），PQ（m）2，故当m时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）；（3）抛物线yx24x5对称轴为直线x2，

18、设M（s，s24s5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，可列方程组，即可解得M（3，8），以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，同理可得，解得M（3，16），以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，则，解得M（7，16）【详解】解：（1）将A的坐标（1，0），点C的坐（0，5）代入yx2bxc得：，解得，抛物线的解析式为yx24x5；（2）过P作PDx轴于D，交BC于Q，过P作PHBC于H，如图：在yx24x5中，令y0得x24x50，解得x5或x1，B（5，0），OBOC，BOC是等腰直角三角形，CBO45，PDx轴，BQ

19、D45PQH，PHQ是等腰直角三角形，PH，当PQ最大时，PH最大，设直线BC解析式为ykx5，将B（5，0）代入得05k5，k1，直线BC解析式为yx5，设P（m，m24m5），（0m5），则Q（m，m5），PQ（m24m5）（m5）m25m（m）2，a10，当m时，PQ最大为，m时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）；（3）存在，理由如下：抛物线yx24x5对称轴为直线x2，设M（s，s24s5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：，解得，M（3，8），以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：，解得，

20、M（3，16），以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：，解得，M（7，16）；综上所述，M的坐标为：（3，8）或（3，16）或（7，16）【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度8（2021四川绵阳中考真题）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行（1）求的值及秒时点的坐标；（2）当矩形与抛物线有公共点时，

21、求时间的取值范围；（3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标【答案】（1），；（2）；（3），【分析】（1）将，代入，求出a，即可得到抛物线解析式，当秒时，设的坐标为，建立方程求解即可；（2）经过秒后，由（1）方法知，的坐标为，的坐标为进而得出的坐标为，的坐标为将代入，将代入，解方程即可得到答案；（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为过和作坐标轴平行线相交于点S，如图则又得，消去得，即可求解【详解】解：（1）由题意知，交点A坐标为，代入，解得，抛物线解析式为当秒时，设的坐标为， 则，解得或（舍），所

22、以的坐标为（2）经过秒后，由（1）方法知，的坐标为，的坐标为， 由矩形的邻边与坐标轴平行可知，的坐标为，的坐标为 矩形在沿着射线移动的过程中，点与抛物线最先相交，如图，然后公共点变为2个，点与抛物线最后相离，然后渐行渐远如图，将代入，得，解得，或（舍），将代入，得，解得，或（舍）所以，当矩形与抛物线有公共点时，时间的取值范围是（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为过和作坐标轴平行线相交于点S，如图则又得，消去得，当时，长度的最小值为此时，解得，所以，点的坐标是 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，中心对称等等

23、，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解9（2021辽宁千山中考一模）抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于，直线经过，两点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，为直线上方的抛物线上一点轴交于点，过点作于点设，求的最大值及此时点坐标；（3）如图，点在轴负半轴上，点绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，求点坐标【答案】（1）（2）最大值是，此时（3）【分析】（1）由直线经过，两点，先求出点，的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据表达式，设出点的坐标和点的坐标，用含的代数式分别表达出线段、，转化成关于t的二次函数，再求出的最大值及点坐标；（3）根据条件，且，利用

24、三角形的全等去确定满足条件的、点，再根据函数解析式求出坐标即可【详解】解：（1）直线经过，两点，当时，；当，；， 点，在抛物线上，；（2）如图，连接，延长交轴于，轴，轴，图设， ，且， ，当时，有最大值是，此时；（3）如图，过作，交于点，过点作，交的延长线于点， 图则， 由旋转得：， ， 平分设直线交轴于点，的解析式为：， ，解得：， ，设，由勾股定理得，解得，【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图像与性质、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键10（2021山东济南中考调研）如图，若一次函数y=3x

25、3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y=ax2bx3的图象过A、B、C三点（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，若点P在直线BC下方的抛物线上运动，过P点作PFBC，交线段BC于点F，在点P运动过程中，线段PF是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由（3）点P在y轴右侧的抛物线上运动，过P点作x轴的垂线，与直线BC交于点D，若PCDACO45，请在备用图上画出示意图，并直接写出点P的坐标【答案】（1）二次函数的表达式为；（2）存在，PF的最大值；（3）点P的坐标为(，)或(5，12)【分析】（1）函数y=-3x-3的图象与x轴，y轴分别交于

