专题12 图形类规律探索（解析版）.docx

1、专题12 图形类规律探索1用长方形和三角形按图示排列规律组成一连串平面图形(1)当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为 ；(2)设某个图形中长方形个数为x，三角形个数为y请你写出用x表示y的关系式【答案】(1)8(2)【分析】（1）根据图形直接可得； （2）由图可知每个图形中三角形的个数为长方形个数与1的差的2倍，据此可得（1）解：长方形个数为2时，三角形个数为2个，即2=21=2； 长方形个数为3时，三角形个数为4个，即4=22=4； 长方形个数为4时，三角形个数为6个，即6=32=6 当某个图形中长方形个数为5时，三角形个数为42=8， 故答案为：8；（2）长方形个数为2时，三角形个数

2、为2个，即2=21=2； 长方形个数为3时，三角形个数为4个，即4=22=4； 长方形个数为4时，三角形个数为6个，即6=32=6 长方形个数为x，三角形个数为y时，y与x的数量关系为y=2（x-1）【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是由所给的图形总结出所存在的规律2如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，当正方形只有一个时，等边三角形有个（如图）；当正方形有个时，等边三角形有个（如图）；以此类推(1)若图案中每增加个正方形，则等边三角形增加_个；(2)若图案中有个正方形，则等边三角形有_个(3)现有个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，

3、要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？【答案】(1)(2)(3)个【分析】（1）观察第个图案可知：中间的一个正方形对应个等边三角形，第个图案可知增加一个正方形，变成了个等边三角形，增加了个等边三角形；（2）观察第个图案，有个等边三角形；第个图案，有个等边三角形；，依次计算可解答；（3）由（2）中的规律可知：用所得的余数是，则等边三角形剩余最少块，列式，解出即可解答（1）解：观察第和个图案可知：图案中每增加个正方形，则等边三角形增加个；故答案为：；（2）解：第个图案：等边三角形有：（个），第个图案：等边三角形有：（个），第个图案：等边三角形有：（个），第个图案：等边三角形有：（个）， 第个

4、图案：等边三角形有：个，故答案为：；（3）解：，用，再由题意得：，解得：，按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少块，则需要正方形个【点睛】本题以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题3如图，用若干个点摆成一组等边三角形点列，其中第个三角形的每一边上都有n个点，该图形中点的总数记为，我们把称为“三角形数”，并规定当时，“三角形数”(1)“三角形数”_，_；(2)某数学兴趣小组发现相邻两个“三角形数”的和有一定的规律：如请猜想：_；请用所学的知识说明中猜想的正确性【答案】(1)15，(2)；见解析【分析】（1）根据题目

5、即可写出、；（2）根据规律即可猜想出结论；利用（1）中的表达式即可证明(1)解：S1=1，S2=1+2=3，S3=1+2+3=6，S4=1+2+3+4=10，S5=1+2+3+4+5=15，Sn=1+2+3+4+5+n=，；故答案为：15，；(2)解：；，【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律4观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，据此解答下面的问题(1)填写下表：图形挖去三角形的个数图形11图形213图形3139图形4_(2)根据这个规律，求图n中挖去三

6、角形的个数（用含n的代数式表示）；(3)若图中挖去三角形的个数为，求【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的（1+3）个小三角形，图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，据此可得；（2）由（1）中规律可知；（3）将wn+1减去wn即可得(1)解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的（1+3）个小三角形，图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，则图4挖去中间的（1+3+32+33）个小三角形，即图4挖去中间的40个小三角形，故答案为：1+3+32+33；(2)解：由（1）知，图n中挖去三角形的个数wn；答：wn(3)解：wn+1，wnwn+1

7、wn（）（）3n答：wn+1wn3n【点睛】本题考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现解题的关键是掌握对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的5【观察思考】画一个大的正五边形，接着画出内嵌的5个黑色小的正五边形，（图1中有1个白色正五边形，有5个黑色正五边形，总共6个正五边形）；接下来每个黑色小五边形内再内嵌的5个更小的正五边形，（图2中有5个白色正五边形，有25个黑色正五边形，总共30个正五边形）继续下去，不断重复此过程，据此解答下面的问题(1)【规律总结】图3中黑色五边形个数 ；白色五边形的个数 ；(2)根据这个规律，求图n中黑

