专题13 导数的运算法则在抽象函数中的应用（解析版）.docx

1、专题13 导数的运算法则在抽象函数中的应用一、考情分析导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质求解.二、解题秘籍(一) 抽象函数的奇偶性及应用若可导函数是偶（奇）函数，则是奇（偶）函数.【例1】已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，记，也是偶函数，求的值.【解析】因为是偶函数，所以是奇函数，即，所以，所以，令可得，即，因为为偶函数，所以，即，所以，即，得，所以4是函数的一个周期，所以(二)和差型抽象函数的应用解答此类问题时一般要根据题意构造辅助

2、函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所构造的函数的单调性求解如给出式子,可构造函数，给出式子,可构造函数 ，一般地，若给出通常构造函数.【例2】已知的导函数满足且，求不等式的解集【解析】令，则，在上为单调递增又，则可转化为，根据单调性可知不等式的解集为(三)积型抽象函数的应用若给出形如的式子通常构造函数 ，如给出可构造函数，如给出，可构造函数，如给出，可构造函数.【例3】设是定义在上的非负可导函数，且满足，当时，证明:.【解析】是定义在上的非负可导函数，且满足，故不为常数函数，且，构造函数，则，在上单调递减，又，且，故，则，又，所以，两式相乘得，即.【例4】设定义在上的函数

3、的导函数为，若，求不等式（其中e为自然对数的底数）的解集【解析】设，则,，,而,故,在R上单调递增，又，故，的解集为，即不等式的解集为.【例5】定义在上的函数，其导函数是，且恒有成立，比较与的大小.【解析】因为，所以，由，得即令，则所以函数在上为增函数，则，即，所以，即(四)商型抽象函数的应用若给出形如的式子通常构造函数 ，如给出可构造函数，给出，可构造函数，给出，可构造函数.【例6】已知函数在恒有，其中为函数的导数，若，为锐角三角形两个内角，比较的大小.【解析】设，则所以函数在上单调递增.， 为锐角三角形两个内角,则所以，由正弦函数在上单调递增.则所以，即所以.(五)根据构造函数若给出形如的

4、式子通常构造偶函数或奇函数.【例7】设函数在上存在导函数,有,在上有,若,求实数的取值范围.【解析】因为,所以 令 即函数为偶函数,因为上有,所以 即函数在单调递增；又因为所以 即,所以,解得 ,故选B.(六)信息迁移题中的抽象函数求解此类问题关键是如何利用题中的信息.【例8】已知定义在上的函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数为“线性控制函数”.(1)判断函数和是否为“线性控制函数”，并说明理由；(2)若函数为“线性控制函数”，且在上严格增，设为函数图像上互异的两点，设直线的斜率为，判断命题“”的真假，并说明理由；(3)若函数为“线性控制函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意都有.【

5、解析】（1），故是“线性控制函数”；，故不是“线性控制函数”.（2）命题为真，理由如下：设，其中由于在上严格增，故，因此由于为“线性控制函数”，故，即令，故，因此在上为减函数，综上所述，即命题“”为真命题.（3）根据（2）中证明知，对任意都有由于为“线性控制函数”，故，即令，故，因此在上为增函数因此对任意都有，即当时，则恒成立当时，若，则，故若时，则存在使得故1，因此综上所述，对任意都有.（事实上，对任意都有，此处不再赘述）【例9】定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P处的切线相同，则称C1与C2在点P处相切(1)设若曲线与曲线在点P处相切，求m的值；(2)设，若圆M：与曲线在点Q（Q在

6、第一象限）处相切，求b的最小值；(3)若函数是定义在R上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立.是否存在点P，使得曲线和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论【解析】（1）设点，由，求导得，于是，解得，由，得，解得，所以m的值为9.（2）设切点，由求导得，则切线的斜率为，又圆M：的圆心，直线的斜率为，则由，得，令，求导得，当时，当时，即函数在上递减，在上递增，因此当时，所以当时，.（3）假设存在满足题意，则有，对函数求导得：，于是，即，平方得，即有，因此，整理得，而恒有成立，则有，从而，显然，于是，即与恒成立矛盾，所以假设不成立，即不存在点满足条件.三、典例展示【例1】已知函数的定义域为，导

7、函数为，若恒成立，求证：.【解析】设函数，因为，所以，则，所以在上单调递减，从而,即，所以.【例2】已知函数满足，且，判断函数零点的个数.【解析】，代入，得，.或，；，如图所示，函数与函数的图像交点个数为2个，所以的解得个数为2个；综上，零点个数为3个.【例3】已知函数的导函数为，若，且，求不等式的解集【解析】令，则，在上递增，由，化为，即，即不等式的解集为.【例4】已知定义在R上的函数的导数为,且满足,当时 ,求不等式的解集.【解析】设,则,所以=,所以是偶函数,设,则,所以,即,所以时 , 所以时,在上是增函数,所以,故选C.【例5】已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有.(1)

