专题18 条件概率5种常见考法归类（解析版） .docx

1、专题18 条件概率5种常见考法归类思维导图核心考点聚焦考点一、利用定义求条件概率考点二、条件概率的性质及应用考点三、乘法公式考点四、全概率公式及其应用考点五、贝叶斯公式及其应用1条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，记为，读作“发生条件下发生的概率”，即(2)条件概率具有的性质0P(B|A)1；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2、两点说明（1）一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件），求另

2、一事件在此条件下发生的概率；（2）通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。3、乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则.4、全概率公式：P(B)P(Ai)P(B|Ai)注：全概率公式的来由：不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算。5、贝叶斯公式设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，且，i1，2，n，则对任意事件，有 ，注：在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率1、求条件概率的常用方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B

3、|A).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的样本点数，即n(AB)，得P(B|A).2、应用全概率公式求概率的步骤(1)根据题意找出完备事件组，即满足全概率公式的的一个划分A1，A2，A3，An；(2)用Ai(i1,2,3，n)来表示待求的事件；(3)代入全概率公式求解考点剖析考点一、利用定义求条件概率1（2023全国模拟预测）为了给学生树立正确的劳动观，使学生懂得劳动的伟大意义，某班从包含甲、乙的6名学生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（）ABCD【答案】B【分析】利用条件概率的公式计算

4、.【详解】令事件为甲被选中，事件为乙被选中，则，故.快解 ： 令事件为甲被选中，事件为乙被选中，.故选：B.2（2024上北京昌平高二统考期末）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（）A22.5%B30%C40%D75%【答案】C【分析】由条件概率的公式计算即可得.【详解】设事件为“抽到喜欢文学阅读的学生”，设事件为“抽到喜欢科普阅读的学生”，则，则，即在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为.故选：C.3（2023上云南昆明

5、高三云南师大附中校考阶段练习）袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（）ABCD【答案】A【分析】根据条件概率公式分别求出第二次摸到的是红球的概率，再求得第一次、第二次都摸到红球的概率即可得出结果.【详解】记为第次摸到的是红球，则，又，所以，故选：A.4（2024全国模拟预测）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事

6、件为“两位游客选择的景点相同”，则等于（）ABCD【答案】A【分析】利用条件概率公式即可求得的值.【详解】由题意，知，所以故选：A5（2024上内蒙古呼和浩特高三统考期末）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（）ABCD【答案】B【分析】依题意代入条件概率公式计算即可得出结果.【详解】根据题意可得利用条件概率公式可得.故选：B6（2024河南模拟预测）现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，

7、若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件“第一次摸球摸出黑球”，事件“第二次摸球摸出白球”，则（）ABCD【答案】D【分析】根据条件概率公式概率计算方法进行计算即可.【详解】根据题意可知，第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率，则,故选：D.7（2023四川宜宾统考一模）某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（）ABCD【答案】B【分析】根据条件概率知识即可求解.【详解】用A表示事件“代表队既有男生又有女生”， B表示事件“女生

8、甲被选中”，则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为.所以，故选：B.考点二、条件概率的性质及应用8（2024湖北武汉武汉市第六中学校联考二模）设，为任意两个事件，且，则下列选项必成立的是（）ABCD【答案】D【分析】由题设有，根据条件概率公式有，结合，即可得答案.【详解】由，则，故，而，则，又，所以.故选：D9（2023下陕西西安高二校联考阶段练习）下列说法正确的是（）AB是可能的CD【答案】B【分析】利用条件概率公式及概率的性质判断各项的正误.【详解】由，当，则，A错误；当A或B为不可能事件时，C错误；B：要使，即，当恰好为A的子事件成立，正确；D：由，故错误.故选：B1

9、0（2023云南昆明昆明一中校考模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，则的值等于（）ABCD【答案】A【分析】根据条件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案.【详解】由题意，由，是互斥事件知，所以，故选：A11（2024上河南南阳高二南阳市第五中学校校联考期末）已知，则 .【答案】【分析】求出的值，利用条件概率公式可求得的值.【详解】因为，则，所以，.故答案为：.12（2021上安徽安庆高二安徽省桐城中学校考期末）已知，且若，则 【答案】/【分析】由，可得相互独立，再结合已知条件，根据独立事件的概率乘法公式，即可求解【详解】由可得相互独立，又，又因为，所以，所以故答案为：13

