专题10 最值模型-胡不归问题（解析版）.docx

1、专题10 最值模型-胡不归问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短。【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会

2、有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。例1（2022内蒙古中考真题）如图，在ABC中，ABAC4，CAB30，ADBC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC则PA+2PB的最小值为 _【答案】4【分析】在BAC的外部作CAE15，作BFAE于F，交AD于P，此时PA+2PB22BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果【详解】解：

3、如图，在BAC的外部作CAE15，作BFAE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，AFB90 ABAC，ADBC，CADBAD，EADCAE+CAD30，PF，PA+2PB22BF，在RtABF中，AB4，BAFBAC+CAE45，BFABsin454，（PA+2PB）最大2BF，故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线例2（2022湖北武汉一模）如图，在中，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为_【答案】【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所

4、要求的最小值【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于， ， ，当，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小，当，三点共线时，有最小值，此时，的最小值为，故答案为【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换例3（2021眉山市中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是_【答案】【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小菱形

5、中，AB=BC=AC=10，ABC为等边三角形PBC=30，ACB=60在直角PBH中，PBH=30PH=此时得到最小值，AC=10，AM=3,MC=7又MPC=60MH=MCsin60=故答案为：【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.例4（2022山东淄博二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（）AB4CD2【答案】C【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边AOD，连接PD，过点D作DEOA于E，先求出点D的坐标，然后证明BAOP

6、AD得到PDA=BOA=90，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PFy轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明HCO=30，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边AOD，连接PD，过点D作DEOA于E，点A的坐标为（0，2），OA=OD=2，OE=AE=1，点D的坐标为；ABP是等边三角形，AOD是等边

7、三角形，AB=AP，BAP=60，AO=AD，OAD=60，BAP+PAO=DAO+PAO，即BAO=PAD，BAOPAD（SAS），PDA=BOA=90，点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动， 当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，ABP是等边三角形，BOAP，AO=PO=2，此时点P的坐标为（0，-2），设直线PD的解析式为，直线PD的解析式为；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PFy轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H，点H的坐标为，OCH=30，由轴对称的性质可知AP=GP，当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，A、G两点关于直

8、线PD对称，且ADC=90，AD=GD，即点D为AG的中点，点A的坐标为（0，2），点D的坐标为，AG=2AD=2OA=4，AC=4，CAG=60，ACG是等边三角形，OC=OA，OGAC，即点G在x轴上，由勾股定理得，当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG的长，的最小值为，故选：C【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键例5（2021资阳市中考真题）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线

9、上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结当的值最小时，求的长【答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点的坐标为，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据可得点的坐标，代入直线的解析式求解即可得；（3）先根据求出点的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点的坐标，从而可得点的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得【详解】解：（1）由题意，将点代入

10、得：，解得，则抛物线的解析式为；（2）对于二次函数，当时，解得或，设点的坐标为，点的坐标为，解得，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，将点代入得：，解得或，当时，此时，当时，此时，综上，点的坐标为或；（3）二次函数的顶点坐标为，设点的坐标为，解得，则平移后的二次函数的解析式为，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，如图，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，轴，由两点之间线段最短得：的最小值为，由垂线段最短得：当点与点重合时，取得最小值，此时点与点重合，则点的纵坐标与点的纵坐标相等，即，解得，则，【点睛】本题考查了利用待定

11、系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键例6（2020湖南中考真题）已知直线与抛物线（b，c为常数，）的一个交点为，点是x轴正半轴上的动点（1）当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为，当的最小值多时，求b的值【答案】（1）-2，2，-3，；（2）4或6；（3）3【分析】（1）由题意可知直线经过，因而把代入直线即可求出k的值，然后把代入抛物线得出含b的代数式表达c，再根据直线与抛物线（b，c为常数，）的另一

