专题10 相似综合篇（解析版）.docx

1、专题10 相似综合知识回顾1. 比例的性质： 基本性质：两内项之积等于量外项之积。即若，则。 合比性质：若，则。 分比性质：若，则。 合分比性质：若，则。 等比性质：若，则。2. 平行线分线段成比例：三条平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例。即如图：有；。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。3. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等

2、，对应边的比相等。对应边的比叫做相似比。相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。4. 相似三角形的判定：平行线法判定：平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。对应边判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似。两边及其夹角判定法：两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。两角判定：有两组角（三组角）对应相等的两个三角形相似。专题练习1如图，在RtABC中，ABC90，E是边AC上一点，且BEBC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求

3、证：ADEABC【分析】根据等腰三角形的性质可得CCEBAED，由ADBE可得DABC90，即可得ADEABC【解答】证明：BEBC，CCEB，CEBAED，CAED，ADBE，DABC90，ADEABC2如图，在ABC与ABC中，点D、D分别在边BC、BC上，且ACDACD，若 ，则ABDABD请从；BADBAD这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明【分析】利用相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似可证明【解答】解：理由如下：ACDACD，ADCADC，ADBADB，又BADBAD，ABDABD同理，选也可以故答案是：（答案不唯一）3如图所示，在等腰三角形ABC中，ABA

4、C，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CFBE，AE2AQAB求证：（1）CAEBAF；（2）CFFQAFBQ【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BC，利用SAS证明ACEABF，根据全等三角形的性质即可得解；（2）利用全等三角形的性质，结合题意证明ACEAFQ，CAFBFQ，根据相似三角形的性质即可得解【解答】证明：（1）ABAC，BC，CFBE，CFEFBEEF，即CEBF，在ACE和ABF中，ACEABF（SAS），CAEBAF；（2）ACEABF，AEAF，CAEBAF，AE2AQAB，ACAB，ACEAFQ，AECAQF，AEFBQF，AEAF，AEFAFE，BQFAFE，

5、BC，CAFBFQ，即CFFQAFBQ4如图，在矩形ABCD中，AB8，AD4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AFAE交CB的延长线于点F，设DEa（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GCAE时，求证：四边形AGCE是菱形【分析】（1）根据矩形的性质可得ADEABF，DAE+BAE90，结合题干AFAE可得BAF+BAE90，进而可得DAEBAF，进而可得ADEABF，利用相似三角形的性质可得BF的长度；（2）先根据AGCE，GCAE进而可得四边形AGCE是平行四边形，通过勾股定理可得GF2、EF2、AE2，再过点G作GMAF于

6、点M，易得MGFAEF，进而利用相似三角形的性质可得GM的长，即可得GMGB，进而可得GF是AFB的角平分线，最后利用角平分线得性质可得EAEC，即可得平行四边形AGCE是菱形【解答】（1）解：四边形ABCD是矩形，ADEABFBAD90，DAE+BAE90，AFAE，BAF+BAE90，DAEBAF，ADEABF，即，BF2a，（2）证明：四边形ABCD是矩形，AGCE，GCAE，四边形AGCE是平行四边形AGCE8a，BGABAG8（8a）a，在RtBGF中，GF2a2+（2a）25a2，在RtCEF中，EF2（2a+4）2+（8a）25a2+80，在RtADE中，AE242+a216+a

7、2，如图，过点G作GMAF于点M，GMAE，MGFAEF，GMa，GMBG，又GMAF，GBFC，GF是AFB的角平分线，EAEC，平行四边形AGCE是菱形5如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF已知四边形BFED是平行四边形，（1）若AB8，求线段AD的长（2）若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积【分析】（1）证明ADEABC，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得ABC的面积是16，同理可得EFC的面积9，根据面积差可得答案【解答】解：（1）四边形BFED是平行四边形，DEBF，DEBC，ADE

