专题10无理方程（3大考点 5种题型）（解析版）.docx

1、专题10无理方程（3大考点+5种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：无理方程的概念和解法考点二：无理方程的根的讨论考点三：无理方程的应用题型一：无理方程的概念题型二：不解方程，判断方程是否有实数根题型三：解无理方程题型四：无理方程的根的讨论题型五：无理方程的应用考点一：无理方程的概念和解法1无理方程的概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程2解无理方程的方法通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解3解无理方程的一般步骤（1）方程两边平方，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验直接代入原方程中，看其是否成立如果成立，则这个根为原

2、方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解考点二：无理方程的根的讨论增根的概念无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根.考点三：无理方程的应用寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍题型一：无理方程的概念【例1】下列方程是哪些是关于的无理方程?（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）、（2）、（3）、（4）、（6）是无理方程【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，可知（1）、（2）、（4）、（6）都是无理方程，可知（3）

3、也是无理方程【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可【变式】下列方程是无理方程的是（）AB CD 【答案】D【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，可知D是无理方程，故选D【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可题型二：不解方程，判断方程是否有实数根【例2】不解方程，说明下列方程是否有实数根：（1）；（2）【答案】（1）有唯一实数根； （2）当时，方程无实数根；当时，方程有无数个实数根【解析】（1）根据二次根式的非负性，可得：，即得的定义域为， 此时，即得方程有唯一实数根；（2） 当时，则有，根据二次根式非负性

4、，可知方程无实数根； 当时，等式恒成立，可知方程有无数实数根，满足即可【总结】考查对无理方程解的判断，对部分方程根据二次根式双重非负性即可进行判定【变式1】根据平方根的意义，直接判断下列方程是否有解，并简述理由：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（2）有解，（1）、（3）、（4）无解【解析】根据二次根式的双重非负性，对（1），故方程无实数解；对（2），由，即有，可知方程有实数解；对（3），无解，即方程无实数解；对（4），无解，即方程无实数解【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定【变式2】下列哪个方程有实数解（）AB CD【答案】D【解析】根据二次根式的双重非

5、负性，对A选项，此时，故方程无实数解；对B选项，可知方程无实数解；对C选项， 无解，即方程无实数解；故选D【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行简单判定题型三：解无理方程【例3】解下列方程：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）两边平方，得：，整理得：， 解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为；（2） 移项得：，两边平方得：，因式分解整理得：，解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验【变式1】解下列方程：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）【解析】（1）两边平方，得：，整理得：， 解得：，经检验，

6、是原方程的增根，即原方程的根为； （2）由原式得：或，解得：， 经检验，是原方程的增根，即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法，注意无理方程的验根【变式2】解下列方程：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）两边平方得：，整理得：，配方法解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （2）移项得，两边平方得，整理得， 解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验【变式3】解方程：【答案】，【解析】令，则，原方程即为，解得：，则有或，解得：，经检验，都是原方程的根【总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察无理方程含未知数的根式之

7、间的联系【变式4】解方程： （1）； （2）【答案】（1），；（2），【解析】（1）令，得，原方程即， 整理得，解得：（舍），令，平方整理得，解得：，经检验，都是原方程的根；（2）令，得，原方程即，整理得，解得：（舍），令，平方整理得，解得：，经检验，都是原方程的根【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据元的取值范围舍去增根【变式5】解下列方程：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）移项得，两边平方得，移项得，两边平方得，解得：，经检验，是原方程的根； （2）两边平方得，移项得，两边平方整理得，配方法解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根是【总结】考查含有多个二次根式的无

8、理方程的解法，两边多次平方即可【变式6】解下列方程：【答案】【解析】平方得，移项得，两边平方整理得，解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根是【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可【变式7】解下列方程：【答案】【解析】令，则有，由此原方程可变形得：，整理即为，因式分解法解得：，即或，由，整理得，解得：， 经检验，是原方程的增根，由，可解得：，经检验，是原方程的增根，综上所述，原方程的根是【总结】考查较复杂的换元法的转化解无理方程，注意方程增根的检验题型四：无理方程的根的讨论【例4】关于的方程有一个增根x=4，求：（1） a的值；（2） 方程的根【答案】（1）；（2）

