专题11 二次函数与矩形、菱形的存在性问题（知识解读）（解析版）.docx

1、专题11 二次函数与矩形、菱形的存在性问题（知识解读）【专题说明】二次函数为载体的矩形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高【解题思路】 考点1 矩形存在性问题1.矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角为直角的四边形2.题型分析矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：（AC为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存

2、在性问题至少有2个动点，多则可以有3个下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；（2）1个定点+3个半动点思路1：先直角，再矩形在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点对“2定+1半动+1全动”尤其适用【例题】已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标解：点 C 满足以 A、B、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的 点 C 有在点 C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点 D 的坐标 思路2：先平行，再矩形当AC为对角线时，

3、A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组考点2 菱形存在性问题1 菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2坐标系中的菱形： 有 3 个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有 3 个未知量，与矩形相同 3解题思路： （1）思路 1：先等腰，再菱形 在构成菱形的 4 个点中任取 3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确 定第 3 个点，再确定第 4 个点 （2）思路 2：先平行，再菱形 设

4、点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（AC、BD 为对角线），再结合一组邻 边相等，得到方程组方法总结： 菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。【典例分析】【考点1 矩形的存在性问题】【典例1】（2022鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与坐标轴交于A（0，2），B（4，0）两点，直线BC：y2x+8交y轴于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）yx2x2； （2）点M坐标为（4，6）【解答】解：（1）把A（0，2），

5、B（4，0）代入抛物线yx2+bx+c，得，解得：，该抛物线的解析式为yx2x2；（2）存在过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线相较于M，则M即为所求在y2x+8中，令x0，则y8，C（0，8），A（0，2），B（4，0），AB242+2220，BC242+8280，AC2102100，AC2AB2+BC2，ABC90，CMAB，AMBC，四边形ABCM是矩形，设直线AB的解析式为ykx+m，则，解得：，直线AB的解析式为yx2，CMAB，直线CM的解析式为yx+8，AMBC，直线BC的解析式为y2x2，联立方程组，解得：，点M坐标为（4，6）【变式1-1】（2022随州）如图

6、1，平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x1，且OAOC，P为抛物线上一动点（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x+3； （2）当m时，S的值最大，最大值为，此时P（，）；（3）P（1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P（，），N（

7、，0）【解答】解：（1）抛物线的对称轴是直线x1，抛物线交x轴于点A，B（1，0），A（3，0），OAOC3，C（0，3），可以假设抛物线的解析式为ya（x+3）（x1），把（0，3）代入抛物线的解析式，得a1，抛物线的解析式为yx22x+3；（2）如图（2）中，连接OP设P（m，m22m+3），SSPAO+SPOC+SOBC，3（m22m+3）3（m）+13（m23m+4）（m+）2+，0，当m时，S的值最大，最大值为，此时P（，）；（3）存在，理由如下：如图31中，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P（1，4），N（0，4）；如图32中，当四边形PMCN是矩形时，设M（1，n），

8、P（t，t22t+3），则N（t+1，0），由题意，解得，消去n得，3t2+5t100，解得t，P（，），N（，0）或P（，），N（，0）综上所述，满足条件的点P（1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P（，），N（，0）【变式1-2】（辽阳）如图，直线yx3与坐标轴交于A、B两点，抛物线yx2+bx+c经过点B，与直线yx3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） yx2x3 （2）点Q的坐标为：（2，8

9、）或（16，29）【解答】解：（1）直线yx3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式yx2x3，则：C（6，0）；（2）存在当BC为矩形对角线时，矩形BPCQ所在的位置如图所示，设：P（m，n），nm2m3，PC所在直线的k1，PB所在的直线k2，则：k1k21，、联立得：0，解得：m0或6，这两个点分别和点B、C重合，与题意不符，故：这种情况不存在，舍去当BC为矩形一边时，情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：yx3，则：直线BP的k为2，所在的方程为y2x3，联立解得点P（4，5），则Q（2，8），情

10、况二：矩形BCPQ所在的位置如图所示，此时，P在抛物线上，其坐标为：（10，32），Q坐标为（16，29）故：存在矩形，点Q的坐标为：（2，8）或（16，29）【考点2 菱形的存在性问题】【典例2】如图，抛物线yax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+

11、bx+3交x轴于A（3，0），B（1，0）两点，解得：，该抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）在yx2+2x+3中，令x0，得y3，C（0，3），PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，当PB+PC最小时，PBC的周长最小如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点APBP，PBC周长的最小值是AC+BC，A（3，0），B（1，0），C（0，3），AC3，BCPBC周长的最小值是：3+抛物线对称轴为直线x1，设直线AC的解析式为ykx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，直线AC的解析式为yx+3，P（1，2）；（3）存在设P（1，t），Q（

