专题12.4 一次函数（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（沪科版）.docx

1、专题12.4 一次函数（全章分层练习）（培优练）一、单选题1（2023春八年级单元测试）无论m为什么实数时，直线总经过点（）A B C D2（2023秋北京西城九年级北京市第一六一中学校考开学考试）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量下列有四种说法：S是V的函数；V是S的函数；h是S的函数；S是h的函数其中所有正确结论的序号是（）A B C D3（2023浙江丽水统考一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚好离开水面，停止计时用表示圆柱体运动时间，表示水面的高度，则与之间函数关系的图象大致是（）ABC D

2、4（2022秋四川成都八年级校考期中）如图，直线ykx+b（k0）与x轴交于点（5，0），下列说法正确的是（）Ak0，b0B直线ybx+k经过第四象限C关于x的方程kx+b0的解为x5D若（x1，y1），（x2，y2）是直线ykx+b上的两点，若x1x2，则y1y25（2023春四川南充八年级期末）如图，是李林周末骑自行车离家出游的图象，图中t表示时间，s表示李林离家的距离则下列说法错误的是（）A时李林离家 B前骑行速度为C骑行的距离为 D时李林离家6（2023春浙江八年级期末）如图，分别是直线上的动点，若时，都有，则的取值范围为（）A B C D7（2023春浙江台州八年级统考期末）已知一次

3、函数的图象与的图象交于点则对于不等式，下列说法正确的是（）A当时， B当时，C当且时， D当且时，8（2023春广东深圳八年级统考期中）如图，点P为直线上一点，先将点P向左移动2个单位，再绕原点O顺时针旋转后，它的对应点Q恰好落在直线上，则点Q的横坐标为（）A B C D9（2022秋江苏无锡八年级期末）如图，直线y2x+2与直线yx+5相交于点A，将直线y2x+2绕点A旋转45后所得直线与x轴的交点坐标为（）A（8，0） B（3，0）C（11，0），（，0） D（10，0），（2，0）10（2021秋重庆北碚九年级西南大学附中校考期中）小明和小李住在同一个小区，暑假期间，他们相约去缙云山某地

4、露营；小明先出发5分钟后，小李以65米/分的速度从小区出发，小明到达相约地点后放下装备，休息了10分钟，立即按原路以另一速度返回，途中与小李相遇，随后他们一起步行到达目的地小李与小明之间的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的关系如图，则下列说法正确的是（）A小明首次到达目的地之前的速度是75米/分B小明首次到达目的地时，小李距离目的地还有200米C从小区到目的地路程为2800米D小明返回时的速度是33米分二、填空题11（2022秋八年级课时练习）若对于所有的实数，都有，则 12（2021春湖北武汉八年级统考期末）直线l：（k、b是常数，）经过、 两点，其中，下列四个结论：方程的解在和0之

5、间；若点、在直线l上，则；不等式的解集为时，其中正确的结论有 （只需填写序号）13（2022秋江苏镇江八年级统考期末）已知点在直线l：ykx3k（k0）上，点Q的坐标为（0，4），则点Q到直线l的最大距离是 14（2023春全国七年级期末）平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中，满足方程组，已知点在直线的下方，且点不在第三象限，则的取值范围为 15（2022秋安徽蚌埠八年级校考期中）已知表示a，b，c几个数中最大的那个数，表示a，b，c几个数中最小的那个数，例如，则：（1） ；（2）已知函数，则 ；16（2023全国八年级假期作业）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，为直

6、线上的一个动点，则的最小值为 17（2023春八年级课时练习）甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲、乙行驶的路程分别为，路程与时间的函数关系如图所示，丙与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地当丙与乙相遇时，甲、乙两人相距20km，问丙出发后 小时后与甲相遇18（2023春湖北武汉八年级校联考阶段练习）已知一次函数的图象与轴正半轴交于点A，且，则下列结论：函数图象经过一、二、四象限；函数图象一定经过定点；不等式的解集为；直线与直线交于点，与轴交于点，则的面积为2其中正确的结论是 （请填写序号）三、解答题19（2023春山东济南七年级统考期中）如

7、图，在长方形中，动点以厘米秒的速度，由A点出发，沿匀速运动，到点停止运动设运动的时间为秒，三角形的面积为平方厘米图为运动过程中，与的关系图象（1）由图可知， _ 厘米；（2）当点在上运动时，求与的关系式；（3）在整个运动过程中，当三角形的面积为平方厘米时，求的值20（2023春福建龙岩八年级统考期末）如图，已知直线：与x轴交于点A，直线：经过点A，与y轴交于点B（1）求点A的坐标和k的值；（2）点E在线段上，点F在直线上，若轴，且，求点E坐标21（2023春云南临沧八年级统考期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为（1）求直线的解析式（2）点在轴上，过点作直线平行于轴，分别与直线