12、个交点得出抛物线的顶点坐标E，并代入直线，解方程即可求出b的值，代入即可求解；（2）将点D的横坐标代入抛物线（b，c为常数，），根据点A的坐标得到含b的代数式表达c，求出点D的纵坐标为，可知点D在第四象限，且在直线的右侧，取点，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，过点D作QHx轴于点H，则点H，在RtMDH中，可知，由题意可知点，用含b的代数式表示m，因，可得方程，求解即可得出答案【详解】解：（1）直线经过，把代入直线，可得，解得；抛物线（b，c为常数，）经过，把代入抛物线，可得，当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E，顶点的坐标为，把代入直线，可得

13、，解得，顶点的坐标为（2）点D在抛物线（b，c为常数，）上，且点D的横坐标为，在抛物线（b，c为常数，）上，即，可知点D在第四象限，且在直线的右侧，可取点，如图2，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，得，则此时点M满足题意，过点D作QHx轴于点H，则点H，在RtMDH中，可知，点，解得：，【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会使用待定系数法求出抛物线的解析式例7（2022四川成都中考模拟）6如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的

14、另一交点为（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？【答案】（1）；（2）或；（3）F【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、的值得到抛物线的函数表达式；（2）分PABABC和PABBAC两种情况讨论即可；（3）过点D作DHy轴于点H，过点A作AGDH于点G，交BD于点

15、F，则点F即为所求，理由是，由于点M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直线BD的倾斜角是30知道，又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30直角三角形的性质求解即可解：（1）抛物线，令，解得或，直线经过点，解得，直线解析式为：当时，点，在抛物线上，抛物线的函数表达式为：即（2）由抛物线解析式，令，得，因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角因此若两个三角形相似，只可能是或若，则有，如答图所示设，过点作轴于点，则，即：，代入抛物线解析式，得，整理得：，解得：或（与点重合，舍去），即，解得：若，则有，如答图所示设，过点作轴于点，则，即：

16、，代入抛物线解析式，得，整理得：，解得：或（与点重合，舍去），解得，综上所述，或（3）方法一：如答图3，由（1）知：，如答图，过点作轴于点，则，过点作轴，则过点作于点，则由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，即运动的时间值等于折线的长度值由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点点横坐标为，直线解析式为：，综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少方法二：作，交直线于点，当且仅当时，最小，点在整个运动中用时为：，【点睛】本题考查单动点问题；二次函数和一次函数交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；相似三角形的判定；垂直

17、线段最短的性质；分类思想和数形结合思想的应用课后专项训练1（2022河北九年级期中）如图，在ABC中，A15，AB2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（）ABCD2【解答】解：如图，在ABC内作MBA30过点A作AEBM于点E，BM交AC于点P，BAC15，APE45EPAP当BPAE时，则AP+PBPE+PB的值最小，最小值是BE的长，在RtABE中，ABE30，AB2BEABcos30AP+PB的最小值是故选：B2（2022江苏九年级月考）如图，在RtABC中，ACB90，B30，AB4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AEC

18、D交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（）A B CD【解答】解：延长AC到点P，使CPAC，连接BP，过点F作FHBP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQBP于点Q，ACB90，ABC30，AB4ACCP2，BPAB4ABP是等边三角形FBH30RtFHB中，FHFB当G、F、H在同一直线上时，GF+FBGF+FHGH取得最小值AECD于点GAGC90O为AC中点OAOCOGACA、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在O上运动当点G运动到OQ上时，GH取得最小值RtOPQ中，P60，OP3，sinPOQOPGH最小值为故选：C3（2022山东九年级月考）如图，在平面

19、直角坐标系中，二次函数yx22xc的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PDPC的最小值是（）A4B22C2D【答案】A【分析】过点P作PJBC于J，过点D作DHBC于H根据，求出的最小值即可解决问题【详解】解：过点P作PJBC于J，过点D作DHBC于H二次函数yx22x+c的图象与y轴交于点B（0，3），c3，二次函数的解析式为yx22x3，令y0，x22x30，解得x1或3，A（1，0），B（0，-3），OBOC3，BOC90，OBCOCB45，D（0，1），OD1，BD4，DHBC，DHB90，设，则,，PJCB，D