26、A，C两点，则点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，-3），将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）先利用待定系数法求直线BC的解析式，设P（m，m2-2m-3），过点P作PTy轴交直线BC于点T，则T（m，m-3），可得PT，再证明PTFBCO，运用相似三角形性质得出PF，再运用二次函数最值求解即可；（3）分两种情况：当点P在直线BC下方的抛物线上时，过点P作PMy轴于点M，证明PCMCAO，再利用相似三角形性质列方程求解即可；当点P在直线BC上方的抛物线上时，过点P作PMy轴于点M，证明PCMACO，再利用相似三角形性质列方程求解即可【详解】解：（1）在y=-3x-3中，令x=

27、0，得y=-3，C（0，-3），令y=0，得-3x-3=0，解得：x=-1，A（-1，0），二次函数的图象过点A（-1，0），B（3，0），解得：，二次函数的表达式为：；（2）设直线BC的解析式为，B（3，0），C（0，-3），解得：，直线BC的解析式为y=x-3，在RtBOC中，OB=OC=3，设P（m，m2-2m-3），过点P作PTy轴交直线BC于点T，则T（m，m-3），PT=，PFBC，PFT=BOC=90，PTy轴，PTF=BCO，PTFBCO，即：，当时，PF取得最大值；（3）设P（t，t2-2t-3），分以下两种情况：当点P在直线BC下方的抛物线上时，如图，过点P作PMy轴于点M

28、，则M（0，t2-2t-3），CM=t2-2t-3-（-3）=t2-2t，PM=t，PCD+ACO=45，BCO=45，ACP=90，PCM+ACO=CAO+ACO=90，PCM=CAO，PMC=AOC=90，PCMCAO，即：，3t2-7t=0，解得：t1=0（舍去），t2=，当t=时，点P的坐标为(，)；当点P在直线BC上方的抛物线上时，如图，过点P作PMy轴于点M，则M（0，t2-2t-3），CM=t2-2t-3-（-3）=t2-2t，PM=t，PCD+ACO=45，PCD+PCM=45，PCM=ACO，PMC=AOC=90，PCMACO，即：，t2-5t=0，解得：t1=0（舍去），t

29、2=5，当t=5时，t2-2t-3=52-25-3=12，P（5，12），综上所述，点P的坐标为(，)或(5，12)【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，属于中考压轴题，有一定难度；熟练掌握所学知识并能够灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键11（2021重庆八中九年级月考）在平面直角坐标系中，抛物线yx2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C点D是抛物线上位于直线BC下方的一点（1）如图1，连接AD，CD，当点D的横坐标为5时，求SADC；（2）如图2，过点D作DEAC交BC于点E，

30、求DE长度的最大值及此时点D的坐标；（3）如图3，将抛物线yx2x+3向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线yax2+bx+c新抛物线与原抛物线的交点为点F，G为新抛物线的对称轴上的一点，点H是坐标平面内一点，若以C，F，G，H为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点H坐标【答案】（1）SADC=5；（2）DE的最大值为，点D的坐标为（3，-3）；（3）H（，）或（，）【分析】（1）把D的横坐标代入抛物线解析式得纵坐标，根据解析式，当x=0时，可得C的坐标，令直线DC与x交点为I，两点确定一条直线，解析式，直线CD为y=-x+3，即得I坐标，当y=0时，代入抛物线解析式得A、B坐

31、标，SACD=SAEC+SAED，通过计算可得结果；（2）由（1）知A，B，C坐标，两点确定一条直线，可得直线AC和直线BC的解析式，过D点作l平行于BC，只有当l与抛物线相切时候，DE取最大值，设l解析式为y=-+b，联立直线l和抛物线的解析式得到二元一次方程组，可得x2-6x+6-2b=0，相切时即=0，可得b的值和D的坐标，设直线DE的解析式为y=-3x+n，直线DE与抛物线的解析式联立方程组可得E的坐标，根据两点间的距离公式得DE的值；（3）根据平移的性质得到新的抛物线为y=2-+23，由对称轴公式x=-得对称轴，联立抛物线和新抛物线得F点坐标为（5，-2），分情况讨论，若CFGH是矩