8、、交于点、，当点、三点中的任意两点关于第三点对称时，求的值22（2023四川眉山校考三模）“双减”政策实施后，学生有了更多体验生活、学习其它知识的时间，为丰富学生的课外生活，某学校计划购入A、B两种课外书，已知用300元购进A种书的数量与用400元购进B种书的数量相同，B种书每本价格比A种书每本价格多10元（1）求A种书、B种书的单价；（2）若学校一次性购进A、B两种书共200本，且要求购进A种书的本数不超过B种书本数的2倍，则学校怎样购书，才能使购书款最少？请你求出最少的购书款及相应的购买方案23（2023春湖南邵阳八年级统考期末）如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，

9、设的面积为（1）写出与之间的函数关系，并写出的取值范围；（2）当的面积为时，求出点的坐标；（3）在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标24（2023河南商丘统考三模）某火锅店为吸引客户，推出两款双人套餐，下表是近两天两种套餐的收入统计：数量收入套餐套餐第一天次次元第二天次次元（1）求这两款套餐的单价；（2）套餐的成本约为元，套餐的成本约为元，受材料和餐位的限制，该火锅店每天最多供应个套餐，且套餐的数量不少于套餐数量的，求火锅店每天在这两种套餐上的最大利润；（3）火锅店后续推出增值服务，每个套餐可选择再付元即可加料，即在鱼豆腐、面

10、筋、川粉和蘑菇中任选两种涮菜小明是这个火锅店的常客，年他共花费元购买两个套餐，其中套餐不加料的数量占总数量的，则小明选择套餐加料的数量为_个参考答案1C【分析】把解析式变形得到关于m的不定方程形式得到y（x+1）m -2，根据无论m为什么实数时，直线总过定点得出，x+10，求出经过的点即可解：ymx+m2，y（x+1）m -2，无论m为什么实数时，直线总过定点，x+10，解得x1，代入解析式得，y2，直线ymx+m2总经过点（1，2）故选：C【点拨】本题考查了一次函数过定点问题，解题关键是把解析式适当变形，根据所含参数系数为0求出点的坐标2B【分析】由函数的概念求解即可解：由题意可知，对于注水

11、量的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自变量，S是因变量，所以S是V的函数，符合题意；：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，不符合题意；：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，不符合题意；：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是因变量，所以S是h的函数，符合题意；所以正确的的序号有，故选：B【点拨】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念3C【分析】设刚开始时水高为，大水桶底面积为，圆柱体底面积为，速度为，当圆柱体上

12、表面未离开水面时，体积不变，水高不变，当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，整理得，根据函数解析式确定函数图象即可解：设刚开始时水高为，大水桶底面积为，圆柱体底面积为，速度为，当圆柱体上表面未离开水面时，体积不变，水高不变，当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，整理得，随的增大而减小，可知与之间函数关系的图象大致为先保持不变，然后随的增大而减小，故选：C【点拨】本题考查了一次函数的图象解题的关键在于正确的表示数量关系4C【分析】由一次函数的图象经过一，二，三象限，所以从而可判断A，B，由直线ykx+b（k0）与x轴交于点（5，0），可判断C，由结合一

13、次函数的性质可判断D，从而可得答案.解：由一次函数的图象经过一，二，三象限，所以 故A不符合题意；直线ybx+k经过一，二，三象限，故B不符合题意； 直线ykx+b（k0）与x轴交于点（5，0）， 关于x的方程kx+b0的解为x5，故C符合题意；若（x1，y1），（x2，y2）是直线ykx+b上的两点，而 随的增大而增大，若x1x2，则y1y2，故D不符合题意；故选C【点拨】本题考查的是一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次方程的关系，掌握“一次函数的图象与性质”是解本题的关键.5C【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题解：由图可得，A.时李林离家8km，故选项

14、A说法正确，不符合题意；B. 前20min骑行速度为，故选项B说法正确，不符合题意；C. 骑行的距离为，故选项C说法错误，符合题意；D.设时，与之间的函数关系式为，把代入得，解得，与之间的函数关系式为，当时，故选项D说法正确，不符合题意；故选：C【点拨】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答6B【分析】将向右平移1个单位得到点，过点作的垂线，交于点，交于点，当时，符合题意，同理将点向左平移一个单位得到，进而即可求解解：如图，将向右平移1个单位得到点，过点作的垂线，交于点，交于点，当时，符合题意，即， 解得如图，将点向左平移一个单位得到，即，解得综上所述，故选B