8、色五边形个数 ；白色五边形的个数 （用含n的代数式表示）(3)【问题解决】当黑色和白色五边形共3750个时，求图n?【答案】(1)125；25(2)；(3)5【分析】（1）根据图1、图2所得的规律解答即可；（2）根据（1）的规律进行推广即可；（3）利用（2）所得到的关系式列方程解答即可(1)解：在图1中，黑色有5个，白色有1=50个；在图2中，黑色有55=52=25个，白色有51=5=51个在图3中，黑色有255=53=125个，白色有55=5225个故答案为125，25(2)解：由（1）可得图1、图2、图3可得；图n中黑色快为：5n；白色的个数为5n-1个故答案为，(3)解：由题意可得：5n

9、+5n-1=37505n-1（5+1）=37505n-16=37505n-1=625n-1=4n=5【点睛】本题主要考查了图形的规律，乘方的运算等知识点，根据题意发现图1、图2、图3中蕴含的规律是解答本题的关键6用正方形的白色水泥砖和灰色水泥砖按如图所示的方式铺人行道(1)第个图中有灰色水泥砖 块，第个图中有灰色水泥砖 块，第个图中有灰色水泥砖 块；(2)依次铺下去，第n个图中有灰色水泥砖 块【答案】(1)4，7，10(2)（3n+1）【分析】（1）直接根据图形得出灰色水泥砖的块数即可；（2）根据（1）中数据的个数得出变化规律为：3n+1，即可得出答案(1)解：根据图形可得图中有灰色水泥砖1+

10、3=4块，图中有灰色水泥砖1+23=7块，图中有灰色水泥砖1+33=10块；故答案为：4；7；10；(2)解：根据图形可得图中有灰色水泥砖1+3=4块，图中有灰色水泥砖1+23=7块，图中有灰色水泥砖1+33=10块；依次铺下去，第n个图形中有灰色水泥砖（3n+1）块；故答案为：（3n+1）【点睛】此题主要考查了图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出发生变化的位置，并且观察变化规律注意由特殊到一般的分析方法7一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+515，

11、该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15(1)根据图1，计算图中9个数的和与每个三角形三个顶点处数的和之间的倍数关系，并写出你的结论；(2)图2是这种特殊的三角形幻方，请把数字4，2，0，2，3这5个数字填在图2的各个圈内；(3)图3是这种特殊的三角形幻方，请求x的值【答案】(1)图中9个数的和是每个三角形三个顶点处数的和的三倍(2)填图见解析(3)-10【分析】（1）计算得可得图中9个数的和为45，每个三角形三个顶点处数的和为15，故图中9个数的和是每个三角形三个顶点处数的和的三倍（2）由题意可得每个三角形三个顶点处数的和为0，故可依次算出各个顶点处的数，填图见解析（3）由中间小三角形知

12、所有三角形三个顶点处数的和均为，故可推出其余三角形顶点处的代数值，再由每个三角形三个顶点处的数字之和均相等列等式化简计算即可(1)图中9个数的和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45每个三角形三个顶点处数的和为7+3+5=2+4+9=6+8+1=7+6+2=3+8+4=5+1+9=8+2+5=154515=3图中9个数的和是每个三角形三个顶点处数的和的三倍(2)由图象知下方大三角形三个顶点处数的和为4-1-3=0由题意知每个三角形三个顶点处数的和也为0故中间小三角形右下角数为右下小三角形右上角数为左下小三角形左上角数为左侧大三角形左上角数为右侧大三角形右上角数为故补全的图象如图所示(3)由

13、图象知中间小三角形三个顶点处数的和为故所有三角形三个顶点处数的和均为故左侧大三角形左上角数为右侧大三角形右上角数为左下小三角形左下角数为右下小三角形右下角数为且下侧大三角形三个顶点处数的满足去括号得化简得【点睛】本题考查了数字和图形综合的规律的探索，结合规律列代数式是解题的关键，运算时要注意变号8下面是用棋子摆成的“小屋子”摆第10个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？摆第n个这样的“小屋子”呢？你是如何得到的？【答案】59个，（）个【分析】发现后面一个“小屋子”总比它前面一个多用6枚棋子，进而概括出摆第n个“小屋子”需要的棋子数为，【详解】解：观察得到：摆前四个“小屋子”分别用的棋子数5，11，

