专题12二次函数菱形存在性综合应用（专项训练）（解析版）.docx

1、专题12 二次函数菱形存在性综合应用（专项训练）1如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yax2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中OAOC2OB，D（0，4）是OA的中点（1）求该二次函数的解析式（2）如图1，若E为该抛物线在第一象限内的一动点，点F在该抛物线的对称轴上，求使得ECD的面积取最大值时点E的坐标，并求出此时EF+CF的最小值（3）如图2，将抛物线C1向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2，M为抛物线C2上一动点，N为平面内一动点，是否存在这样的点M，N使得四边形DMCN为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）D（0，4）

2、是OA的中点，OA8OAOC2OB，A（0，8），B（4，0），C（8，0），将A（0，8），B（4，0），C（8，0）代入yax2+bx+c，得，解得：二次函数的解析式为：yx2+x+8（2）yx2+x+8（x2）2+9，对称轴为直线x2，令y0，则x2+x+80，x4或x8，C（8，0），设直线CD的解析式为ykx+b，yx+4，过点E作EHx轴交CD于点H，设E（m，m2+m+8），F（2，n），则H（m，m+4），EHm2+m+8+m4m2+m+4，SECD8（m2+m+4）m2+6m+16（m3）2+25，当m3时，SECD的面积有最大值25，此时E（3，），连接BE，交对称轴于点F

3、，连接CF，B点与C点关于对称轴x2对称，BFCF，CF+EFBF+EFBE，当B、E、F三点共线时，EF+CF有最小值，最小值为BE，BE；（3）存在点M、N使得四边形DMCN为菱形，理由如下：平移后的抛物线为y（x22）2+95（x4）2+4x2+2x，设M（t，t2+2t），N（x，y），四边形DMCN为菱形，DC与MN为对角线，CNCM，（x8）2+y2（t8）2+（t2+2t）2，t2+（4+t22t）2（t8）2+（t2+2t）2，t2或x2，M（2，6+4）或（2，64）2如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0）与y轴交于点C（0，4），连接AC，BC（1）求抛

4、物线的解析式；（2）如图1，点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到AB，AC距离相等时，求点P的坐标；（3）如图2，点M在抛物线上，点N在直线BC上，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使四边形BMNQ为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将B（4，0），C（0，4）代入yx2+bx+c，解得，抛物线的解析式为yx2x+4；（2）令y0，则x2x+40，解得x3或x4，A（3，0），点P到AB，AC距离相等，P点在CAB的角平分线上，设AP与y轴交于点E，过E作EFAC交于F点，OA3，CO4，AC5，CF2，在RtCEF中，CE2CF2+EF2，即（4OE

5、）2OE2+4，解得OE，E（0，），设直线AE的解析式为ykx+m，解得，yx+，联立方程组，解得或，P（，）；（3）存在点Q，使四边形BMNQ为菱形，理由如下；yx2x+4（x+）2+，抛物线的对称轴为直线x，设直线BC的解析式为ykx+m，解得，yx+4，设Q（，t），四边形BMNQ为菱形，M点与Q点关于直线BC对称，M（t4，），（t4）2（t4）+4，解得t或t，Q（，）（舍）或（，），Q点坐标为（，）3如图，抛物线yx2+bx+c经过A（2，4），B（2，0）两点，与y轴交于点C，DEAB，DE在直线AB上滑动，以DE为斜边，在AB的下方作等腰直角DEF（1）求抛物线的解析式；（2

6、）当DEF与抛物线有公共点时，求点E的横坐标t的取值范围；（3）在DEF滑动过程中是否存在点P，使以C，D，E，P为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将A（2，4），B（2，0）代入yx2+bx+c，解得，抛物线的解析式为yx2x2；（2）设直线AB的解析式为ykx+m，解得，yx+2，E点的横坐标为t，E（t，t+2），A（2，4），B（2，0），AB4，DEAB，DE2，DEF是等腰直角三角形，DFEF2，F（t2，t+2），D（t2，t+4），当E点与A点重合时，t2，当F点在抛物线上时，（t2）2（t2）2t+2，解得t2+或t2，2

