专题12 二次函数的图象及性质（10个高频考点）（举一反三）（全国版）（原卷版）.docx

1、专题12 二次函数的图象及性质（10个高频考点）（举一反三） 【考点1 二次函数的定义】1【考点2 二次函数的图象与性质】2【考点3 二次函数的图象与系数的关系】3【考点4 二次函数的对称性】5【考点5 二次函数的最值】6【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】7【考点7 二次函数图象的平移】10【考点8 二次函数与一元二次方程】12【考点9 利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】14【考点10 二次函数与不等式】16【要点1 二次函数的概念】一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，

2、c是常数项y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）也叫做二次函数的一般形式【考点1 二次函数的定义】【例1】（2022安徽合肥校考一模）已知y=m+2xm+2是关于x的二次函数，那么m的值为_【变式1-1】（2022湖南怀化中考真题）下列函数是二次函数的是（ ）Ay=2x+1By=2x+1Cy=x2+2Dy=12x2【变式1-2】（2022重庆永川统考一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（）A正比例函数关系B一次函数关系C反比例函数关系D二次函数关系【变式1-3】（202

3、2江苏徐州统考一模）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象同时满足下列条件：开口向下；当x2时，y随x的增大而减小这样的二次函数的解析式可以是_【要点2 二次函数的图象与性质】二次函数的图象是一条抛物线。当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c对称轴y轴y轴x=hx=h顶点(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a0x0(h或)时，y随x的增大而增大。即在对称轴的

4、左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。a0x0(h或)时，y随x的增大而减小。即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。【考点2 二次函数的图象与性质】【例2】（2022湖北荆门统考中考真题）抛物线yx2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1y2，则下列结论正确的是()A0x1x2Bx2x10Cx2x10或0x1x2D以上都不对【变式2-1】（2022湖南郴州统考中考真题）关于二次函数y=x12+5，下列说法正确的是（）A函数图象的开口向下B函数图象的顶点坐标是1,5C该函数有最大值，是大值是5D当x1时，y随x的增大而增

5、大【变式2-2】（2022青海西宁统考中考真题）如图，ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EFBC设点E到BC的距离为x，DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）ABCD【变式2-3】（2022江苏盐城统考中考真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是_【要点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 二次项系数：总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小一次项系数：在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置，对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就

6、是“左同右异”常数项：总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置【考点3 二次函数的图象与系数的关系】【例3】（2022辽宁朝阳统考中考真题）如图，二次函数yax2+bx+c（a为常数，且a0）的图象过点(1，0)，对称轴为直线x1，且2c3，则下列结论正确的是（）Aabc0B3a+c0Ca2m2+abma2+ab（m为任意实数）D1a23【变式3-1】（2022内蒙古中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)），下列结论：abc0时，x的取值范围是1x3；点2,y1，2,y2都在抛物线上，则有y100)顶点在线段AB上运动，形状保

7、持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：c2；当x0时，一定有y随x的增大而增大；若点D横坐标的最小值为5，点C横坐标的最大值为3；当四边形ABCD为平行四边形时，a=12其中正确的是（）ABCD【变式4-1】（2022四川成都统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是（）Aa0B当x1时，y的值随x值的增大而增大C点B的坐标为(4,0)D4a+2b+c0【变式4-2】（2022北京昌平统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx1(a0)(1)若抛物线过点(4,1)求抛物线的对

8、称轴；当1x0时，图像在x轴的下方，当5xy1y2，设抛物线的对称轴为直线x=t，直接写出t的取值范围【变式4-3】（2022吉林长春统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2bx（b是常数）经过点2,0点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m0）以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ=2m，且PQx轴(1)求该抛物线对应的函数表达式：(2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接BC当BC=4时，求点B的坐标；(3)若m0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；(4)当抛物线与正方形P

9、QMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为34时，直接写出m的值【考点5 二次函数的最值】【例5】（2022浙江衢州统考中考真题）已知二次函数y=a(x1)2a(a0)，当1x4时，y的最小值为4，则a的值为（）A12或4B43或12C43或4D12或4【变式5-1】（2022浙江丽水统考中考真题）如图，已知点Mx1,y1,Nx2,y2在二次函数y=a(x2)21(a0)的图像上，且x2x1=3(1)若二次函数的图像经过点(3,1)求这个二次函数的表达式；若y1=y2，求顶点到MN的距离；(2)当x1xx2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围【变式5-

10、2】（2022山东济南济南育英中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点连接AD交y轴于点E，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，设w=SABG:SBGP，则w的最小值是（）A2425B2524C58D14516【变式5-3】（2022天津滨海新统考二模）已知：抛物线y=13x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当PBC的面积最大时，求点P的坐标；(3)设点M，N是该抛物线对称轴

11、上的两个动点，且MN=2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】【例6】（2022内蒙古中考真题）如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3,0)，D2,52两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标（请在图2中探索）【变式6-1】（2022四川巴中统考中考真题）如图1，抛物

12、线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y0时，1x3(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由【变式6-2】（2022辽宁鞍山统考中考真题）如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A1,0，B两点，与y轴交于点C0,2，连接BC(1)求抛物线的解析式(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线PE与y轴交于