8、ABC，AB8，AD2；（2）ADEABC，（）2（）2，ADE的面积为1，ABC的面积是16，四边形BFED是平行四边形，EFAB，EFCABC，（）2，EFC的面积9，平行四边形BFED的面积169166如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，ACDABE（1）求证：ABCAEB；（2）当AB6，AC4时，求AE的长【分析】（1）根据两角相等可得两三角形相似；（2）根据（1）中的相似列比例式可得结论【解答】（1）证明：四边形ABCD为菱形，ACDBCA，ACDABE，BCAABE，BACEAB，ABCAEB；（2）解：ABCAEB，AB6，AC4，AE97如图，矩形ABCD中，点

9、E在DC上，DEBE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F（1）若BE平分CBD，求证：BFAC；（2）找出图中与OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若OF3，EF2，求DE的长度【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，求得36，从而求证BFAC；（2）根据相似三角形的判定进行分析判断；（3）利用相似三角形的性质分析求解【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中，ODOC，ABCD，BCD90，234，3+590，DEBE，12，又BE平分DBC，16，36，6+590，BFAC；（2）解：与OBF相似的三角形有ECF，BAF理由如下：13，EFCBFO，ECFOBF，DEBE，

10、12，又24，14，又BFAOFB，BAFOBF；（3）解：在矩形ABCD中，432，12，14又OFBBFA，OBFBFA13，OFBEFC，OBFECF，即3CF2BF，3（CF+OF）3CF+92BF+9，3OC2BF+93OA2BF+9，ABFBOF，BF2OFAF，BF23（OA+3），联立，可得BF1（负值舍去），DEBE2+1+3+8如图，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF（1）求证：ABMEBF；（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；（3）设BEx，DEF的面积为y

11、，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？【分析】（1）利用两个角对应相等的三角形全等即可证明ABMEBF；（2）过点E作ENAD于点N，可得四边形AMEN为矩形，从而得到NEAM4，ANME，再由勾股定理求出BM3，从而得到MEAN2，进而得到DN8，再由勾股定理，即可求解；（3）延长FE交DC的延长线于点G根据，可得，再证得ABMECG，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解【解答】（1）证明：EFAB，AM是BC边上的高，AMBEFB90，又BB，ABMEBF；（2）解：过点E作ENAD于点N，如图：在平行四边

12、形ABCD中，ADBC，又AM是BC边上的高，AMAD，AMEMANANE90，四边形AMEN为矩形，NEAM4，ANME，在RtABM中，又E为BC的中点，MEAN2，DN8，在RtDNE中，；（3）解：延长FE交DC的延长线于点G，如图：sinB，EFx，ABCD，BECG，EGCBFE90，又AMBEGC90，ABMECG，GC（10x），DGDC+GC5+（10x），yEFDGx5+（10x）x2+x（x）2+，当x时，y有最大值为，答：yx2+x，当x时，y有最大值为9【问题呈现】如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD，CE求证：BDCE【类比探究】如图2，ABC和ADE都是

13、等腰直角三角形，ABCADE90连接BD，CE请直接写出的值【拓展提升】如图3，ABC和ADE都是直角三角形，ABCADE90，且连接BD，CE（1）求的值；（2）延长CE交BD于点F，交AB于点G求sinBFC的值【分析】【问题呈现】证明BADCAE，从而得出结论；【类比探究】证明BADCAE，进而得出结果；【拓展提升】（1）先证明ABCADE，再证得CAEBAD，进而得出结果；（2）在（1）的基础上得出ACEABD，进而BFCBAC，进一步得出结果【解答】【问题呈现】证明：ABC和ADE都是等边三角形，ADAE，ABAC，DAEBAC60，DAEBAEBACBAE，BADCAE，BADCA

14、E（SAS），BDCE；【类比探究】解：ABC和ADE都是等腰直角三角形，DAEBAC45，DAEBAEBACBAE，BADCAE，BADCAE，；【拓展提升】解：（1），ABCADE90，ABCADE，BACDAE，CAEBAD，CAEBAD，；（2）由（1）得：CAEBAD，ACEABD，AGCBGF，BFCBAC，sinBFC10如图，在矩形ABCD中，AB6，BC4，点M、N分别在AB、AD上，且MNMC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F（1）当F为BE的中点时，求证：AMCE；（2）若2，求的值；（3）若MNBE，求的值【分析】（1）根据矩形的性质，利用AAS证明BMFECF，