7、t2时，DEF与抛物线有公共点；当E点与B点重合时，t2，当D点与B点重合时，t22，解得t4，2t4时，DEF与抛物线有公共点；综上所述：2t2或2t4时，DEF与抛物线有公共点；（3）存在点P，使以C，D，E，P为顶点的四边形为菱形，理由如下：由（2）知，E（t，t+2），D（t2，t+4），C（0，2），设P（x，y），当CD为菱形的对角线时，CEDE，解得，P（2，0）；当CE为菱形的对角线时，CDDE，解得，P（2，4）；当CP为菱形的对角线时，CECD，解得，P（4，2）；综上所述：P点坐标为（2，0）或（2，4）或（4，2）4如图，抛物线yax2+3x+c（a0）与x轴交于点A（

8、2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E（1）求抛物线的解析式；（2）求BCP的面积最大值；（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点是否存在点M，使得BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由请在平面内找到一点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形，并直接写出N点的坐标【解答】解：（1）将A（2，0），C（0，8）代入yax2+3x+c，解得，yx2+3x+8； （2）令y0，则x2+3x+80，解得x2或x8，B（8，0），设直线BC的解析式为ykx+b，解得，yx+8，过点P作PG

9、y轴交BC于G，设P（t，t2+3t+8），则G（t，t+8），PGt2+3t+8+t8t2+4t，SCBP8（t2+4t）2t2+16t2（t4）2+32，当t4时，BCP的面积有最大值，最大值为32；（3）存在点M，使得BEM为等腰三角形，理由如下：yx2+3x+8（x3）2+，抛物线的对称轴为直线x3，E（3，5），设M（3，m），BE5，BM，EM|m5|，当BEBM时，5，解得m5（舍）或m5，M（3，5）；当BEEM时，5|m5|，解得m5+5或m5+5，M（3，5+5）或（3，5+5）；当BMEM时，|m5|，解得m0，M（3，0）；综上所述：M点坐标为（3，0）或（3，5）或（

10、3，5+5）或（3，5+5）；设N（x，y），M（3，m），当BE为菱形的对角线时，BMEM，解得，N（8，5）；当BM为菱形的对角线时，BEEM，解得或，N（8，5）或（8，5）；当BN为菱形的对角线时，BEBM，解得（舍）或，N（2，0）；综上所述：N点坐标为（8，5）或（8，5）或（8，5）或（2，0）5如图，抛物线yax2+bx+6（a0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得BMO45，过点O作OHOM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点

11、P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+6经过点A（1，0），B（3，0）两点，解得：，抛物线的解析式为y2x2+4x+6；（2）由（1）得，点C（0，6），设直线BC的解析式为ykx+c，直线BC经过点B（3，0），C（0，6），解得：直线BC的解析式为y2x+6，设点M的坐标为（m，2m+6）（0m3），如图1，过点M作MNy轴于点N，过点H作HKy轴于点K，则MNOOKH90，OHOM，MOH90，OMB45，MOH是等腰直角三角形，OMOHMON+KOH90，OHK+KOH90，MONOHK

12、，OMNHOK（AAS），MNOK，ONHKH（2m+6，m），点H（2m+6，m）在直线y2x+6上，2（2m+6）m，解得：m，把m代入y2x+6得：y，当OMB45时，点M的坐标为（）；（3）存在，理由如下：抛物线的解析式为y2x2+4x+62（x1）2+8，顶点为D，点D的坐标为（1，8），分两种情况讨论：当CD为菱形的边时，如图2，过C作CEDQ于EC（0，6），D（1，8），CD，DQCD，Q点的坐标为（1，8）或（1，8+）；当CD为菱形的对角线时，如图3，设点Q（1，m），P（0，n），C（0，6），D（1，8），m+n6+814，n14m，P（0，14m），PC14m68m，

13、CQ，PCCQ，8m，解得：m，点Q的坐标为（1，）；综上所述，点Q的坐标为（1，8）或（1，8+）或（1，）6如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB3OA3，点P是抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式及点C坐标；（2）如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）OB3OA