20、P+PJ的最小值为，的最小值为4故选：A【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题4（2022重庆九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为A4B5CD解：如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点四边形是菱形，的最小值为4，故选：5（2022浙江宁波九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为_【答案】6【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，

21、由直角三角形的性质可得CHAC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BCAC有最小值，由直角三角形的性质可求解【详解】解：一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，点A（3，0），点，AO3，作点B关于OA的对称点，连接 ，过点C作CHAB于H，如图所示：，是等边三角形，CHAB，当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BCAC有最小值，此时，是等边三角形，2BCAC的最小值为6故答案为：6【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键6（2022湖南九年级月考）如图，在RtABC中，ACB90，A60，AB6，B

22、CD为等边三角形点E为BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EMAB，交直线AC于点M作ENAC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为【解答】解：过E作EHAC交AC的延长线于点H，ENAC，EMAB，四边形ANEM是平行四边形，HMEA60，设EMANa，AMb，RtHEM中，HEM30，MHMEa，AN+AMa+bMH+AMAH，当E在点D时，AH的值最大是：3+4.57.5，AN+AM的最大值为7.5，故答案为：7.57（2022湖北武汉九年级期末）如图，中，为边上一点，则的最小值为_【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB

23、=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解【详解】如图，过点作，交的延长线于，四边形是平行四边形，PH丄AD， 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，此时 ， ， 则最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识构造直角三角形是解题的关键8（2022成都市七中育才九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)，且OCB60，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是_【答案】#【分析

24、】作OCE=120，过点P作PGCE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG=PC；当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解【详解】解：点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)，OA=3，OC=3，作OCE=120，OCB=60，则OCB=BCE=FCE=60，过点P作PGCE于点G，如图：在RtPCG中，PCG=60，则CPG=30，CG=PC，由勾股定理得PG=PC，AP+PC= AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，延长AG交y轴于点F，FCG=60，CGF

25、=90，CFG=30，CF=2CG，GF=CF，在RtOAF中，AOF=90，OFA=30，AF=2OA=6，OF=，CF=OF-OC=，GF=()=，AG=AF-FG=，即AP+PC的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键9（2022四川自贡一模）如图，中，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是_【答案】【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而

26、可得出，最后利用即可求值【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于，设， ，或（舍弃），（等腰三角形两腰上的高相等），的最小值为,故答案为：【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键10（2022广东一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点(1)求直线BC解析式(2)如图，求OPPA的和取最小值时点P的坐标(3)如图，求AQQP的最小值(4)如图，求AQQC的最小值【答案】(1)(2)（，）(3)(4)【分析】（1）先求B，C的坐标，然后根

27、据待定系数法即可求解；（2）设点O关于直线BC的对称点为D，连接CD，PD，BD，AD，先判断四边形OCDB为正方形，即可求点D坐标，然后根据待定系数法求出直线AD解析式，最后与直线BC解析式联立方程组即可求出点P的坐标；（3）设A关于y轴的对称点为（1，0），连接，则可得当，Q，P三点共线，且时，AQPQ最小，然后在中求出即可得出结论；（4）在x轴负半轴上找点G，使得GCO30，作QHCG于H，则可得当A，Q，H三点共线，且AHCG时，然后解RtAHG即可求解（1）解：当y0时，解得，A（1，0），B（3，0），当x0时，y3，C（0，3），设直线BC解析式为ykxb，则，解得，直线BC解析