9、【解析】（1）移项，两边平方得：，移项得， 两边平方得：，将代入有， 整理得，解得：，当时，是方程增根，当时，不是方程增根，由此即得； （2）将代入上述平方整理的方程即有，移项整理得，解得：，由题意可得是原方程的增根，即得原方程的根是【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可【变式1】若方程有一个根是，求实数m的值【答案】【解析】因为方程有一个根是，所以代入得，平方整理得， 解得：，经检验，是方程的增根，应舍去，即得【总结】考查无理方程根的意义，代入转化为其它未知数的求值即可【变式2】若关于x的无理方程有实数根，求k的取值范围 【答案】或【解析】令，则有，原方程即为，整理即

10、为，当时，则有是增根，应舍去；当时，分解因式得，解得：（舍），因为方程有实数根，则应有，分类讨论得或，即得的取值范围为或【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算【变式3】若关于x的方程只有一个实数根，求m的取值范围【答案】【解析】令，则有，原方程即为，整理即为，因为方程只有一个实数根，则方程有且仅有一根满足，则另一根必满足，根据韦达定理可得：，得的取值范围是【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算题型五：无理方程的应用【例5】用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米，求这个直角三角形的另两条边的长度【

11、答案】和【解析】设另外一条直角边长为，根据勾股定理可得斜边长为，依题意可得，解得：，经检验，是原方程的根且符合 题意，则斜边长为，即另两边长分别为和【总结】考查直角三角形勾股定理的应用，用周长列式解题，注意应用题也要验根【变式1】建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原场地的面积【答案】【解析】设原场地的边长为，则扩大后场边长为， 依题意得，整理得， 解得：，（舍），由此得原场地面积为【总结】考查根据题意找准等量关系列方程解应用题，注意单位的统一【变式2】如果轴上一点P到两点A（3

12、，5）、B（-1，-2）的距离相等，求P点的坐标【答案】【解析】设点，根据两点间距离公式依题意可得， 平方得，解得：，经检验，是原方程的根， 即【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题【变式3】与为两条互相垂直的大路，小李和老王从十字路口O点同时出发，分别沿着图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进，到达A与B地，一座学校座落于距8千米，距5千米的P处，问：经过多少时间，两人距离学校的路程刚好相等？是几千米？ABPNMOl1l2【答案】经过两人距离学校路程相等【解析】设经过两人距离学校距离相等，即， 则有， 根据勾股定理，依题意可得：，平方整理得，解得：，经检验，都是原方程的根，

13、但不符合题意，应舍去，即经过两人距离学校路程相等【总结】考查利用勾股定理列方程，注意找准等量关系【变式4】有一群蜜蜂，一部分飞进了枸杞里，其个数等于总数的一半的平方根，还有全体的遗留在后面，此外，这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着，它被一个坠入香花陷阱的同伴的呻吟声所吸引试问：这群蜜蜂共有多少个?【答案】这群小蜜蜂共有72个【解析】设这群蜜蜂共有个，根据蜂群总数，依题意可得，平方整理得，解得：， 经检验，是原方程的增根，即得这群小蜜蜂共有72个【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意计算不要遗漏一、单选题1（2023下上海静安八年级统考期末）下列方程中，属于无理方程的是（）ABCD【答案】B【

14、分析】根据无理方程的定义进行解答，根号内含有未知数的方程为无理方程【详解】A项的根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，B项的根号内有未知数，所以是无理方程，故本选项正确，C项的根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，D项的根号内不含有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，故选：B【点睛】本题主要考查无理方程的定义，关键在于分析看看哪一项符合无理方程的定义2（2023下上海虹口八年级统考期末）方程的解是（）ABCD【答案】C【分析】将等式两边同时平方得到一元一次方程，解方程并检验即可解题.【详解】解：将方程两边平方得，解得：经检验：是原无理方程的解；故选C【点睛】本题考查

15、了无理方程及一元一次方程的解法，解本题的关键是注意解出方程之后一定要进行检验，确保式子有意义3（2023下上海静安八年级上海市回民中学校考期中）如果关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】先把原方程化为，根据方程无解结合算术平方根的非负形可知，由此即可得到答案【详解】解：，关于x的方程没有实数根，故选D【点睛】本题主要考查了无理方程，正确理解题意是解题的关键4（2023下上海普陀八年级校考阶段练习）下列方程没有实数根的个数是（）（1），（2），（3），（4）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】根据算术平方根的含义可判断A，通过解方程可判断B，根据未知数的取

