专题11 最值模型-阿氏圆问题（原卷版）.docx

1、专题11 最值模型-阿氏圆问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=kPB（k1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。【模型解读】如图 1 所示，O的半径为 r，点 A、B都在O 外，P为O上一动点，已知r=kOB， 连接PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k

2、r，则可说明BPO与PCO相似，即kPB=PC。故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。例1（2022安徽九年级期末）如图，在RtABC中，ACB90，CB7，AC9，以C为圆心、3为半径作C，P为C上一动点，连接AP、BP，则APBP的最小值为（）A7B5CD例2（2

3、020广西中考真题）如图，在Rt中，ABAC4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_例3（2022四川成都模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_例4（2022浙江舟山九年级期末）如图，矩形中，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（）ABCD例5（2022广东广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且，则4PD+2PC的最小值为_例6（2

4、021浙江金华一模）问题提出：如图1，在等边ABC中，AB9，C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD1，则有又PCD PDBPAP+BPAP+PD当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 (2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC6，AB8，P为矩形内部一点，且PB4，则AP+PC的最小值为 (请在图3中添加相应的辅助线)(

5、3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，COD120，OC4OA2，OB3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程例7（2022广东二模）（1）初步研究：如图1，在PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，A的半径为2，点P是A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，A=60，A的半径为2，点P是A上的一个动点，求2PCPB的最大值例8（2022江苏苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点，

6、则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在上取点，使得；第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分)：解：在上取点，使得，又.任务：将以上解答过程补充完整.如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值.课后专项训练1（2022福建南平九年级期中）如图，在RtABC中，ACB90，CB7，AC9，以C为圆心、3为半径作C，P为C上一动点，连接

7、AP、BP，则AP+BP的最小值为（）A3.B4C3D52（2022江苏无锡市九年级期中）如图，O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 _3（2022陕西三模）如图，在四边形中， ，对角线，设，则的最小值为 _4（2022湖北武汉模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 = k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在ABC 中，CB = 4 ， AB= 2AC ，则ABC 面积的最大值为_5（2022浙江九年

8、级期中）如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为6（2022江苏苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _7（2022山西九年级专题练习）如图，在中，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是_ 8（2022湖北九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，B的半径为2，点P是B上的一个动点，则PDPC的最大值为_9（2022北京九年

9、级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为O，P是O上一动点，则PAPB的最小值为_10（2022山东九年级专题练习）如图，在中，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值_最小值_11（2022重庆九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD的最小值为_，PD的最大值为_（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，B60，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD的最小值为_，PD的最大值为_12（2022江苏淮安九年级期中）问题提出：如图1，在等边ABC中，AB=12，C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+

10、BP的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有=，又PCD=BCP，PCDBCP，=，PD=BP，AP+BP=AP+PD请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，AP+PC的最小值为（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，COD=120，OC=4，OA=2，OB=3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程13（2022湖北九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，

11、点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值（2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值（3）如图3，已知菱形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值的最小值 14（2022山东聊城二模）如图，抛物线经过点，直线AC的解析式为，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作轴交AC于点F（1）求抛物线的解析式；（2）点H是y轴上一动点，连结EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形?求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M

12、为上以动点，求的最小值15（2022江苏泰州一模）如图，已知中，是上的一点，点是线段上的一个动点，沿折叠，点与重合，连接(1)求证：；(2)若点是上的一点，且，若与的面积比是，请用无刻度的直尺和圆规在图（2）中作出折叠后的（保留作图痕迹，不写作法）；求的最小值16（2022广东九年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD，AB4，以顶点B为直角顶点的等腰RtBEF绕点B旋转，BEBF，连接AE，CF(1)求证：ABECBF(2)如图2，连接DE，当DEBE时，求SBCF的值（SBCF表示BCF的面积）(3)如图3，当RtBEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值17（2022河北九年级专题练习）如图1，在RTABC中，ACB90，CB4，CA6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：，的最小值