8、若，求实数a的取值范围；(2)若存在，对任意，成立，试判断函数的零点个数，并说明理由；(3)若存在a、，使得，证明：对任意的实数、，都有.【解析】（1）若，则，由题意，对任意的都有，则，即，所以，由于的最小值为，的最大值为，所以，即实数a的取值范围为；（2）依题意，所以，在上为减函数，所以至多一个零点；，当时，当时，所以存在零点，综上存在1个零点；（3）因为，由导数的定义得 ，即，不妨设若，则若，则.【例6】若定义域为D的函数使得是定义域为D的严格增函数，则称是一个“T函数”(1)分别判断，是否为T函数，并说明理由；(2)已知常数，若定义在上的函数是T函数，证明：；(3)已知T函数的定义域为，

9、不等式的解集为证明：在上严格增【解析】（1），定义域为，则是在上严格单调递增函数，则是“T函数”；，定义域为，则不是在上严格单调递增函数，则不是“T函数”；（2）定义在上的函数是T函数，则在上严格单调递增，设，则，故在上单调递增，故，即，（3）T函数的定义域为，故在上严格单调递增，设，则，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，故，即，当时，恒成立，则恒成立，故，若存在，使，则当时，这与，矛盾，故不存在使，故恒成立，故在上严格增.四、跟踪检测1. 函数满足（为自然数的底数），且当时，都有（为的导数），比较的大小 .【解析】由可得，故设 ，则 ，故函数关于直线对称，由于当时，递增，故当时，递减，

10、由于，故.2.设函数在R上可导，其导函数为，且求证： .【解析】依题意，令函数，则，因，于是得时，时，从而有在上单调递减，在上单调递增，因此得：，而，即f(x)不恒为0，所以恒成立.3. 定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，求证：.【解析】，即，因为定义在上，令则，则函数在上单调递增.由得，即，；同理令，则函数在上单调递减.由得，即.综上，.4已知为定义域上函数的导函数，且， 且，求不等式的解集【解析】由，整理可得，则函数关于成中心对称，所以关于直线成轴对称，当时，由，则，由函数的导数为，则函数在上单调递增，易知在上单调递减，当时，；当时，所以不等式的解集为，5.定义在区间上函数

11、使不等式恒成立，（为的导数），求的取值范围.【答案】【解析】令，则，因为，即，所以在恒成立，即在上单调递减，可得，即，由，可得，则；令，因为，即，所以在上单调递增，可得，即，则，即有.6.设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“函数”.(1)分别判断和是否为函数，并说明理由；(2)若是函数，求正数的取值范围；(3)已知奇函数及其导函数定义域均为.判断“在上严格减”是“为函数”的什么条件，并说明理由.【解析】（1）设，所以，所以和均为定义在上的奇函数.当时，函数严格减，故是函数.而当和时，故不是函数.（2），设，定义域为，所以是定义在上的奇函数.当时，不是函数，下设.当时，令，则.再设，则

12、.设，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以，即恒成立，所以当时，所以当时，；当时，.因为，所以当时，当时，即恒成立，则函数严格单调递增，当时，即恒成立，则函数严格单调递减，所以正数的取值范围是.（3）证：函数是定义在上的奇函数，且在上严格减，故为函数.但当或时取值相等，从而不是上严格减的函数.故“在上严格减”不是“为函数”的必要条件.下证“在上严格减”是“为函数”的充分条件.对任意，定义.则由得，且由严格减得,当时，故当时，即.现任取，考虑.则，且当时，.由关于函数的讨论知，此时.故当时，即：对任意，.移项得，故在上严格减，即为函数.综上，“在上严格减”是“为函数”的充分非必要条件

13、.7.设是定义在上且满足下列条件的函数构成的集合：方程有实数解；函数的导数满足（1）试判断函数是否集合的元素，并说明理由；（2）若集合中的元素具有下面的性质：对于任意的区间，都存在，使得等式成立，证明：方程有唯一实数解（3）设是方程的实数解，求证：对于函数任意的，当，时，有【解析】（1）函数是集合中的元素理由如下：方程，即显然是方程的实数解，因此，方程有实数解.由于，又，即，所以.综上，函数是集合中的元素.（2）（反证法）由条件知方程有实数解.假设方程有两个不相等的实数解，不妨设，则，.由函数的性质知，存在，使得，即又由条件知，所以，即，这与矛盾因此，方程有唯一实数解.（3）对任意的，当且时，不妨设，则因为，所以在上是增函数，所以.令，则，所以是上的减函数，所以，即，所以.因此，对任意的，当，且时，有