10、（2023上江苏盐城高三盐城中学校联考阶段练习）已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（）ABCD【答案】D【分析】由条件概率计算公式直接计算即可.【详解】，.故选：D.14（2024全国模拟预测）已知，是一个随机试验中的两个事件，若，则等于（）A3B4C5D6【答案】A【分析】由条件概率计算公式计算得，求的值.【详解】因为，所以，即，同理，由得，因为，所以，所以，所以故选：A.15（2022湖北武汉武汉二中校考模拟预测）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，则下列说法正确的是（）AB若，则 A，B对立C若A，B独立，则D若A，B互斥，则【答案】C【分析】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对

11、立事件的概率公式，对四个选项进行分析判断，即可得到答案；【详解】对A，故A错误；对B，若A，B对立，则，反之不成立，故B错误；对C，根据独立事件定义，故C正确；对D，若A，B互斥，则，故D错误；故选：C考点三、乘法公式16（2022上高二课时练习）已知，则（）ABCD【答案】D【分析】根据概率的乘法公式计算可得.【详解】因为，所以.故选：D.17（2021高二课时练习）设P(A|B)P(B|A)，P(A)，则P(B)等于（）ABCD【答案】B【分析】由已知可求出，再由即可求出.【详解】，由，得.故选：B.18（2023上高二课时练习）已知，则 【答案】/【分析】应用概率乘法公式将算两次，建立方

12、程求解即可.【详解】由概率乘法公式可知，已知，代入上式则，解得.故答案为：.19（2023江苏无锡校联考三模）已知，为两个随机事件，则（）A0.1BC0.33D【答案】B【分析】根据互斥、对立事件的加法公式和条件概率公式和乘法公式即可求解。【详解】，所以，所以，所以，即，所以，即，解得，故选：B.考点四、全概率公式及其应用20（2024全国高三专题练习）书架上有3本语文书，2本数学书，甲、乙两位同学先后从书架上任取一本书，则乙取到语文书的概率是（）ABCD【答案】B【分析】设表示“乙取到语文书”，表示“甲取到语文书”，再根据全概率公式即可求解.【详解】用表示“乙取到语文书”，表示“甲取到语文书

13、”，则故选：B.21（2023河南统考模拟预测）小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A，B，C三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A，B，C三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A，B，C三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是（）A0.24B0.14C0.077D0.067【答案】C【分析】利用全概率公式计算即可.【详解】由题意，小明闯关失败的概率.故选：C.22（2024上安徽合肥高三合肥市第八中学校联考期末）若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试

14、剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（）A0.02B0.98C0.049D0.05【答案】A【分析】根据条件概率以及对立事件的概率，结合题意写出对应概率，利用全概率公式，可得答案.【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，则故所求概率，解得.故选：A.23（2024全国模拟预测）现有两个袋子，第一个袋子中有2个红球和3个黑球，第二个袋子中有1个红球和3个黑球随机选择一个袋子，然后从中随机摸出2个

15、球，则恰好摸出1个红球和1个黑球的概率为（）ABCD【答案】C【分析】根据全概率公式求得，再进行计算即可.【详解】设“选到第一个袋子”为事件，“选到第二个袋子”为事件，“随机摸出2个球，恰好摸出1个红球和1个黑球”为事件，则，所以故选：C24（2024上黑龙江高二校联考期末）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数的值为（）A0.9B0.85C0.8D0.75【答案】A【分析】根据给定条件，由全概率公式列式，求解计算即可求出结果.【详解】记为事件“盆栽没有枯萎”，

16、为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得，由对立事件的概率公式可得.由全概率公式可得，解得.故选：A25（2024上黑龙江大庆高三校考阶段练习）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（）A0.48B0.52C0.56D0.65【答案】B【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.【详解】种植一等麦种和二等麦种的事件分别为，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件，依题意，由全概率公式得，.故选：B26（2023上湖南长沙高三长沙一中校考阶段练习）第19届亚运会正在杭州举行，运动员

17、甲就近选择A餐厅或者B餐厅就餐，第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）A0.75B0.6C0.55D0.45【答案】B【分析】根据全概率公式计算即可.【详解】运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为，故选:B.27（2023全国模拟预测）某部门对一家食品店的奶类饮品和面包类食品进行质检，已知该食品店中奶类饮品占，面包类食品占，奶类饮品不合格的概率为0.02，面包类食品不合格的概率为0.01现从该食品店随机抽检一件商品，则该商品不合格的概率为（）A0.03B0.024C