14、17，23，后面一个“小屋子”总比它前面一个多用6枚棋子，摆第n个“小屋子”共用的棋子数为当n=10时，6n-1=59个，摆第10个这样的“小屋子”需要59枚棋子；摆第n个这样的“小屋子”需要（）个【点睛】此题考查图形类规律题，正确发现规律并应用规律解决问题是解题的关键，应注意将每种表示形式与具体的摆法相对应（规律与其符号表示的对应），将棋子数与图形相对应（数与形的对应），从多种角度发展学生的思维9【问题呈现】用一些长短相同的小木棍按图所示的方式，连续摆正方形或六边形，要求相邻的图形只有一条公共边.已知摆放的正方形比六边形多4个，并且一共用了110根小木棍，问连续摆放的正方形和六边形各多少个.

15、【自主思考】慧慧用表格的形式对本问题的一些信息进行了梳理，请把表格内容补充完整.连续摆放的个数/个使用小木棍的根数/根正方形六边形关系【建模解答】（请完整解答本题）【答案】表格见解析，用110根小木棍可摆12个六边形，16个正方形【分析】根据图形分别求出摆x个正方形，摆y个六边形需要的小木棍个数，列出方程，计算即可【详解】解：由题意可知：摆x个正方形需要4+3（x-1）=3x+1根小木棍；摆y个六边形需要6+5（y-1）=5y+1根小木棍；表格内容补充完整.如下：连续摆放的个数/个使用小木棍的根数/根正方形3x+1六边形5y+1关系xy43x+15y+1110由题意得，解得：，答：用110根小

16、木棍可摆12个六边形，16个正方形；【点睛】此题考查图形的变化规律，列代数式、二元一次方程组的应用，关键是找出图形之间的联系，利用规律解决问题10如图是由一些火柴棒搭成的图案(1)摆第4个图案用 根火柴棒(2)按照这种方式摆下去，摆第n个图案用 根火柴棒(3)计算一下摆481根火柴棒时，是第几个图案？【答案】(1)17(2)（4n+1）(3)120个【分析】（1）由前三个图案可得第4个图案的火柴棒根数；（2）根据图形中的图案知，每个图案都比上一个图案多一个五边形，但是只增加4根火柴，根据此规律来分析，可得答案；（3）把481代入（2）中得到的式子即可（1）解：由题目得，第个图案所用的火柴数：1

17、+415，第个图案所用的火柴数：1+429，第个图案所用的火柴数：1+4313，第个图案所用的火柴数：1+4417，故答案为：17；（2）解：按（1）的方法，依此类推，第n个图案中，所用的火柴数为：1+4n4n+1；故摆第n个图案用的火柴棒是4n+1，故答案为：（4n+1）；（3）解：由题意得，4n+1481，解得n120，答：摆481根火柴棒时，是第120个图案【点睛】本题考查了图形的变化类，关键是从图中特殊的例子推理得出一般的规律，本题的规律是每个图案都比上一个图案多一个五边形，但只增加4根火柴11实验探究：如图，在四边形ABCD内部，有n个点Pi（i1，2，3，n），连接这个点构造不重叠

18、的小三角形，请把在不同点数情况下最多可构造的三角形个数填入表中四边形内部的点数1234.n构造的小三角形个数46.(1)将上表中数据补充完整；(2)当四边形中有2022个小三角形时，求点数n的值【答案】(1)8，10，(2)1010【分析】（1）根据图中的数据找出规律即可；（2）由（1）中的式子列出方程可得n的值(1)解：当四边形内部的点数为1时，小三角形的个数为4，当四边形内部的点数为2时，小三角形的个数为6，当四边形内部的点数为3时，小三角形的个数为8，当四边形内部的点数为4时，小三角形的个数为10，当四边形内部的点数为n时，小三角形的个数为(2n+2) 故答案为：8，10，；(2)令，解

19、得，答：点数n的值为1010【点睛】本题主要考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前两个探究得到图形变化规律是解题关键12如图，学校准备新建一个长度为L的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为0.3m(1)按图示规律，第一图案的长度_；第二个图案的长度_；(2)请用代数式表示带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度（m）之间的关系；(3)当走廊的长度L为60.3m时，请计算出所需带有花纹图案的瓷砖的块数【答案】(1)0.9；1.5(2)(3)100块【分析】（1）观察题目中的已知