32、形，证明MFC和NGF、PCH都是等腰直角三角形，且NGFPCH，即可求得H的坐标，当CGCF时，同理可得H的坐标【详解】解：（1）将x=5代入y=2-+3，得y=-2，D（5，-2），令DC与x轴交点为I，由题可知：C（0，3），设直线CD的表达式为，直线CD的表达式：y=-x+3，令，则，I（3，0），如图1可知，SADC=SACI+SADI=AIOC+AI|y0|=AI（OC+|y0|），将y=0代入方程，2-+3=0，解得：，A（1，0），B（6，0），AI=2，SADC=2（3+2）=5，SADC=5；（2）如图2，由（1）可知A（1，0），B（6，0），C（0，3），同理求得直线A

33、C的表达式为y=-3x+3，直线BC的表达式为y=-+3，过D点作直线l平行于BC，只有当l与抛物线相切的时候，DE取最大值，lBC，设直线l的表达式为解方程，即x2-6x+6-2b=0，当两条直线相切时，即只有一个交点，则，62-4(6-2b)=0，b=-，直线l的表达式为：，将b=-代入x2-6x+6-2b=0，可得x=3，将x=3代入y=2-+3，解得：， D（3，-3），DEAC，设直线DE的表达式为：，将D（3，-3）代入得：，直线DE的表达式为：y=-3x+6，E是CB、DE的交点，解得，E（，），DE的最大值为，点D的坐标为（3，-3）；（3）y=2-+3向右平移4个单位，向下平

34、移2个单位，新抛物线方程为：y=(x-4)2-4)+3-2=2-+23，新抛物线的对称轴为：x=，原抛物线的对称轴为：x=，F是两抛物线的交点，解方程2-+23=2-+3，得，当时，y=2-+3=-2，F（5，-2），如果CFGH是矩形，如图3，过F作FM轴于M，交新抛物线的对称于N，过H作HP轴于P，M（0，-2），N（，-2），MC=2+3=5，MF=5，FN=，CFGH是矩形，CFG=AMF=FNG=HPC=90，FG=CH，则MFC=MCF=NFG=NGF=PHC=PCH=45，MFC和NGF、PCH都是等腰直角三角形，且NGFPCH，NG=FN=PC=PH，PO=PC+ CO=，H（

35、，），如果CGCF，如下图，过F作FK轴于K，过H作HL轴交直线FK于L，过C作CJ轴交新抛物线的对称于J，C（0，3），F（5，-2），KF=5，CK=2+3=5，CJ=，同理KFC和LKH、JCG都是等腰直角三角形，且LKHJCG，HL=FL=CJ=GJ，KL=KF+ FL=，点H的纵坐标为，H（，），综上所述，H（，）或（，）【点睛】本题考查了二次函数的应用，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质，两点确定一条直线的解析式，解一元二次方程，抛物线平移的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等正确的识别图形是解题的关键12（2021重庆市南华中学校九年级月考）如图，在矩形中，点、点分别

36、在轴和轴上，点抛物线经过两点，交的延长线于点，与轴另一个交点为，且（1）求抛物线的表达式；（2）点是直线上方抛物线上的一个动点，轴，垂足为猜想：与的数量关系，并证明你的猜想；设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式，并求的最大值（3）如果是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；的最大值为；（3）存在，点的坐标：，【分析】（1）根据矩形的性质，可得A，C，根据AE的长，可得E点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）先求出点的坐标得，由，所以，根据等腰直角三角形的性质，可得答案；根据平行于

37、y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PF，根据等腰直角三角线的性质，可得，根据二次函数的性质，可得答案；（3）分两种情况：平行四边形的边长或是对角线两种情况讨论，根据平行四边形的对角顶点的横坐标的和相等，可得点的横坐标，根据与函数值的对应关系，可得答案【详解】解：（1）矩形中，点 设，将代入得：，（2）证：抛物线的对称轴为直线由对称性可知点的坐标为轴由题意，得点的坐标为直线的表达式： 由得：为等腰直角三角形 的最大值为 （3）存在，理由如下： 抛物线的对称轴为，设，如图所示，以为边长的 ， 根据平行四边形的对角顶点的横坐标的和相等 在中，由，解得，在中，由，解得，以对角线的， 根据平行四边形的对角顶点的横坐标的和相等，解得， 综上，点N的坐标：（2，），（-4，），（-2，2）【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用等腰直角三角形的性质；解的关键是利用二次函数的性质；解（3）的关键是利用平行四边形的对角顶点的横坐标的和和相等得出点的横坐标，要分类讨论，以防遗漏