18、0.012D0.015【答案】C【分析】利用全概率公式计算即可.【详解】设事件表示“抽到的商品为奶类饮品”，事件表示“抽到的商品为面包类食品”，则，设事件表示“抽检的商品不合格”，则，所以， 故选：C28（2023上云南高三云南师大附中校考阶段练习）随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（）A0.24B0.14C0.06

19、7D0.077【答案】D【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的，以及互斥事件的概率加法公式，准确计算，即可求解.【详解】记小明步行上班为事件，骑共享单车上班为事件，乘坐地铁上班为事件，小明上班迟到为事件，则，所以，所以某天上班他迟到的概率是.故选：D.29（2024贵州校联考模拟预测）甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；(2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.【答

20、案】(1)(2)【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可.（2）利用条件概率公式求解即可.【详解】（1）记取到甲盒子为事件，取到乙盒子为事件，取到丙盒子为事件，取到黑球为事件B：由全概率公式得，故摸出的球是黑球的概率是.（2）由条件概率公式得，故此球属于乙箱子的概率是30（2023上上海高二上海市第二中学校考阶段练习）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和.(1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率；(2)从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的

21、概率是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算得解；（2）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解.【详解】（1）这两件产品来自同一流水线的概率为.（2）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，由题，且，从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是：.考点五、贝叶斯公式及其应用31（2023上云南曲靖高三曲靖一中校考阶段练习）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭周一去食堂一楼和二楼的概

22、率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（）ABCD【答案】A【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可.【详解】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B，则本题所求故选：A32（2023上江苏常州高三统考期中）居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（）A0.99B0.9C0.5D0.1【答案】C【分析】

23、记事件某人患病，事件化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件某人患病，事件化验结果呈阳性，由题意可知，所以，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是：.故选：C.33（2023云南大理统考模拟预测）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是最初人们不知道这个小孩诚

24、实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（）ABCD【答案】D【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解.【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”，则，则，故，故.故选：D34（2023河北秦皇岛校联考二模）根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（）ABCD【答案】C【

25、分析】分别表示出三个事件：失踪的飞机后来被找到、失踪的飞机后来未被找到、装有紧急定位传送器的概率，再用条件贝叶斯公式计算即可得出结论.【详解】设“失踪的飞机后来被找到”，“失踪的飞机后来未被找到”，“安装有紧急定位传送器”，则，安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为.故选：C.35（2023上江苏常州高三江苏省前黄高级中学校考开学考试）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则（）ABCD【答案】A【分析】根据条件概率的性质及变式可求得，由已知可

26、求得，根据贝叶斯公式可求得答案【详解】解：因为，所以，因为，所以，所以由全概率公式可得，因为，所以所以故选：A36（2023广西南宁南宁三中校考模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随

27、机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率【答案】(1)(2)【分析】（1）利用条件概率公式求摸出的2个球是红球的概率；（2）利用全概率公式和贝叶斯公式求红球来自乙箱的概率.【详解】（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”，则，故（2）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，,故.37（2023下河北石家庄高二石家庄市第四十一中学校考阶段练习）三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%将三批产品混合，从混

28、合产品中任取一件(1)求这件产品是次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率【答案】(1)(2)【分析】（1）取到第批产品为事件，取到次品为事件，由全概率公式求解；（2）由条件概率公式结合乘法公式求解.【详解】（1）设取到第批产品为事件，取到次品为事件.（2）.38（2023全国高二随堂练习）现在一些大的建筑工程都实行招投标制在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质（含施工质量、信誉等）进行调查和评定是非常重要的设B=“被调查的施工企业资质不好”，A=“被调查的施工企业资质评定为不好”由过去的资料知，现已知在被调查的施工企业当中有确实资质不好，求评定为资质不好的施工企业确实资

29、质不好的概率（精确到0.01）【答案】0.55【分析】由贝叶斯公式计算即可.【详解】由题意可得，所以，.即评定为资质不好的施工企业确实资质不好的概率约为0.55.过关检测一、单选题1（2023上吉林长春高二东北师大附中校考期末）一枚硬币掷三次，已知一次正面朝上，那么另外两次都是反面朝上的概率为（）ABCD【答案】B【分析】先分析试验的基本事件总数，然后考虑“有一次正面朝上”的基本事件数，再分析“另外两次都是反面朝上”的基本事件数，根据基本事件数的比值可求结果.【详解】一枚硬币掷三次，包含的基本事件有：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）

30、，共个，有正面朝上的基本事件有：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），共个，其中有两次都是反面朝上的基本事件有：（正反反），（反正反），（反反正），共个，故所求概率为，故选：B.2（2024上广东江门高三统考阶段练习）设A，B为两个事件，已知，则（）ABCD【答案】B【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.【详解】由，得，显然，因此，所以故选：B3（2023四川甘孜统考一模）某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品，2件次品，从中不放回地取出产品，每次1件，共取