13、点D，BCD的面积为12，求点P的坐标(3)在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将OEB沿直线OE翻折得到OEB，当直线EB与直线BP相交所成锐角为45时，求点B的坐标【变式6-3】（2022江苏镇江统考中考真题）一次函数y=12x+1的图像与x轴交于点A，二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像经过点A、原点O和一次函数y=12x+1图像上的点B(m,54)(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，一次函数y=12x+n(n916,n1)与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像交于点C(x1,y1)、D(x2,y2)（x10,b24ac0的图象是由函数y=ax2+bx+

14、ca0,b24ac0的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）2a+b=0 ；c=3；abc0；将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点ABCD【变式7-1】（2022上海统考中考真题）已知：y=12x2+bx+c经过点A2，1，B0，3(1)求函数解析式；(2)平移抛物线使得新顶点为Pm,n（m0）倘若SOPB=3，且在x=k的右侧，两抛物线都上升，求k的取值范围；P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于Q，BPQ=120时，求P点坐标【变式7-2】（2022浙江嘉兴统考中考真题）已知抛物线L1：ya(x1)24（a0）经过点A(1，0)(1)求抛物

15、线L1的函数表达式(2)将抛物线L1向上平移m（m0）个单位得到抛物线L2若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值(3)把抛物线L1向右平移n（n0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1y2，求n的取值范围【变式7-3】（2022湖南岳阳统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A3,0和点B1,0(1)求抛物线F1的解析式；(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；(3)如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，

16、抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）求点C和点D的坐标；若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值【要点5 二次函数与一元二次方程之间的关系】判别式情况b24ac0b24ac0b24ac0二次函数yax2bxc(a0)与x轴的交点a0a0一元二次方程ax2bxc0的实数根有两个不相等的实数根x1，x2有两个相等的实数根x1x2没有实数根【考点8 二次函数与一元二次方程】【例8】（2022湖北恩施统考中考真题）已知抛物线y=12x2bx+c，当x=1时，y0；当x=2时，y2c；若c1，则b32；已知

17、点Am1,n1，Bm2,n2在抛物线y=12x2bx+c上，当m1m2n2；若方程12x2bx+c=0的两实数根为x1，x2，则x1+x23其中正确的有（）个A1B2C3D4【变式8-1】（2022山西中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根

18、因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况下面根据抛物线的顶点坐标（b2a，4acb24a）和一元二次方程根的判别式=b24ac，分别分a0和a0时，抛物线开口向上当=b24ac0时，有4acb20，顶点纵坐标4acb24a0，顶点纵坐标4acb24a=0顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根当=b24ac=0时，（2）a0时的分析过程，写出中当a0,bc，一元二次方程ax2+bx+c=0 两根之差等于ac，函数图象经过P12c,y1，Q1+3c,y2两点，试比较y1,y2的大小 【变式8-3】（2023福建泉州泉州

19、五中校考三模）已知抛物线y=ax2+bx+ca0，a、b、c为实数(1)当a=1且b=c+1时若抛物线的对称轴为直线x=2，求抛物线的解析式；若1x3中，恒有y0，求c的取值范围；(2)若抛物线与x轴只有一个公共点M2,0，与y轴交于0,23；直线y=kx+232k与抛物线交于点P、Q，过点P且与y轴平行的直线与直线MQ相交于点N，求证：对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值【考点9 利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】【例9】（2022山东聊城统考三模）观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x5=0的正数解在（）x101234x2+3x575151323A1和0之间B0和1之间C

20、1和2之间D2和3之间【变式9-1】（2022浙江金华统考一模）方程x2+3x=1的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+2x=1的实数根x所在的范围是（）A1x12B12x13C13x14D14x0时，满足条件的x的取值范围是_(4)在第（2）间的平面直角坐标系中画出直线y=1根据图象直接写出方程12x32x=1的近似解（结果保留一位小数）【变式9-3】（2022江苏宿迁统考一模）我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解如图（甲），把方程x21x的解看成函数yx2的图象与函数y1x的图象的交点的横坐标，求得方程x21x的解为x1.5(1

21、)如图（乙），已画出了反比例函数y=1x在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x22x10的正数解（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1）(2)选择：三次方程x3x22x+10的根的正负情况是 A，有两个负根，一个正根B有三个负根C有一个负根，两个正根D有三个正根【考点10 二次函数与不等式】【例10】（2022浙江宁波一模）已知A，B两点的坐标分别为2，3，0，1，线段AB上有一动点Mm，n，过点M作x轴的平行线交抛物线y=a(x1)2+2于Px1，y2，Qx2，y2两点（P在Q的左侧）若x1mx2恒成立，则a的取值范围为（）Aa5Ba3C5a0D3a的解集是2x的解集是x4Cax2

22、+(bk)x+c的解集是xx+b的解集；(3)点M是直线AB上的一个动点，点N在点M正下方（即MNy轴），且MN=2，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围【变式10-3】（2022河南洛阳统考一模）如图，抛物线y1=ax22x+c的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为D0,3，与直线y2=x3交点为A和C(1)求抛物线的解析式；(2)求点C的坐标，并结合函数图象直接写出当y1y2时x的取值范围；(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标xE的取值范围