28、式；（2）解：设点O关于直线BC的对称点为D，连接CD，PD，BD，AD，B（3，0），C（0，3），BOCO3，又BOC90，OCBOBC45，由对称性可知，DCBOCB45，CDBCOB90，COCD，OPPD，OCD90，四边形OCDB为正方形，D坐标为（3，3），又A（1，0），AB2，BD3，AD，又OPPADPPAAD，OPPA当D，P，A三点共线时，OPPA，设直线AD解析式为ymxn，则，解得，直线AD解析式为，联立方程组，解得，点P坐标为（，）当P坐标为（，）时，OPPA的和取最小值；（3）解：设A关于y轴的对称点为（1，0），如图，连接，则AQQP，当，Q，P三点共线，且时

29、，AQPQ最小，在中，OBP45，AQQP的最小值为；（4）解：如图，在x轴负半轴上找点G，使得GCO30，作QHCG于H，当A，Q，H三点共线，且AHCG时，CO3，COG90，GCO30，GO，CGO60，当AHCG时，的最小值为【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题、正方形的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短、解直角三角形等知识，添加合适的辅助线，运用以上知识解答是解题的关键11（2022江苏中考模拟）如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，已知，（）求抛物线的解析式和的值；（）在（）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴

30、于点，问：是否存在点使得以，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？解：（）把，代入，得，解得：抛物线的解析式为联立，解得：或，点的坐标为如图1，是直角三角形，；（）方法一：（1）存在点，使得以，为顶点的三角形与相似过点作轴于，则设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则，若点在点的下方，如图2，当时，则，则把代入，得，整理得：解得：（舍去），（舍去）如图2，当时，则同理可得：，则，把代入，

31、得，整理得：解得：（舍去），；若点在点的上方，当时，则，同理可得：点的坐标为当时，则同理可得：点的坐标为，综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；方法二：作的“外接矩形” ，易证，以，为顶点的三角形与相似，或，设，（舍，满足题意的点的坐标为、，、，；（2）方法一：过点作轴于，如图3在中，即，点在整个运动中所用的时间为作点关于的对称点，连接，则有，根据两点之间线段最短可得：当、三点共线时，最小此时，四边形是矩形，对于，当时，有，解得：，点的坐标为 方法二：作点关于的对称点，交于点，显然，作轴，垂足为，交直线于点，如图4，在中，即，当、三点共线时，最小，为的中点，方法三：如图，5，过作射线轴，过作

32、射线轴，与交于点，当且仅当时，取得最小值，点在整个运动中用时最少为：，抛物线的解析式为，且，可求得点坐标为则点横坐标为2，将代入，得所以12（2020四川乐山市中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；连结，求的最小值【答案】（1）；（2）；【分析】（1）先函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解；（2）先求出BC的解析式，设E坐标为，则F点坐标为，进而用t

33、表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值；过点作于，由可得，由此可知当BPH三点共线时的值最小，即过点作于点，线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，是抛物线的对称轴，又，即，代入抛物线的解析式，得，解得 ，二次函数的解析式为 或；（2）设直线的解析式为 ， 解得 即直线的解析式为 ，设E坐标为，则F点坐标为，的面积 ，当时，的面积最大，且最大值为；如图，连接，根据图形的对称性可知 ，过点作于，则在中，再过点作于点，则，线段的长就是的最小值，又，即，的最小值为【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面

34、积最大值求法、线段和的最值问题解（1）关键是利用三角函数求出C点坐标，解（2）关键是由点E、F坐标表示线段EF长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将的最小值转化为点B到AC的距离13（2021四川达州市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，求的最小值（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为

35、：2，或【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c的值即可；（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；（3）分2种情形讨论：AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标; AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标【详解】解：（1）过，抛物线的解析式为：（2）在上取一点，使得，连接， 对称轴， ， 当，三点在同一点直线上时，最小为在中， 即最小值为（3）情形如图，AB为矩形的一条边时，联立得 是等腰， 分别过 两点作的垂线，交于点