20、图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖分别有：1，2个，第二个图案比第一个图案多1个花纹的地面砖，所以可得第n个图案有花纹的地面砖有n块；第一个图案边长，第二个图案边长；（2）由（1）得出则第n个图案边长为；（3）根据（2）中的代数式，把L为60.3m代入求出n的值即可(1)解：第一个图案的长度，第二个图案的长度；故答案为：0.9，1.5；(2)解：观察可得：第一个图案中有花纹的地面砖有1块，第二个图案中有花纹的地面砖有2块，故第n个图案中有花纹的地面砖有n块；第一个图案边长，第二个图案边长，则第n个图案边长为；所以带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度（m）之间的关系为；(3)解：把L=603代入

21、中得：，解得：，答：需要100个有花纹图案的瓷砖【点睛】本题主要考查了平面图形的有规律变化，以及列代数式，求代数式的值等，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题13如图图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案需8根火柴棒，图案需15根火柴棒，图案需15根火柴棒，(1)按此规律，图案需_根火柴棒；(2)用含n的代数式表示第n个图案需根火柴棒根数【答案】(1)50(2)7n+1【分析】（1）根据图案、中火柴棒的数量可知，第1个图形中火柴棒有8根，每多一个多边形就多7根火柴棒，可得出图案需火柴棒：8+76=50根；（2）根据（1）的规律，可知第n个图案需火柴棒8+

22、7（n-1）=7n+1根(1)解：图案需火柴棒：8根；图案需火柴棒：8+7=15根；图案需火柴棒：8+7+7=22根；图案需火柴棒：8+76=50根； 故答案为：50；(2)解：由（1）中规律：图案n需火柴棒：8+7（n-1）=7n+1根；故答案为：7n+1；【点睛】此题主要考查了图形的变化类，解决此类题目的关键在于图形在变化过程中准确抓住不变的部分和变化的部分，变化部分是以何种规律变化142022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状操作：将一个边长为1的等边三角形（如图）的每一边三等分，以居中那条线

23、段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图，称为第一次分形接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图），称为第二次分形不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”(1)【规律总结】每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 倍；(2)【问题解决】试猜想第n次分形后所得图形的边数是 ；周长为 （用含n的代数式表示）【答案】(1)4；(2)；【分析】(1)根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是，第二次分形后，得到的

24、“雪花曲线”的边数是48，边长是，可得答案；(2)由(1)可得第n次分形后所得图形的边数是，边长为，所以周长为(1)解：等边三角形的边数为3，边长为1，第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长是，每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的倍故答案为：4；(2)解：第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长是，所以第n次分形后所得图形的边数是，边长为，所以周长为故答案为：；【点睛】此题考查图形的变化规律，解

25、题关键是找出图形之间的联系，得出运算规律15用棋子摆出下一组图形：(1)摆第1个图形用_枚棋子，摆第2个图形用_枚棋子，摆第3个图形用_枚棋子(2)按照这种方式摆下去，摆第n个图形用多少枚棋子？(3)计算一下摆第100个图形用多少枚棋子？(4)小鱼同学手上刚好有50枚棋子，是否可以摆出符合这种规律的图形，50枚棋子一枚不剩？如果可以，求出是第几个图形；如果不可以，请说明理由【答案】(1)4，8，12(2)4n枚(3)400枚(4)不可以，理由见解析【分析】(1)直接由图数出即可；(2)根据(1)的规律可归纳出第n个图有4n枚棋子；(3)由(2)知，第100个图形有4100=400枚棋子；(4)

26、504=122，故50枚棋子不可以摆这种规律图形(1)解：由图知，摆第1个图形用4枚棋子，摆第2个图形用8枚棋子，摆第3个图形用12枚棋子，故答案为：4，8，12；(2)解：由(1)可知，第n个图有4n枚棋子；(3)解：由(2)知，第100个图形有4100=400枚棋子；(4)解：不可以，理由如下：504=122，50不是4的倍数，故50枚棋子不可以摆这种规律图形【点睛】本题主要要查图形的变化规律，根据图形变化归纳出第n个图形由4n枚棋子是解题的关键16把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有1个黑色三角形，第个图案中有3个黑色三角形，第个图案中有6个黑色三角形按此规律排列下去，解