15、得BMCE，再利用点E为CD的中点，即可证明结论；（2）利用BMFECF，得，从而求出BM的长，再利用ANMBMC，得，求出AN的长，可得答案；（3）首先利用同角的余角相等得CBFCMB，则tanCBFtanCMB，得，可得BM的长，由（2）同理可得答案【解答】（1）证明：F为BE的中点，BFEF，四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCDBMFECF，BFMEFC，BMFECF（AAS），BMCE，点E为CD的中点，CEDE，BMCEDE，ABCD，AMCE；（2）解：BMFECF，BFMEFC，BMFECF，CE3，BM，AM，CMMN，CMN90，AMN+BMC90，AMN+ANM90，A

16、NMBMC，AMBC，ANMBMC，DNADAN4，；（3）解：MNBE，BFCCMN，FBC+BCM90，BCM+BMC90，CBFCMB，tanCBFtanCMB，由（2）同理得，解得AN，DNADAN4，11在四边形ABCD中，BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BEFC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：GEGD；BOGDGOFC（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立请给出结论的证明【分析】（1）连接CG，过点G作GJCD于点J证明EAGDAG（SAS），可得EGDG，AEGADG，再证明OBEOG

17、C，推出，可得结论；（2）过点D作DTBC于点T，连接GT证明EAGDAG（SAS），推出EGDG，AEGADG，再证明OBEOGT，推出，可得结论【解答】（1）证明：连接CG，过点G作GJCD于点J四边形ABCD是矩形，BADABC90，ADBC，AF平分BAD，BAFDAF45，AFBBAF45，BABF，BECF，AEAB+BEBF+CFBCAD，AGAG，EAGDAG（SAS），EGDG，AEGADG，ADFC，AGGF，DJJC，GJCD，GDGC，GDCGCD，ADCBCD90，ADGGCO，OEBOCG，BOEGOC，OBEOGC，GCGD，BECF，BOGDGOFC；（2）解：

18、过点D作DTBC于点T，连接GT四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，DAGAFB，AF平分DAB，DAGBAF，BAFAFB，ABBF，AEAB+BEBF+CFBCAD，AGAG，EAGDAG（SAS），AEGADG，ADFT，AGGF，DJJT，GJDT，GDGT，GDTGTD，ADTBTD90，ADGGTO，OEBOTG，BOEGOT，OBEOGT，GTGD，BECF，BOGDGOFC12问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论如图1，已知AD是ABC的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图2，过点C作CEAB，交AD的延长线于点E，构造相

19、似三角形来证明尝试证明：（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：；应用拓展：（2）如图3，在RtABC中，BAC90，D是边BC上一点连接AD，将ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处若AC1，AB2，求DE的长；若BCm，AED，求DE的长（用含m，的式子表示）【分析】（1）证明CEDBAD，由相似三角形的性质得出，证出CECA，则可得出结论；（2）由折叠的性质可得出CADBAD，CDDE，由（1）可知，由勾股定理求出BC，则可求出答案；由折叠的性质得出CAED，则tanCtan，方法同可求出CD，则可得出答案【解答】（1）证明：CEAB，EEAB，BECB，CEDBAD，

20、EEAB，EABCAD，ECAD，CECA，（2）解：将ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，CADBAD，CDDE，由（1）可知，又AC1，AB2，BD2CD，BAC90，BC，BD+CD，3CD，CD；DE；将ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，CADBAD，CDDE，CAED，tanCtan，由（1）可知，tan，BDCDtan，又BCBD+CDm，CDtan+CDm，CD，DE13【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DEBC，BFCF，AF交DE于点G，求证：DGEG【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件

21、下，连结CD，CG若CGDE，CD6，AE3，求的值【拓展提高】（3）如图3，在ABCD中，ADC45，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EGBD交AD于点G，EFEG交BC于点F若EGF40，FG平分EFC，FG10，求BF的长【分析】（1）证明AGDAFB，AFCAGE，根据相似三角形的性质得到，进而证明结论；（2）根据线段垂直平分线的性质求出CE，根据相似三角形的性质计算，得到答案；（3）延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MNBC于N，根据直角三角形的性质求出EFG，求出MFN30，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可【解答】（1）证明：DEBC，AGDAFB，AFCAGE，BF