16、值范围可判断C，通过解方程可判断D，从而可得答案【详解】解：，由算术平方根的含义可得方程无解；，解得：，经检验是原方程的解；，由，解得：，不等式组无解，原方程无解；，经检验是增根，原方程无解方程没有实数根的个数有3个，故选C【点睛】本题考查的是分式方程，无理方程有无解问题，选择合适的方法进行判断是解本题的关键5（2021下上海浦东新八年级校考期中）下列方程有实数根的是（）.ABCD【答案】B【分析】根据二次根式的性质可以判断A；根据立方根的定义可判断B；根据解分式方程的方法和分式方程有意义的条件可以判断C；利用根的判别式可以判定D【详解】解：A、，方程没有实数根，故该选项不符合题意；B、，方程

17、有实数根，故该选项符合题意；C、去分母得，检验当时，原方程无解，方程没有实数根，故该选项不符合题意；D、，方程没有的实数根，故该选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查解方程，关键是要牢记各种方程的求解方法及根的判别式，一元二次方程有实数根的条件是，分式方程的分母不能为0，二次根式具有双重非负性二、填空题6（2023下上海杨浦八年级统考期末）如果关于的方程无实数解，那么的取值范围是 【答案】/【分析】根据无理方程和二次根式的非负性解答即可【详解】解：，；故答案为：【点睛】本题考查了无理方程和二次根式的非负性，熟知二次根式是解题关键7（2023下上海宝山八年级统考期末）方程的根是 【答案】【

18、分析】先把无理方程化为或，分别求解，再检验，即可【详解】解：，或，解得：或，检验：为方程的根，不是方程的根，故答案为【点睛】本题主要考查解无理方程，无理方程要对根进行检验8（2023下上海虹口八年级上外附中校考期末）关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的范围为 【答案】【分析】利用平方法将原方程转化为一元二次方程，然后根据判别式的意义解不等式即可【详解】解：，关于x的方程有两个不相等的实数解，解得，故答案为：【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式：当0，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根9（2023下上海徐汇八年级上海市西南模范中学校考期末）如果关于

19、的无理方程有实数根，那么的值为 【答案】【分析】把方程两边平方去根号得一元二次方程，然后将代入方程即可求出值【详解】解：，两边同时平方可得： 实数根是方程的解，代入方程，可解得，故答案为：【点睛】本题主要考查了无理方程的解法，熟练掌握解无理方程的方法两边平方法及换元法，本题用了平方法，是解答本题的关键10（2023下上海浦东新八年级校考期末）若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是 【答案】【分析】先将原方程变换为，再根据算术平方根的非负性列不等式求解即可【详解】解：，即故答案为：【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，掌握算术平方根大于等于零成为解答本题的关键11（2023下上海八年级专题

20、练习）方程的根为 【答案】4【分析】本题考查了无理方程的求解和二次根式的性质，首先根据二次根式的基本性质得出x的取值范围，将无理方程两边平方取消二次根号，整理得一元二次方程，解一元二次方程，将解代回x的取值范围验算即可得出答案【详解】解：由二次根式性质得：且，将两边平方得：，整理得：，分解因式：，得：，故答案为：4三、解答题12（2023下上海虹口八年级上外附中校考期末）【答案】【分析】方程两边平方去根号，求出方程的解，再进行检验即可【详解】解：，方程两边平方，得，整理得，解得：或，经检验是原方程的解，不是原方程的解，即无理方程的解是【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解

21、此题的关键13（2023下上海宝山八年级校考期中）解方程：【答案】原方程无解【分析】先移项，再两边平方，再整理可得，从而可得原方程无解【详解】解：，两边平方得：，整理得：，而，原方程无解【点睛】本题考查的是无理方程的解法，掌握解无理方程的方法与步骤是解本题的关键14（2023下上海虹口八年级上外附中校考期末）【答案】【分析】利用平方法将原方程通过变形转化为有理方程，然后计算求解【详解】解：经检验，是原方程的解，原方程的解为【点睛】本题主要考查了平方法解无理方程，掌握完全平方公式是解题关键，另外注意无理方程的结果要进行检验15（2023下八年级单元测试）求直角坐标平面内到的距离都等于15的点的坐