15、【点拨】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形，根据题意作出图形分析是解题的关键7D【分析】根据正比例函数可求出交点坐标，进一步可得出与的关系，利用函数图象可得出正确结论解：由题意可得交点坐标为故有：，令，可知函数的图象恒过点也在的图象上对于A、B选项，当时画出函数图象，如图所示：可得：，故A、B错误；对于C、D选项，当且时画出函数图象，如图所示：无论还是，均有故C错误，D正确故选：D【点拨】本题考查函数的交点问题以及不等式与函数的联系利用数形结合思想是解决此类问题的关键8B【分析】可将点的平移和旋转转化为直线的平移和旋转，求出解析式后，联立两个函数解析式即可求出交点的横坐标解：点P为直线上一点

16、，点P向左移动2个单位后的解析式为，绕原点O顺时针旋转后解析式为，可得，点Q的横坐标为故选：B【点拨】此题考查一次函数，解题关键是将点的平移和旋转转化为函数平移和旋转，然后求函数的交点坐标9C【分析】先求出点A的坐标；设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作ACx轴于点C，可求出AC和BC的长；若将直线y=2x+2绕点A旋转45，则需要分两种情况：当直线AB绕点A逆时针旋转45时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P；过点B作BDAB交直线AP于点D，过点D作DEx轴于点E，可得ACBBED，进而可得点D的坐标，用待定系数法可求出直线AP的表达式，进而求出点P的坐标；当直线AB绕点A顺时针旋转

17、45时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，则ADF是等腰直角三角形，根据中点坐标公式可求出点F的坐标，进而求出直线AQ的表达式，最后可求出点Q的坐标解：令2x+2=-x+5，解得x=1，A（1，4）设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作ACx轴于点C，OC=1，AC=4，令y=2x+2=0，则x=-1，OB=1，BC=2将直线y=2x+2绕点A旋转45，需要分两种情况：当直线AB绕点A逆时针旋转45时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P，此时BAP=45，过点B作BDAB交直线AP于点D，过点D作DEx轴于点E，ACO=ABD=90，ABC+DBE=DBE+BDE=

18、90，ABC=BDE，ABD=90，BAP=45，BDA=BAP=45，AB=BD，ACBBED（AAS），BC=DE=2，BE=AC=4，OE=3，D（3，-2），设直线AP的解析式为y=kx+b，解得，直线AP的解析式为y=-3x+7，令y=0，则x=，P（，0）；当直线AB绕点A顺时针旋转45时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，则BAQ=45，ABF=ABD=90，BAF=BFA=45，BF=BA=BD，即点B为DF的中点，B（-1，0），D（3，-2），F（-5，2），设直线AQ的解析式为：y=mx+n， ，解得，直线AQ的解析式为：y=x+令y=0，则x=-

19、11，Q（-11，0），综上所述，将直线y=2x+2绕点A旋转45后所得直线与x轴的交点坐标为（-11，0），（，0）故选：C【点拨】本题属于一次函数与几何综合题目，涉及全等三角形的性质与判定，图象的交点，等腰三角形的性质等内容，解题的关键是根据45角作出垂线构造全等本题若放在九年级可用相似解决10C【分析】根据图象可知，小明5分钟行走400米，可求速度，到达目的地用时35分，可求总路程，再根据小李行走时间可知小李走的路程，利用两人相向而行时，两分钟相遇可求小明返回时速度，即可得出答案解：A、小明首次到达目的地之前的速度是米/分，A不正确；B、两地间的距离为：80352800（米）小李在小明到

20、达目的地时行走的路程为：65（35-30）1950（米）2800-1950=850（米），此时，小李距目的地还有850米，B不正确；C正确；D、850-6510=200（米），200（47-45）100（米/分），100-65=35（米/分）D不正确；故选：C【点拨】本题考查了行程问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，点的坐标的运用，解答时认真分析函数图象的意义是关键110【分析】令x=1和x=-1，得到，两个等式相减，即可得到答案解：对于所有的实数，都有，当x=1时，当x=-1时，-，得：，解得：0故答案是：0【点拨】本题主要考查抽象函数求值，掌握赋值法以及等式的性质，是解题的关键1