14、3，B（3，0），A（1，0），将（3，0），（1，0）代入yx2+bx+c得，解得，yx2+2x+3，将x0代入yx2+2x+3得y3，点C坐标为（0，3）（2）设直线BC解析式为ykx+b，将（3，0），（0，3）代入ykx+b得，解得，yx+3，作PFx轴交BC于点F，OBOC，CBO45，PEx轴，PEFOBC45，PFPE，设点P坐标为（m，m2+2m+3），则点F坐标为（m，m+3）PFPEm2+2m+3（m+3）m2+3m（m）2+，m时，PE的最大值为，此时点P坐标为（，）（3）如图，PMCM，设点P坐标为（m，m2+2m+3），则M（m，m+3），由（2）得PMm2+3m，点

15、C坐标为（0，3），CMm，m2+3mm，解得m0（舍）或m3，GCCM32，OGOC+CG3+323+1，点G坐标为（0，3+1）如图，PMCG时四边形PCGM为平行四边形，PGCM时四边形PCGM为菱形，PMm2+3m，点C坐标为（0，3），点G坐标为（0，m23m+3），作GNPM，CBO45，GPNPMCBNQ45，GNPN，即mm2+2m+3（m23m+3），解得m0（舍）或m2，点G坐标为（0，1）如图，PMCM，由可得m23mm，解得m3+，PMCGCM3+2，点G坐标为（0，13）综上所述，点G坐标为（0，3+1）或（0，1）或（0，13）7如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx

16、2+bx+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若BPD90，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将点A（1，0）、点C（0，3）代入yx2+bx+c，解得，yx2+2x+3，yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线的对称轴为直线x1；（2）令x2+2x+30，解得x1（舍去）或x3，B（3，0），点D与点C关于对称轴对称，D（2，3），BD的中点H为

17、（，），BD，BPD90，PHBD，设P（1，t），（）2+（t）210，解得t1或t2，P（1，1）或（1，2）；（3）存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，理由如下：设M（m，m2+2m+3），N（1，n），当AB为菱形的对角线时，AMAN，解得，N（1，4）；当AM为菱形对角线时，ABAN，此时无解；当AN为菱形对角线时，ABAM，此时无解；综上所述：N点坐标为（1，4）8已知：抛物线yax2+bx+c经过A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设k，求当k取最大值

18、时点P的坐标，并求此时k的值；（3）如图2，D（m，0）是x的正半轴上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将CMN沿CN翻折，M的对应点为M在图2中探究：是否存在点D，使得四边形CMNM是菱形？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+c经过A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，解得，抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）如下图，过点P作PHy轴交直线BC于点H，PEHOEC，k，OC3，kPH，设直线BC的解析式为ysx+t，B（3，0），C（0，3），解得，直线BC的解析式为yx+3，设点P（t，t

19、2+2t+3），则H（t，t+3），PHt2+2t+3（t+3）t2+3t，k（t2+3t）（t23t）（t）2+，当t时，k取得最大值为，此时P点的坐标为（，）；（3）存在；由折叠知，MCMC，MNMN，故当MNMC时，四边形CMNM是菱形，设M（m，m+3），则N（m，m2+2m+3），MC|m|，|m2+3m|m|，即m2+3mm，解得m3+或3，综上所述，点D的坐标为（3+，0）或（3，0）9.如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）连接AP，CP，设P点的横

20、坐标为m，ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；（3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）yx2+2x3；（2） SPMOA（m23m）m2m（3m0）；（3） （3）点E的坐标为（+1，）或（3，4）【解答】解：（1）将A（3，0），B（1，0）代入yx2+bx+c得：，解得：，yx2+2x3；（2）如图1，过点P作PMy轴交直线AC于点M，A（3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为：ykx+n，AC的解析式为：yx3，P点的横坐标为m，P

21、的坐标是（m，m2+2m3），则M的坐标是（m，m3），PMm3（m2+2m3）m23m，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，3m0，SPMOA（m23m）m2m（3m0）；（3）分两种情况：如图2，四边形CDEB是菱形，设D（t，t3），则E（t+1，t），四边形CDEB是菱形，CDBC，（t0）2+（t3+3）212+32，t，t0，t，E（+1，）；如图3，四边形CBDE是菱形，设D（t，t3），则E（t1，t6），四边形CBDE是菱形，CEBC，（t10）2+（t6+3）212+32，t0（舍）或2，E（3，4）；综上所述，点E的坐标为（+1，）或（3，4）10.如图，抛物线yax2