31、两次.已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是（）ABCD【答案】C【分析】利用条件概率的定义解题即可.【详解】设事件A=“第一次取得次品”，事件B=“第二次取得次品”，则，故.故选：C4（2023湖南郴州统考一模）湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（）ABCD【答案】

32、B【分析】利用古典概率求出事件的概率，再利用条件概率公式计算即得.【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有个基本事件，事件A含有的基本事件数是，则，事件含有的基本事件数为，则,所以.故选：B5（2023上贵州高三校联考阶段练习）在2023亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3分球投手，在比赛中，她3分球投中的概率为，非3分球投中的概率为，且她每次投球投3分球的概率为，则该球员投一次球得分的概率为（）ABCD【答案】C【分析】根据全概率公式即可求解.【详解】设事件A为“该球员投球得分”，事件B为“该球员投中3分球得分”，由全概率公式：，故选：C6（202

33、4上辽宁高二盘锦市高级中学校联考期末）小张小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（）ABCD【答案】D【分析】先计算事件的概率，再利用条件概率计算即可.【详解】由题意可知两家都没选择丹东凤凰山，即，所以，而有一家选择丹东凤凰山，另一家选别的景点，则，所以.故选：D7（2023上山东济宁高二济宁一中校考阶段练习）甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概

34、率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（）ABCD【答案】D【分析】分两类，利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式计算即可.【详解】甲取得最后的胜利包含两种情况:一是第4局甲胜，此时甲胜的概率为；二是第4局甲负，第5局甲胜，此时甲胜的概率为，所以甲取得最终胜利的概率为.故选；D.8（2023四川雅安统考一模）甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择，则等于（）ABCD【答案】B【分析】先利用排列组合及计数原理，求出和，再利用条件概率公式即可

35、求出结果.【详解】由题意知，所以，故选：B.9（2024全国高三专题练习）甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ）ABC事件与事件不相互独立D、两两互斥【答案】A【分析】利用全概率公式可判断A选项；直接写出的值，可判断B选项；利用独立事件的定义可判断C选项；利用互斥事件的定义可判断D选项.【详解】依题意，B对，A错；，所以，所以，事件与事件不相互独立，C对，由题意可知，事件、中的任意两个事件都不可能同时

36、发生，因此，事件、两两互斥，D对.故选：A.10（2023全国模拟预测）某罐中装有大小和质地相同的个红球和个绿球，每次不放回地随机摸出个球记“第一次摸球时换到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（）ABCD【答案】C【分析】根据题意得，可对A项判断；由，可对B项判断；由，且可对C项判断；由，可对D项判断.【详解】对于A项：由题意知，故A错误对于B项：因为，不相互独立，所以，故B错误对于C项：因为，所以，故C正确对于D项：，则，故D错误故选：C.二、多选题11（2024上全国高三期末）已

37、知随机事件满足，则下列说法正确的是（）A不可能事件与事件互斥B必然事件与事件相互独立CD若，则【答案】ABC【分析】对于随机事件的互斥、独立以及条件概率等式是否成立，应按照其定义进行判断即可；而要说明条件概率等式不能成立，则可以通过举反例说明.【详解】因为不可能事件与事件不会同时发生，所以互斥，故选项A正确；因为,所以，所以必然事件与事件相互独立，故选项B正确；因为，且互斥，所以，故选项C正确；对于选项D，假如做抛掷一枚骰子1次的试验，设事件为出现点数小于等于4，事件为出现点数小于等于2，则，但故选项 D 错误.故选:ABC.12（2023下湖南高二校联考期中）有3台车床加工同一型号的零件，第

38、1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（）ABCD【答案】ACD【分析】AB选项，根据题意可得到，判断AB；C选项，根据全概率公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算.【详解】AB选项，事件“零件为第i台车床加工”（ ），事件“零件为次品”，则，故A正确，B错误；C选项，故C正确；D选项，故D正确故选：ACD13（2024云南楚雄云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取

39、出两个球，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球同色”，事件“取出的两球不同色”，则（）A与互斥B与互为对立事件C与相互独立D【答案】BC【分析】首先将所有的基本事件，以及事件所包含的基本事件一一列举出来，根据互斥事件、对立事件的概念，独立事件的定义以及条件概率的计算方法验证即可.【详解】基本事件有12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12种，事件“12，13，14，21，23，24”；事件“12，21，31，41，32，42”；事件“12，21，34，43”；事件“13，14，23，24，31，41，32，42”，与不是互