21、2【分析】根据图象可对进行判断；根据题意b2，mk20，解得k2，可对进行判断；根据一次函数的性质可对进行判断；由b2，mk2，不等式kxbm化为kx2k2，得到，解得k3，于是可对进行判断解：直线l：ykxb（k、b是常数，k0）经过A（0，2）、B（1，m）两点，其中m0，直线与x轴的交点横坐标在1和0之间，故正确；直线l：ykxb（k、b是常数，k0）经过A（0，2）、B（1，m）两点，其中m0，b2，mk20，k2，故正确；k0，y随x的增大而增大，x1x11，y1y2，故错误；b2，mk2，不等式kxbm化为kx2k2，kxk4，不等式kxbm的解集为x，解得k3，故正确；故答案为【

22、点拨】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，根据题意得出k0，b2是解题的关键135【分析】由题意得直线l一定过点（3，0），在过（3，0）的直线中，当点Q和（3，0）的连线垂直于直线l时，点P到直线l的距离最大，根据勾股定理求解即可解：直线l：ykx3k=k（x-3）当x=3时，y=0，故点（3，0）再直线l上令点P（3，0）连接PQ，当PQ垂直与直线l垂足为点P时，点Q到直线l的距离最大PQ=故答案为：5【点拨】本题主要考查了一次函数图像和点到直线的距离，过一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度是点到直线的距离；明确当PQ直线l时，点Q到直线的距离最大

23、是解题的关键14【分析】求出直线的解析式，再根据求出点的坐标为，然后过作轴，交直线于点，确定，再分两步：点在直线的下方；点不在第三象限，分别确定的取值范围，然后确定公共部分即可。解：设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，解得：，过作轴，交直线于点，当时，点在直线的下方，解得：，若点在第三象限，则，解得：，当时，点不在第三象限，综上所述，。故答案为：【点拨】本题考查一次函数的图像及性质，点所在象限的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像及性质，数形结合是解题的关键15 4 2【分析】（1）根据定义找到、4和1中最大的那个数即可；（2）画出函数，和的图象，根据图象求解即可解：（1），故答案为：4；（

24、2）函数，和的图象如下：则虚线部分即为函数的图象，设和的交点为点A，则点A的纵坐标即为，联立可得：，解得：，点A的坐标为，故答案为：2【点拨】本题考查了一次函数的交点问题以及新定义的实数运算，利用数形结合的思想是解题的关键16【分析】依据一次函数的图像特征画出草图，记点关于直线的对称点为，则的最小值即为的长度，设，联立直线 与，并根据求得点的坐标，进而求出，再利用勾股定理即可求解解：由题意，画出草图，如图所示：记点关于直线的对称点为，则的最小值即为的长度，设，联立直线 与可得，即，即点的横坐标小于等于2，的值最小，就要使点离直线最近，直线的表达式为：，的最小值为，故答案为：【点拨】本题主要考查

25、了一次函数的图像与性质，根据题意画出草图，并找出点关于直线的对称点是解决本题的关键17或【分析】利用函数图象的信息求得三人的速度，再利用题意列出方程，解方程即可得出结论解：由函数图象得：乙的速度为（km/h），乙出发1小时后，甲出发并经过小时追上乙，设甲的速度为xkm/h，甲的速度为60km/h设丙与乙相遇时乙出发了t小时，当丙与乙相遇时，甲、乙两人相距20km，或，丙的速度为（km/h）或（km/h），设丙出发后y小时后与甲相遇，或解得：y或，故答案为：或【点拨】本题主要考查了函数的图象，利用函数的图象的信息求得三人的速度，再利用题意列出方程是解题的关键18【分析】根据一次函数的图象与性质可

26、判断，根据一次函数图象上点的坐标特征可判断，由k+b=2，可得（k-2）+b=0， 可得函数y=（k-2）x+b过点（1，0）， 再利用一次函数与x轴的交点坐标可判断，分别求解B，P的坐标，再利用三角形的面积公式计算可判断，从而可得到正确的选项解：k0，k+b=2， b0， 函数y=kx+b（k0）的图象经过一、二、四象限，故符合题意； k+b=2， 函数y=kx+b（k0）的图象一定经过定点（1，2），故符合题意； k+b=2， （k-2）+b=0， 函数y=（k-2）x+b过点（1，0）， k-20， 不等式（k-2）x+b0的解集为x1，故符合题意； 一次函数y=kx+b（k0）的图象与