22、标【答案】（9，3）或（-9，3）【分析】设满足题意的点为A（x，y），再根据两点距离公式列方程组，解方程即可求得点A的坐标【详解】解：设满足题意的点为A（x，y），由题意得，解得，或，经检验，两组都是方程组的解，所以A（9，3）或A（-9，3）答：直角坐标平面内到的距离都等于15的点的坐标为（9，3）或（-9，3）【点睛】本题考查了平面直角坐标系，无理方程的应用，掌握两点距离公式列方程组是解题的关键16（2023下八年级单元测试）阅读下列材料，解决问题：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各

23、类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如：一元三次方程x3+x22x0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x2）0，解方程x0和x2+x20，可得方程x3+x22x0的解（1）方程x36x216x0的解是x10，x2，x3；（2）用“转化”的思想求方程（x2+x2）2+（2x27x+6）2（3x26x+4）2的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD8m，宽AB3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走

24、到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C求AP的长【答案】（1）2，8；（2）x12，x21，x3，x42；（3）4米【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）分析方程的结构，发现（x2+x2）2+（2x27x+6）2（3x26x+4）2，所以有（x2+3x4）2+（2x27x+6）2（x2+x2）+（2x27x+6）2，得到2（x2+3x4）（2x27x+6）0，然后得到两个一元二次方程，求出方程有四个根；（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解【详解】解：（1）x36x216x0，x（

25、x26x16）0，x（x+2）（x8）0所以x0或x+20或x80x10，x22，x38；故答案为：2，8；（2）（x2+x2）2+（2x27x+6）2（3x26x+4）2（x2+x2）2+（2x27x+6）2（x2+x2）+（2x27x+6）22（x2+x2）（2x27x+6）（3x26x+4）22（x2+x2）（2x27x+6）0（x2+x2）（2x27x+6）0（x+2）（x1）（2x3）（x2）0x+20或x10或2x30或x20解得x12，x21，x3，x42；（3）因为四边形ABCD是矩形，所以AD90，ABCD3m设APxm，则PD（8x）m因为BP+CP10，BP，CP1010

26、两边平方，得（8x）2+910020+9+x2整理，得54x+9两边平方并整理，得x28x+160即（x4）20所以x4经检验，x4是方程的解答：AP的长为4m【点睛】本题考查矩形的性质、解一元二次方程-因式分解法、无理方程、一元二次方程的应用，理解相关性质和计算法则是解题关键17（2023下上海八年级专题练习）m、n为两条互相垂直的笔直公路，工厂A在公路n上，距公路m为1千米，B与工厂A在公路m的同侧，且距公路m为2千米，距公路n为3千米现要在公路m上建造一个车站P，使它与A、B的距离之和为千米，求P的位置【答案】点P在两道路交点上下方或处【分析】建立平面直角坐标系，直接根据勾股定理列出方程

27、即可求解【详解】解：以公路、分别为、轴建立平面直角坐标系，依题意得，或，设，依题意可得或，整理得或，解得：，经检验均是原方程的解，但，不符合题意，故舍去，所以点P在两道路交点上下方或处【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用18（2023下上海黄浦八年级统考期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在九章算术对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：若两个方程有相同

28、的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”(1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；(2)已知关于，的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；(3)已知关于，的二元一次方程：和（其中为整数）是“相伴方程”，求的值【答案】(1)是相似方程，见解析(2)不是相似方程，见解析(3)，或【分析】（1）分别求出分式方程和无理方程的解，然后根据“相似方程”的定义进行判断即可；（2）联立两个方程，求出公共解，应用“相似方程”的定义进行判断即可；（3）联立两个方程得到，再分当，当时，两种情况讨论求解即可【详解】（1）解：是相似方程，理由如下：，给方程两边同时乘以，得，化简得，解得，舍去，因为分式方程与无理方程有一个相同的解，所以分式方程与无理方程是“相似方程”；（2）不是相似方程，理由如下：，和，它们不是“相似方程”；（3）根据题意可得：，解得：，当时，不符合题意，当时，则，都是整数，或【点睛】本题主要考查了解分式方程，解无理方程，解二元一次方程组，解不等式组等，正确理解题意时解决本题的关键