22、+bx+3交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD求PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）将抛物线yax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程【答案】（1） yx2+2x+3； （2）P（，）； （3）F点坐标为（2，）或（2，2+）或（2，2）或（2，2）【解答】解：（1）将点A（1，0

23、）和点B（3，0）代入yax2+bx+3，得，解得，yx2+2x+3；（2）令x0，则y3，C（0，3），设直线BC的解析式为ykx+b，yx+3，函数的对称轴为直线x1，D（1，2），过点P作x轴的垂线，交BC于点Q，设P（t，t2+2t+3），则Q（t，t+3），PQt2+3t，SPCD1（t2+3t）（t）2+，当t时，SPCD的最大值为，此时P（，）；（3）yx2+2x+3（x1）2+4向右平移1个单位得到新抛物线为y（x2）2+4，联立，解得x，E（，），新抛物线的对称轴为直线x2，设F（2，m），DE2+，DF21+（m2）2，EF2+（m）2，以D、E、F、G四点为顶点的四边形是

24、菱形时，有三种情况：当EF、FD为邻边，此时EFFD，1+（m2）2+（m）2，解得m，F（2，）；当ED、EF为邻边，此时EDEF，+（m）2，解得m或m2，F（2，2）或F（2，），设直线ED的解析式为ykx+b，yx，当x2时，y，F（2，2）；当DE、DF为邻边，此时DEDF，1+（m2）2，解得m2+或m2，F（2，2+）或F（2，2）；综上所述：F点坐标为（2，）或（2，2+）或（2，2）或（2，2）11.综合与探究：如图1所示，直线yx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c经过点A，C（1）求抛物线的解析式（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，

25、过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N当ANC面积最大时的P点坐标为 ；最大面积为 点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） yx23x+4 （2） （2，2）；8 点D的坐标为（，）或（4，5）或（，）或（，）【解答】解：（1）将A（4，0）代入yx+c，得c4，将A（4，0）和c4代入yx2+bx+c，得164b+40，解得b3，抛物线的解析式为yx23x+4（2）如图2，设点M的坐标为（x，0）（4x0），则P（x，x+4），N（x，x23x+4），PN

26、x23x+4（x+4）x24x，SANCPNAM+PNOMPNOA4（x24x）2（x+2）2+8，当x2时，SANC最大8，此时P（2，2），故答案为：（2，2）；8存在，如图3，菱形BDCF以BC为对角线，连接BC、DF交于点I，DF交y轴于点R，当y0时，由x23x+40得x14，x21，B（1，0），CB，DF与BC互相垂直平分，I为BC的中点，I（，2），CICB，CIRCOB90，RCIBCO，ICROCB，CR，OR4，R（0，），设直线DF的解析式为ykx+，则k+2，解得k，直线DF的解析式为yx+，由得，F（，），点D与点F（，）关于点I（，2）对称，D（，）；如图4，菱形

27、BCDF以CF为对角线，连接BD交CF于点J，连接AD，BD与CF互相垂直平分，AJBAJD90，JBJD，OAOC，AOC90，OACOCA45，JABJBA45，JBJA，JDJA，JADJDA45，DAB90，ADBABD45，ADAB1+45，D（4，5）；如图5，菱形BCFD以CF、CB为邻边，且点D在BC的左侧，设DF交x轴于点T，CFCB，作FLy轴于点L，作DKFL于点K，交x轴于点Q，则CLF90，LFCLCF45，LCLF，LF2+LC22LF22LC2CF2（）217，LFLC，FLOA，DFBC，DFKATFCBO，DKFCOB90，DFCB，DKFCOB（AAS），KFOB1，KDOC，QKOL，QDLC，LK1，D（，）；如图6，菱形BCFD以CF、CB为邻边，且点D在BC的右侧，作FLy轴于点L，作DVy轴于点V，作FKDV于点K，则CLF90，LCFOCA45，LCFLFC45，LFLC，CFCB，LF2+LC22LF22LC2CF2（）217，LFLC，FKOC，FDCB，DFCBCA，KFCOCA，DFKBCO，DFBC，DFKBCO（AAS），FKCO4，KDOB1，DV1+，OV4+4，D（，），综上所述，点D的坐标为（，）或（4，5）或（，）或（，）