22、CF，DGEG；（2）解：DGEG，CGDE，CECD6，DEBC，ADEABC，；（3）解：延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MNBC于N，四边形ABCD为平行四边形，OBOD，ABCADC45，MGBD，MEGE，EFEG，FMFG10，在RtGEF中，EGF40，EFG904050，FG平分EFC，GFCEFG50，FMFG，EFGM，MFEEFG50，MFN30，MNMF5，NF5，ABC45，BNMN5，BFBN+NF5+514如图1，在矩形ABCD中，AB4，BC6点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EFCE，交AB于点F（1）求证：AEFDCE；

23、（2）如图2，连接CF，过点B作BGCF，垂足为G，连接AG点M是线段BC的中点，连接GM求AG+GM的最小值；当AG+GM取最小值时，求线段DE的长【分析】（1）由矩形的性质及直角三角形的性质证出DCEAEF，根据相似三角形的判定可得出结论；（2）连接AM，由直角三角形的性质得出MBCMGM，则点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，当A，G，M三点共线时，AG+GMAM，此时，AG+GM取得最小值，由勾股定理求出AM5，则可得出答案；方法一：过点M作MNAB交FC于点N，证明CMNCBF，由相似三角形的性质得出，设AFx，则BF4x，得出MNBF（4+x），证明AFGMNG，得出比例线段，列出

24、方程，解得x1，求出AF1，由（1）得，设DEy，则AE6y，得出方程，解得y3+或y3，则可得出答案方法二：过点G作GHAB交BC于点H，证明MHGMBA，由相似三角形的性质得出，求出GH，MH，证明CHGCBF，得出，求出FB3，则可得出AF1，后同方法一可求出DE的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，AD90，CED+DCE90，EFCE，CED+AEF90，DCEAEF，AEFDCE；（2）解：连接AM，如图2，BGCF，BGC是直角三角形，点M是BC的中点，MBCMGM，点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：AG+GMAM

25、，当A，G，M三点共线时，AG+GMAM，此时，AG+GM取得最小值，在RtABM中，AM5，AG+GM的最小值为5如图3，过点M作MNAB交FC于点N，CMNCBF，设AFx，则BF4x，MNBF（4x），MNAB，AFGMNG，由（2）可知AG+GM的最小值为5，即AM5，又GM3，AG2，解得x1，即AF1，由（1）得，设DEy，则AE6y，解得：y3+或y3，06，036，DE3+或DE315已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG（1）如图1，当时，请直接写出线段BE与线段DG

26、的数量关系与位置关系；（2）如图2，当时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB，AEB45，请直接写出MND的面积【分析】（1）证明BAEDAG，进一步得出结论；（2）证明BAEDAG，进一步得出结论；（3）当点E在线段BD上时，解斜三角形ABE，求得BE3，根据（2）可得DG6，从而得出三角形BEG的面积，可证得MNDMNG，MNG与BEG的面积比等于1：4，进而求得结果；同理可得点E在DB的延长线时的情形【解答】解：（1）由题意得：四边形ABCD和四边形AEF

27、G是正方形，ABAD，AEAG，BADEAG90，BADDAEEAGDAE，BAEDAG，BAEDAG（SAS），BEDG，ABEADG，ADG+ADBABE+ADB90，BDG90，BEDG；（2）BE，BEDG，理由如下：由（1）得：BAEDAG，2，BAEDAG，ABEADG，ADG+ADBABE+ADB90，BDG90，BEDG；（3）如图，当B在线段BD上时，作AHBD于H，tanABD，设AH2x，BHx，在RtABH中，x2+（2x）2（）2，BH1，AH2，在RtAEH中，tanAEB，EHAH2，BEBH+EH3，BD5，DEBDBE532，由（2）得：，DGBE，DG2BE6，SBEG9，在RtBDG和RtDEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，DMGM，NMNM，DMNGMN（SSS），MN是BEG的中位线，MNBE，BEGMNG，（）2，SMNDSMNGSBEG，如图，同上可得：BEEHBH211，DG2BE2，1，SBEG，综上所述：DMN的面积是或