12、m，n）A（3，0），C（0，3），则AC232+3218，AP2（13）2+t2t2+4，PC212+（t3）2t26t+10，四边形ACPQ是菱形，分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，当以AP为对角线时，则CPCA，如图2，t26t+1018，解得：t3，P1（1，3），P2（1，3+），四边形ACPQ是菱形，AP与CQ互相垂直平分，即AP与CQ的中点重合，当P1（1，3）时，解得：m4，n，Q1（4，），当P2（1，3+）时，解得：m4，n，Q2（4，），以AC为对角线时，则PCAP，如图3，t26t+10t2+4，解得：t1，P3（1，1），四边形APCQ是菱形

13、，AC与PQ互相垂直平分，即AC与CQ中点重合，解得：m2，n2，Q3（2，2），当以CP为对角线时，则APAC，如图4，t2+418，解得：t，P4（1，），P5（1，），四边形ACQP是菱形，AQ与CP互相垂直平分，即AQ与CP的中点重合，解得：m2，n3，Q4（2，3+），Q5（2，3），综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（2，3+），Q5（2，3）【变式2-1】如图，在直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的

14、垂线交直线l：yx于点Q当0m3时，求当P点到直线l：yx的距离最大时m的值；是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值【解答】解：（1）由二次函数yx2+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）和点B（3，0），得：，解得：，yx22x3，b2，c3（2）点P（m，n）在抛物线上yx22x3，P（m，m22m3），PQm（m22m3）m2+3m+3（m）2+，过P作x轴的垂线交直线l：yx于点Q，Q（m，m），设点P到直线yx的距离为h，直线yx是一三象限的角平分线，PQh，当P点到直线l：yx的距离最大时，PQ取得最大值，当m时，PQ

15、有最大值，当P点到直线l：yx的距离最大时，m的值为抛物线与y轴交于点C，x0时，y3，C（0，3），OCPQ，且以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，PQOC，又OC3，PQ|m2+3m+3|，3|m2+3m+3|，解得：m10，m23，m3，m4，当m10时，PQ与OC重合，菱形不成立，舍去；当m23时，P（3，0），Q（3，3），此时，四边形OCPQ是平行四边形，OQ，OQOC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；当m3时，Q（，），此时，四边形OCQP是平行四边形，OQ，CQOC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；当m4时，Q（，），此时，四边形OCQP是平行四边形，OQ，OQOC，平

16、行四边形OCPQ不是菱形，舍去；综上所述：不存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形【变式2-2】综合与探究如图，抛物线yx2+2x6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N当SDMNSAOC时，请直接写出DM的长【解答】解：（1）当y

17、0时，x2+2x60，解得x16，x22，A（6，0），B（2，0），当x0时，y6，C（0，6），A（6，0），C（0，6），直线AC的函数表达式为yx6，B（2，0），C（0，6），直线BC的函数表达式为y3x6；（2）存在：设点D的坐标为（m，m6），其中6m0，B（2，0），C（0，6），BD2（m2）2+（m+6）2，BC222+6240，DC2m2+（m6+6）22m2，DEBC，当DEBC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：如图，当BDBC时，四边形BDEC为菱形，BD2BC2，（m2）2+（m+6）240，解得：m14，m20（舍去），点D的坐标为（4

18、，2），点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，点E的坐标为（6，8）；如图，当CDCB时，四边形CBED为菱形，CD2CB2，2m240，解得：m12，m22（舍去），点D的坐标为（2，26），点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，点E的坐标为（22，2）；综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（6，8）或（22，2）；设点D的坐标为（m，m6），其中6m0，A（6，0），B（2，0），抛物线的对称轴为直线x2，直线BC的函数表达式为y3x6，直线lBC，设直线l的解析式为y3x+b，点D的坐标（m，m6），b4m6，M（2

19、，4m12），抛物线的对称轴与直线AC交于点NN（2，4），MN4m12+44m8，SDMNSAOC，（4m8）（2m）66，整理得：m2+4m50，解得：m15，m21（舍去），点D的坐标为（5，1），点M的坐标为（2，8），DM3，答：DM的长为3【变式2-3】如图，二次函数yx2+bx+c的图象交x轴于点A（3，0），B（1，0），交y轴于点 C点P（m，0）是x轴上的一动点，PMx轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形若

20、存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）把A（3，0），B（1，0）代入yx2+bx+c中，得，解得，yx2+2x3（2）设直线AC的表达式为ykx+b，把A（3，0），C（0，3）代入ykx+b得，解得，yx3，点P（m，0）是x轴上的一动点，且PMx轴M（m，m3），N（m，m2+2m3），MN（m3）（m2+2m3）m23m（m+）2+，a10，此函数有最大值又点P在线段OA上运动，且30，当m时，MN有最大值如图21中，当点M在线段AC上，MNMC，四边形MNQC是菱形时MNm23m，MCm，m23mm，解得m3+或0（舍弃）MN32，CQMN32，OQ3+1，Q（0，31）如图22中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CNMNCQ2，可得Q（0，1）如图23中，当点M在CA延长线上时，MNCM，四边形MNQC是菱形时，则有，m2+3mm，解得m3或0（舍弃），MNCQ3+2，OQCQOC31，Q（0，31）当点P在y轴的右侧时，显然MNCM，此时满足条件的菱形不存在综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，31）或（0，1）或（0，31）