36、，过作轴，轴, ,也是等腰直角三角形 设，则，所以代入，解得,（不符题意，舍） 同理，设，则 ，所以 代入，解得,（不符题意，舍） AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则， 设 ，则 整理得： 解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍）， ， 综上所述：点的横坐标分别为：2，或【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键14（2022广西南宁三中一模）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作

37、轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接、交于点，连接（1）求二次函数的表达式；（2）当时，求点的坐标及；（3）在（2）的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）把点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(1，0)代入y=ax2+bx+1，解方程组即可得到结论；（2）由条件可得BEDE=OEEM，设D(a，-x2x+1)，则可表示BE、DE、OE、EM的长，得到关于a的方程，解方程可求出D点的坐标，求出AE、DE长，则sinDAE的值可求；（3）作D关于x轴的对称点F，过点F作FHAD于点H，交轴于点P，则DAE=HFD，DP+AP=FP+HP，此时FH最小

38、，求出最小值即可【详解】解：（1）把点，点代入得，解得，二次函数的表达式为；（2）二次函数的表达式为，令，得，点的坐标为设直线的解析式为，解得，直线的解析式为轴，设，则，解得，（舍去），（舍去）， ，；（3）如图，作点关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，连接，则，由垂线段最短可知此时长度最小，的最小值为【点睛】主要考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，垂线段最短，轴对称的性质，以及解直角三角形的知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题15（2022广东东莞市三模）已知，如图，二次函

39、数图像交轴于，交交轴于点，是抛物线的顶点，对称轴经过轴上的点（1）求二次函数关系式；（2）对称轴与交于点，点为对称轴上一动点求的最小值及取得最小值时点的坐标；在的条件下，把沿着轴向右平移个单位长度时，设与重叠部分面积记为，求与之间的函数表达式，并求出的最大值【答案】（1）；（2）最小值为，点坐标为；，当时，最大值【分析】（1）函数对称轴为x=1，则点B（3，0），用交点式表达式得：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），即可求解；（2）连接BD，过点A作AHBD于点H，交DF于点P，AP+PD=AP+PD，此时AP+PD=AH最小，即可求解；根据题意，可分为0t1、1t2、2t4三种

40、情况，分别求解，即可得到答案【详解】解：（1）二次函数对称轴为，点坐标为，则点坐标为又点坐标，则，解得：，函数表达式为；（2）连接 在中，依勾股定理得： 过点作于点，交抛物线对称轴于点则 则依“垂线段最短”得此时长度为最小值， 即最小值为的长度， 则，即最小值为 点坐标为A当时，如图 依图知：则：化简得：配方得：根据自变量取值范围，当时，最大值4B当时，如图：四边形 整理得： 配方得： 即时，最大值C当时，如图： 根据自变量取值范围，当时，最大值综上，当时，最大值【点睛】本题考查的二次函数综合应用，解直角三角形，轴对称的性质，求二次函数的解析式和二次函数的最值，勾股定理，以及最短路径问题，解题

41、的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想和分类讨论的思想进行分析.16（2022天津中考模拟）如图，在ACE中，CACE，CAE30，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上（1）证明：CE是O的切线；（2）若ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CDOD的最小值为6时，求O的直径AB的长【答案】（1）见解析；（2）；（3）AB8【解析】（1）连接OC，如图，CACE，CAE30，ECAE30，COE2A60，OCE90，CE是O的切线；（2）过点C作CHAB于H，连接OC，如图， 由题可得CHh在RtOHC中，CHOCsinCOH，hOCsin60 OC，OC h，AB2OC h；（3）作OF平分AOC，交O于F，连接AF、CF、DF，如图，则AOFCOF AOC （18060）60OAOFOC，AOF、COF是等边三角形，AFAOOCFC，四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DFDO过点D作DHOC于H，OAOC，OCAOAC30，DHDCsinDCHDCsin30 DC，CDODDHFD根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DHFD（即CDOD）最小，此时FHOFsinFOH OF6，则OF4，AB2OF8当CDOD的最小值为6时，O的直径AB的长为8