40、斥事件，故A错误；，与互为对立事件，故B正确；事件“12，21”，与相互独立，故C正确；事件“31，41，32，42”，故D错误故选：BC.14（2024上辽宁抚顺高二校联考期末）在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（）A抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为B抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为C若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为D若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为【答案】AB【分析】A选项，设出事件，利用乘法公式求出A正确；B选项，由全概率公式得到B正确；C选项，结合B选

41、项，利用贝叶斯公式得到C错误；D选项，利用对立事件求概率公式求出答案.【详解】A选项，用分别表示抽到的学生是男生女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼.由题意得，则，故抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为，A正确；B选项，由全概率公式得，B正确.C选项，由B选项可得，C错误；D选项，由C选项可得，D错误.故选：AB15（2024上湖北武汉高三统考期末）设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，则（）AA，B相互独立 BCD【答案】ABD【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A、B，利用条件概率的定义与公式可判定C、D.【详解】由题意可知，事件互斥，且，所以，即，故A正确；则

42、，故B正确；由条件概率公式可知：，故C错误；，即，故D正确.故选：ABD16（2023上广东深圳高三校考期末）深圳某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为 ，且每人选择相互独立，则（）A三人选择社团一样的概率为B三人选择社团各不相同的概率为C至少有两人选择篮球社的概率为D在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为【答案】ACD【分析】利用互斥事件、相互独立事件概率公式计算判断A BC；利用条件概率公式计算判断D作答.【详解】对于A，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的

43、事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，三人选择社团一样的概率为，A正确；对于B，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为，B错误；对于C，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为，C正确； 对于D，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A，由选项C知，小王选择羽毛球社的事件为B，则事件AB是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率，所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为，D正确.故选：ACD三、填空

44、题17（2022上黑龙江哈尔滨高二哈师大附中校考期末）甲同学和乙同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若甲同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在甲先胜一局的条件下，甲最终能获胜的概率是 .【答案】/0.9375【分析】求出前两局甲胜以及甲第一局和第三局胜，第二局输的概率，根据条件概率的概率公式即可求得答案.【详解】在甲先胜一局的条件下，甲再胜第二局即前两局甲胜的概率为，甲第一局和第三局胜，第二局输的概率为，故在甲先胜一局的条件下，甲最终能获胜的概率是，故答案为：18（2024上江苏泰州高三统考期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋

45、子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为 .【答案】【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】记事件A为第1次摸到白球，事件为第2次摸到黑球，则，所以.故答案为：.19（2024上山东滨州高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则 【答案】【分析】由题设求出，利用全概率公式、条件概率公式进行求解即可

46、【详解】由题意得，若发生，此时乙箱中有6个红球，2个白球和3个黑球，则，先发生，此时乙箱中有5个红球，3个白球和3个黑球，则，先发生，此时乙箱中有5个红球，2个白球和4个黑球，则， ；.故答案为：20（2024上重庆高三统考期末）一个袋子中有5个大小相同的球，其中有编号为1，2的黑球和编号为1，2，3的白球，从中随机取出两个球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为 【答案】/【分析】由组合数公式、分步乘法以及分类加法计数原理即可计算概率.【详解】由题意取出的球颜色不同的取法数有，若球的编号之和为奇数，当选编号为1的黑球时，可以选编号为2的白球，当选编号为2的黑球时，可以选编号

47、为1，3的白球，即在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的取法数有种，所以在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为.故答案为：.21（2024上辽宁辽阳高二统考期末）有6道不同的数学题，其中有4道函数题，2道概率题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.在第一次抽到函数题的条件下，第二次还是抽到函数题的概率是 【答案】/【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可求得结果.【详解】设事件表示“第一次抽到函数题”，表示“第二次抽到函数题”，则，所以.故答案为：.22（2023上四川攀枝花高二统考期末）某公司为提高产品的竞争力、开拓市场，决定成立甲乙两个小组进行

48、新产品研发，已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为则在新产品研发成功的情况下，新产品是由甲小组研发成功的概率是 【答案】/0.8【分析】根据对立事件求出新产品研发成功的概率，再根据条件概率公式可直接求解【详解】设事件A为“新产品研发成功”，则，事件为“甲小组研发成功”，则，则在新产品研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为故答案为：23（2024上辽宁高二盘锦市高级中学校联考期末）某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有的可能性能做对，没思路的有的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是 .【答案】【分析】根据全概率公式求解即可.【详解