27、y轴正半轴交于点A， A（0，b）， 直线y=-bx-k与直线y=kx+b交于点P， 解得： 直线y=-bx-k与y轴交于点B， B（0，-k）， PAB的面积为： AB|xP|=21=1，故不符合题意； 故答案为：【点拨】本题主要考查对一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，熟知一次函数的性质是解此题的关键19（1）6；（2）；（3）5或11【分析】利用图象法解决问题即可；利用三角形面积公式求解；当点在线段上时，构建方程求出，再根据对称性可得结论（1）解：观察图可知，故答案为：；（2）解：四边形是长方形，当点在线段上时，；（3）解：当点在线段

28、上时，此时，当点在线段上时，根据对称性可知，综上所述，满足条件的的值为或【点拨】本题考查了求一次函数解析式，函数图像，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题20（1），；（2）【分析】（1）把代入，即可得出点A的坐标，再将点A的坐标代入，即可求出k的值；（2）设，则，则或，根据，列出方程求解即可（1）解：把代入得：，解得：，把代入得： ，解得：，直线的表达式为；综上：，；（2）解：点E在线段上，点F在直线上，轴设，则，或，或，解得：或（舍去），【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，以及用待定系数法求解一次函数

29、解析式的方法和步骤21（1）；（2）或或【分析】（1）依据题意，设为，再将、两点代入求出，即可得解；（2）依据题意，可得，再由点、三点中的任意两点关于第三点对称，从而利用纵坐标的关系进行分类讨论即可得解（1）解：由题意，设为，再将、两点代入得，直线的解析式为（2）解：由题意得，再由点、三点中的任意两点关于第三点对称，当点和关于点对称时，即，解得；当点和关于点对称时，即，解得；当点和关于点对称时，即，解得综上所述，的值为：或或【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键22（1）A种书每本30本，那么B种书每本40元；（2）当购买A种书133本，那么B种书67本购书款最

30、小，为6670元【分析】（1）根据题意，建立分式方程求解，注意验根的步骤；（2）根据题意，建立不等式，求解得变量（A种书的本数）的取值范围；建立变量（购书款）与变量（A种书的本数）的关系式，运用一次函数的增减性求解自变量取值范围内的极值（1）解：设A种书每本本，那么B种书每本元解得：检验：是方程的解，也符合题意答：A种书每本30本，那么B种书每本40元（2）（2）设购买A种书本，总购书款为元即：（）随的增大而减小当时，取得最小值，答：当购买A种书133本，那么B种书67本购书款最小，为6670元【点拨】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的性质；根据题意建立方程，不等式是解题的关键2

31、3（1）；（2）；（3）存在， ， ， ， ， ， 【分析】（1）先求出点A坐标，由可求函数关系式，（2）将代入函数解析式可求得点；（3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M（1）解：点在第二象限，则因为当时，x，则 （）（2）由（1）可知当则此时：所以（3）存在点M满足条件，I当M点在y轴时，若，即，当点M在原点上方时，点M坐标为，当点M在原点下方时，点M坐标为，II当M点在y轴时，若，即，当点M在原点上方时，点M坐标为，当点M在原点下方时，点M坐标为；III当M点在y轴时，若，即，当点M在点B上方时，点M坐标为，当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；IV当M点在x轴时，若

32、，即，当点M在原点右侧时，点M坐标为，当点M在原点左侧时，点M坐标为，与点A重合，不合题意舍去；V当M点在x轴时，若，即，点A坐标为，当点M在点A左侧时，点M坐标为，当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去；综上所述：点M坐标为， ， ， ， ， 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类讨论的数学思想24（1）套餐销售单价为元，套餐销售单价为元；（2）元；（3）小明选择套餐加料的数量为个【分析】（1）设套餐销售单价为元，套餐销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设售出套餐个，总利润为w元，根据题意得出，然后

33、根据一次函数的性质即可求解；（3）设套餐不加料数量为个，套餐加料和套餐不加料共个，则套餐加料数量为个，根据题意列出二元一次方程，根据整数解，即可求解（1）解：设套餐销售单价为元，套餐销售单价为元，根据题意，得解得答:A套餐销售单价为元，套餐销售单价为元；（2）设售出套餐个，总利润为w元，则，套餐的数量不少于套餐数量的，即，随的增大而减小，为正整数，当时，最大，的最大值为元；（3）设套餐不加料数量为个，套餐加料和套餐不加料共个，则套餐加料数量为个，根据题意，得：，整理，得：，且，均为正整数，解得，即小明选择套餐加料的数量为个故答案为：【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组、不等式以及一次函数关系式是解题的关键