专题13.5 三角形中的八大经典模型【八大题型】（举一反三）（沪科版）（原卷版）.docx

1、专题13.5 三角形中的八大经典模型【八大题型】【沪科版】【题型1 A字模型】1【题型2 8字模型】3【题型3 双垂直模型】4【题型4 飞镖模型】6【题型5 风筝模型】8【题型6 两内角角平分线模型】9【题型7 两外角角平分线模型】11【题型8 内外角角平分线模型】14【知识点1 A字模型】【条件】ADE与ABC.【结论】AED+ADE=B+C.【证明】根据三角形内角和可得，AED+ADE=180-A，B+C=180-A，AED+ADE=B+C，得证.【题型1 A字模型】【例1】（2023春湖北荆门八年级校联考期末）如图，在ABC中，C70，沿图中虚线截去C，则12（）A360B250C180

2、D140【变式1-1】（2023春八年级单元测试）如图所示，DAE的两边上各有一点B,C，连接BC，求证DBC+ECB=180+A【变式1-2】（2023春常州期中）如图，ABC中，B68，A比C大28，点D、E分别在AB、BC上连接DE，DEB42（1）求A的度数；（2）判断DE与AC之间的位置关系，并说明理由【变式1-3】（2023春江苏泰州八年级校联考期中）如图，已知A=40，则1+2+3+4的度数为 【知识点2 8字模型】【条件】AD、BC相交于点O.【结论】A+B=C+D.(上面两角之和等于下面两角之和)【证明】在ABO中，由内角和定理：A+B+BOA=180，在CDO中，C+D+C

3、OD=180，A+B+BOA=180=C+D+COD，由对顶角相等：BOA=CODA+B=C+D，得证.【题型2 8字模型】【例2】（2015-2016学年北京市怀柔区八年级上学期期末数学试卷（带解析）如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，D=28，则A+B+C+F的度数为()A62B152C208D236【变式2-1】（2013-2014学年初中数学苏教版八年级上册第一章练习卷（带解析）如图，ABCADE，且CAD=10，B=D=25，EAB=120，求DFB和DGB的度数【变式2-2】（2023河北统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且A

4、，B，E保持不变为了舒适，需调整D的大小，使EFD=110，则图中D应 （填“增加”或“减少”） 度【变式2-3】（2023春八年级期末）（1）如图，求A+B+C+D+E+F的度数；（2）如图，求A+B+C+D+E+F+G+H的度数；（3）如图，求A+B+C+D+E+F+G的度数【知识点3 双垂直模型】【条件】B=D=ACE=90.【结论】BAC=DCE，ACB=CED.【证明】B=D=ACE=90；BAC+ACB=90；又ECD+ACB=90；BAC=DCE同理,ACB+DCE=90，且CED+DCE=90；ACB=CED，得证.【题型3 双垂直模型】【例3】（2023春广东珠海八年级校联考

5、期末）如图1，线段ABBC于点B，CDBC于点C，点E在线段BC上，且AEDE（1）求证：EAB=CED；（2）如图2，AF、DF分别平分BAE和CDE，EH平分DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G求证EGAF；求F的度数【提示：三角形内角和等于180度】【变式3-1】（2023春江苏泰州八年级校考期中）如图，在ABC中，ACB=90，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F， 求证：CFE=CEF请在以下的解题过程中的括号里填推理的理由证明：AE平分CAB（已知）CAE=FAB（_）ACE=90（已知）CAE+CEF=90（_）CD是ABC的高（已知）FDA=90（三角形高

6、的定义）FAB+AFD=90（直角三角形的两锐角互余）CEF=AFD（_）CFE=AFD（_）CFE=CEF（_）【变式3-2】（2023春山东青岛八年级山东省青岛第五十九中学校考期中）如图，在等腰RtABC中，ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于点G(1)判断DBF的形状，并说明理由(2)求证：ADCF【变式3-3】（2023春山东济南八年级济南育英中学校联考期中）如图，ABC中，B=90，点D在射线BC上运动，DEAD交射线AC于点E（1）如图1，若BAC=60，当AD平分BAC时，求EDC的度数；（2）如图2，当点D在线

7、段BC上时，判断EDC与BAD的数量关系并说明理由；作EFBC于F，BAD、DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，G的度数会变化吗？如果不变，求出G的度数；如果变化，说明理由；（3）如图3，当点D在BC的延长线上时，作EFBD于F，BAD的角平分线和DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，G的度数会变化吗？如果不变，求出G的度数；如果变化，说明理由【知识点4 飞镖模型】【条件】四边形ABDC如上左图所示.【结论】D=A+B+C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：BDC=BDE+CDE=(B+1)+(2+C)=B+BAC+C.本质为两个三角形外角和定

8、理证明.【题型4 飞镖模型】【例4】（2023春江苏镇江八年级统考期中）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果A=52,B=25，C=30,D=35,E=72，那么F的度数是（）A72B70C65D60【变式4-1】（2023春八年级期末）如图，已知在ABC中，A=40，现将一块直角三角板放在ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在ABC的内部，则ABD+ACD=（）A90B60C50D40【变式4-2】（2023全国八年级假期作业）如图所示，已知四边形ABDC，求证BDC=A+B+C【变式4-3】（2023春福建南平八年级统考期中）如图，若EOC