49、】设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题”则小明从这道题目中随机抽取道做对的概率为：.故答案为：.24（2024上上海高二校考期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 .【答案】【分析】求出第一次取到0个、1个、2个新球的概率，再结合条件概率及全概率公式列式计算即得.【详解】用表示第一次取到个新球的事件，用表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件，则，且两两互斥，因此，所以第二次训练时恰好取

50、到1个新球的概率为.故答案为：25（2024上广东东莞高三统考期末）用试剂检验并诊断疾病，表示被检验者患疾病，表示判断被检验者患疾病用试剂检验并诊断疾病的结论有误差，已知，且人群中患疾病的概率若有一人被此法诊断为患疾病，则此人确实患疾病的概率 【答案】【分析】利用条件概率公式求出、的值，可得出的值，再利用条件概率公式可求得的值.【详解】由条件概率公式可得，由条件概率公式可得，所以，所以，.故答案为：.四、解答题26（2023下河北唐山高二开滦第一中学校考期末）某电子设备厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录得到以下数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10.010.120.020.

51、730.030.2设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志(1)在仓库中随机抽取1个元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机抽取1个元件，若已知抽取的是次品，求该次品出自元件制造厂3的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据全概率公式公式计算可得结果；（2）利用贝叶斯公式公式求解即可.【详解】（1）设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”，则，是样本空间的一个划分，且，.由全概率公式得，所以在仓库中随机抽取1个元件，它是次品的概率为.（2）由贝叶斯公式可知该次品出自元件制造厂3的概率为：.27（2023下福建泉州高二校考期末）在三个地区爆发了流感，这三

52、个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人(1)求这个人患流感的概率；(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用全条件概率公式进行求解即可；（2）利用条件概率公式进行求解即可.【详解】（1）此人来自三个地区分别为事件，事件为这个人患流感，所以，因此；（2）.28（2024上吉林高二校联考期末）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中

53、有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺了”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用古典概型求解；（2）利用条件概率求解；（3）利用全概率求解.【详解】（1）设事件“取出饺子是肉馅”，（2）设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，（3）设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”.设事件，分别是

54、甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，29（2023全国模拟预测）2023年FIBA世界杯届时在印度尼西亚、日本以及菲律宾进行小组赛的角逐，而决赛阶段的比赛将集中在菲律宾首都马尼拉进行，这届世界杯是首次在多个国家举办的世界杯，也为我们呈现了许多扣人心弦的比赛(1)球员甲每次投篮，选择投两分球的概率为，命中率为；投三分球的概率为，命中率为，求球员甲每次投篮命中的概率；(2)“大心脏”通常形容篮球员在最后时刻有良好的心理素质，以高命中率进行得分在比赛最后几分钟内，乙有三次投篮机会，第一投篮的命中率为，从第二次开始，每次投中的命中率会发生改变，若前一次投中，则该次投中的概率比

55、前一次成功的概率增加；若前一次未投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加，求乙在第三次投中的概率【答案】(1)(2)【分析】（1）根据全概率公式求解所求概率即可；（2）根据事件的独立性，结合条件概率公式、全概率公式求解即可.【详解】（1）设事件A为“甲选择投两分球”，事件B为“甲选择投三分球”，事件C为“甲投篮命中”，则球员甲每次投篮命中的概率（2）设事件为“乙在第次投篮命中”，其中，则，所以，故乙在第三次投中的概率为30（2024上辽宁大连高一统考期末）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投

56、篮投中的概率为，且各次投篮互不影响(1)求投篮结束时，甲、乙各只投1个球的概率；(2)求甲获胜的概率；(3)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据独立事件的概率公式即可求解，（2）由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出甲获胜的概率（3）根据独立事件的概率公式即可求解，【详解】（1）设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，则，2，记“投篮结束时，甲、乙各只投1个球”为事件，投篮结束时，甲、乙各只投1个球，则第一次甲投，未投中，第二次乙投，投中了，所以概率为（2）记“甲获胜”为事件，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概

57、率计算公式知：（3）记甲投中的次数为，31（2024上福建泉州高三统考期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率；(2)设第次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求；(3)对于事件，当时，写出的等量关系式，并加以证明.【答案】(1)(2)详见解析(3)详见解析【分析】（1）根据全概率公式求解即可；（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；（3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可.【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为，于是由全概率公式，得.（2）由已知得，.（3）由（2）可得，即，可猜想：,证明如下：由条件概率及，得，所以.