27、答下列问题：(1)第个图案中有_个黑色三角形(2)求第个图案中有多少个黑色三角形？（用含n的代数式表示）(3)求第100个图案中黑色三角形的个数【答案】(1)10(2)n（n+1）(3)5050【分析】（1）第个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4）个；（2）根据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为 n（n+1）；（3）把n100代入（2）中得到的式子即可(1)解：由图形的变化规律知，第个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+410，故答案是：10；(2)解：第个图案中黑色三角形的个数有：1，第个图案中黑色三角形的个数有：1+23，第个图案中黑色三角形的个数有：1+2+36，第个

28、图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+410，第n个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+nn（n+1），答：第个图案中有n（n+1）个黑色三角形；(3)解：当n100时，n（n+1）5050（个），答：第100个图案中黑色三角形的个数是5050【点睛】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第n个图形黑色三角的个数为 n（n+1）是解题的关键17（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个；（2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数【答案】（1）10；24；（2）个【分析】（1）根据三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上

29、的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形来判断图1和图2中三角形的个数即可；（2）通过数三角形的个数可知，图1中有10个三角形，图2中，增加一条线后三角形的个数为，增加2条线后，三角形的个数为，增加3条线后，三角形的个数为，依次类推即可推出增加条线后，三角形的个数，据此即可得到增加10条线后三角形的个数【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1中三角形个数为10；根据三角形的定义可得图2中三角形个数为24；（2）增加1条线，三角形个数为：；增加2条线，三角形个数为：；增加3条线，三角形个数为：；则增加条线，三角形个数为：，所以增加10条线，三角形个数为个；【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式

30、，列整式，找规律等知识点，解答本题的关键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系18提出问题一个边形，内部有个点，用这些点以及边形的个顶点，可把原三角形分割成多少个互不重叠的小三角形？探究问题为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手：探究一：以的三个顶点和它内部的1个点，共4个点为顶点，可把分割成3个互不重叠的小三角形（如图）探究二：以的三个顶点和它内部的2个点，共5个点为顶点，可把分割成5个互不重叠的小三角形探究三：以的三个顶点和它内部的3个点，共6个点为顶点，可把分割成7个互不重叠的小三角形解决问题以的三个顶点和它内部的个点，共个点为顶点，可把分割成_个互不重叠的小

31、三角形拓展探究一个正方形内部有若干个点，用这些点以及正方形的四个顶点、，可把原正方形分割成多少个互不重叠的小三角形？完成下列表格（1）填写下表：正方形内点的个数1234分割成三角形的个数4_（2）原正方形能否被分割成2016个三角形？若能，此时正方形内有多少个点？若不能，请说明理由？实际应用以五边形的5个点和它内部的2022个点，共2027个顶点，可把原五边形分割成_个互不重叠的小三角形归纳总结：边形的内部的个点，共个点作为顶点，可把原边形分割成_个互不重叠的小三角形【答案】2n1；正方形内点的个数1234分割成三角形的个数468102n+2；原正方形能被分割成2016个三角形，此时正方形AB

32、CD内有1007个点；4057；【分析】解决问题由题意得出这些三角形个数是从3开始的连续奇数，据此可得；拓展探究（1）由图形即可得；（2）由表可知，分割成的三角形的个数是连续的偶数，据此列出关于n的方程，解之可得；实际应用根据以n边形的内部的m个点，共（mn）个点作为顶点，可把原n边形分割成（2mn2）互不重叠的小三角形，据此可得【详解】解：解决问题根据题中，从简单和具体的情形入手，可知，以ABC的三个顶点和它内部的n个点，共（n3）个点为顶点，可把ABC分割成（2n1）个互不重叠的小三角形，故答案为：2n1；拓展探究（1）填写下表：正方形内点的个数1234分割成三角形的个数468102n+2（2）能，根据题意，得：2n22016，解得：n1007，原正方形能被分割成2016个三角形，此时正方形ABCD内有1007个点；实际应用以五边形的5个点和它内部的2022个点，共2027个顶点，可把原五边形分割成22022524047个互不重叠的小三角形，故答案为：4057；归纳总结 边形的内部的个点，共个点作为顶点，可把原边形分割成个互不重叠的小三角形，故答案为：【点睛】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键