9、=115，则A+B+C+D+E+F= 【知识点5 风筝模型】 【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.【结论】PBD+PCE=A+P.【证明】如上右图，连接AP，则：PBD=PAB+APB，PCE=PAC+APC，PBD+PCE=PAB+APB+PAC+APC=BAC+BPC，得证.【题型5 风筝模型】【例5】（2023春重庆渝北八年级校考期中）如图,将ABC沿着DE翻折,使B点与B点重合,若1+2=80,则B的度数为（）A20B30C40D50【变式5-1】（2023春八年级期末）如图，把ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示若A55，195，则2的度数为（）A1

10、4B15C28D30【变式5-2】（2023春八年级期末）如图，三角形纸片ABC中，A=65,B=75，将C沿DE翻折，使点C落在ABC外的点C处若1=20，则2的度数为 【变式5-3】（2023春全国八年级专题练习）如图，将ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A处，且AB平分ABC，AC平分ACB，若BAC120，则1+2的度数为（）A90B100C110D120【知识点6 两内角角平分线模型】【条件】ABC中，BI、CI分别是ABC和ACB的角平分线，且相交于点I.【结论】【证明】BI是ABC平分线，CI是ACB平分线，由ABICA的飞镖模型可知：I=A+2+3=A+=A+=.【题型6 两内

11、角角平分线模型】【例6】（2023春江苏苏州八年级期中）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动（1）如图1，已知AE、BE分别是BAO和ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB的大小（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是BAP和ABM的角平分线，又DE、CE分别是ADC和BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED的度数（3）如图3，延长BA至G，已知BAO、OAG的角平分线与BOQ的

12、角平分线及反向延长线相交于E、F，在AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO的度数为_（直接写答案）【变式6-1】（2023春全国八年级专题练习）如图，BE平分ABD，CF平分ACD，BE与CF交于点G，若BDC=140，BGC=100，则A=（）A80B75C60D45【变式6-2】（2023春全国八年级专题练习）如图，在ABC中，ABC和ACB的角平分线交于点O，延长BO与ACB的外角平分线交于点D，若BOC130，则D 【变式6-3】（2023春黑龙江哈尔滨八年级校联考期末）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是BAO和ABO的角平分线，BC

13、延长线交OM于点G（1）若MON=60，则ACG= ；（直接写出答案）（2）若MON=n，求出ACG的度数；（用含n的代数式表示）（3）如图2，若MON=80，过点C作CFOA交AB于点F，求BGO与ACF的数量关系【知识点7 两外角角平分线模型】【条件】ABC中，BI、CI分别是ABC的外角的角平分线，且相交于点O.【结论】.【证明】BO是EBC平分线，CO是FCB平分线，由BCO中内角和定理可知：O=180-2-5=180-=180-=【题型7 两外角角平分线模型】【例7】（2023春江苏八年级专题练习）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明A+B=C+D；【简单应用

14、】（2）如图2， AP、CP分别平分BAD BCD，若ABC=46，ADC=26，求P的度数；【问题探究】（3）如图3，直线AP平分BAD的外角FAD，CP平分BCD的外角BCE，若ABC=36，ADC=16，请猜想P的度数，并说明理由【拓展延伸】（4） 在图4中，若设C=，B=，CAP=13CAB，CDP=13CDB，试问P与C、B之间的数量关系为： （用、表示P）； 在图5中，AP平分BAD，CP平分BCD的外角BCE， 猜想P与B、D的关系，直接写出结论【变式7-1】（2023春全国八年级专题练习）如图，五边形ABCDE在BCD,EDC处的外角分别是FCD,GDC,CP,DP分别平分FC

15、D和GDC且相交于点P若A=160,B=80,E=90，则CPD= 【变式7-2】（2023春全国八年级专题练习）如图，点P是ABC的外角BCE和CBF的角平分线交点，延长BP交AC于G，请写出A和CPG的数量关系.【变式7-3】（2023春八年级期末）如图1，ABC的外角平分线交于点F（1）若A40，则F的度数为 ；（2）如图2，过点F作直线MNBC，交AB，AC延长线于点M，N，若设MFB，NFC，则A与+的数量关系是 ；（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索A与，之间的数量关系，并说明理由；当直线MN与线段BC有交点时，试问中A与，之间

16、的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系【知识点8 内外角角平分线模型】【条件】ABC中，BP、CP分别是ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P.【结论】【证明】 BP是ABC平分线， CP是ACE平分线，由ABC外角定理可知：ACE=ABC+A即：21=23+A 对式两边同时除以2，得：1=3+ 又在BPC中由外角定理可知：1=3+P 比较式子可知：.=.【题型8 内外角角平分线模型】【例8】（2023春八年级期末）如图，BA1和CA1分别是ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是A1BD的平分线，CA2是A1CD的平分线，BA3是A2BD的平分线，

17、CA3是A2CD的平分线，以此类推，若A=，则A2020= 【变式8-1】（2023春八年级期末）如图，已知ABC的两条高BD、CE交于点F，ABC的平分线与ABC外角ACM的平分线交于点G，若BFC=8G，则A= 【变式8-2】（2023春八年级期末）如图，在ABC中，A=60，BD、CD分别平分ABC、ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分MBC、BCN，BF、CF分别平分EBC、ECQ，则F= 【变式8-3】（2023春江苏南通八年级南通田家炳中学校考期末）在ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称ABC为n倍角三角形例如，在ABC中，A80，B75，C25，可知B3C，所以ABC为3倍角三角形（1）在ABC中，A80，B60，则ABC为 倍角三角形；（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为，请直接写出的取值范围为 （3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）延长BA至G，已知BAO、OAG的角平分线与BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若AEF为4倍角三角形，求ABO的度数