专题19 寻找或构建相似三角形的基本模型解决问题（解析版）.docx

1、专题19 寻找或构建相似三角形的基本模型解决问题（解析版）第一部分 典例剖析+针对训练类型一 A型典例1 （2021徐州）如图，在ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且ADDB=CEEB=32，DBE与四边形ADEC的面积的比 思路引领：先由ADDB=CEEB=32，设AD3m，DB2m，CE3k，EB2k，证明BDAB=EBBC=25，又BB，可证明DBEABC进而可得相似比为25，面积比SDBESABC=(25)2=425，从而可得SDBE：S四边形ADEC4：21解：ADDB=CEEB=32，则设AD3m，DB2m，CE3k，EB2k，BDAB=2m2m+3m=25，EBBC=2k2

2、k+3k=25，BDAB=EBBC=25，又BB，DBEABC相似比为25，面积比SDBESABC=(25)2=425，设SDBE4a，则SABC25a，S四边形ADEC25a4a21a，SDBE：S四边形ADEC=421故答案为：421总结提升：本题考查了相似三角形的判定与性质，证明DBEABC得出相似比是解题的关键针对训练1（2022凉山州）如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，ADDB=23，DE6cm，则BC的长为（）A9cmB12cmC15cmD18cm思路引领：根据ADDB=23，得到ADAB=25，根据DEBC，得到ADEB，AEDC，得到ADEABC，根据

3、相似三角形对应边成比例即可得出答案解：ADDB=23，ADAB=25，DEBC，ADEB，AEDC，ADEABC，DEBC=ADAB，6BC=25，BC15（cm），故选：C总结提升：本题考查了相似三角形的判定与性质，得到相似三角形的对应边的比ADAB=25是解题的关键类型2 X型典例2（2022秋闵行区期末）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB如果ACOC=BDOD=3，且量得CD4cm，则零件的厚度x为（）A2cmB1.5cmC0.5cmD1cm思路引领：根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即

4、可求得x的值解：ACOC=BDOD=3，CODAOB，CODAOB，AB：CD2，CD4cmAB8cm某零件的外径为10cm，零件的厚度x为：（108）21（cm），故选：D总结提升：本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值针对训练1（2022秋保定期末）如图，已知BD是ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点，且AEAB（1）求证：ADECDB（2）若AB4，DCAD=12，求BC的长思路引领：（1）BD是角平分线可得ABDCBD，AEAB可得ABDE，从而CBDE，再利用对顶角相等可得CDBADE，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得结论；（2）由（1）中的结论，利用相似

5、三角形对应边成比例得出比例式，将已知线段代入可求BC（1）证明：BD是ABC的角平分线，ABDCBDABAE，ABDEECBDEDABDC，ADECDB；（2）解：AEAB，AB4，AE4，ADECDB，BCAE=DCAD=12，BC=12AE=2总结提升：本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键类型3 “斜交线”型（斜A型）典例3 如图，在RtABC中，C90，AB14，AC7，D是BC上一点，BD8，DEAB，垂足为E（1）求证：DEBACB；（2）求线段DE的长思路引领：（1）根据相似三角形的判定方法可证明DEBACB；（2）根据相似

6、三角形的性质可得出答案（1）证明：DEAB，BED90，又C90，BEDC又BB，DEBACB；（2）解：DEBACB，BDAB=DEAC，DE=BDACAB=8714=4总结提升：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质得出BDAB=DEAC是解题关键针对训练1（2022秋射洪市期中）如图，在ABC中，AB6cm，BC12cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为1cm/s；动点Q同时从点B开始沿BC边运动，速度为3cm/s的速度当P、Q运动 时，ABC与QBP相似思路引领：先用t表示出APt，BQ3t，BP6t，再利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到当BP

7、BA=BQBC时，BPCBAC或当BPBC=BQBA时，BPCBCA，然后利用比例线段得到关于t的方程，再解方程求出t即可解：如图，APt，BQ3t，BP6t，PBCABC，当BPBA=BQBC时，BPCBAC，即6t6=3t12，解得t=125，当BPBC=BQBA时，BPCBCA，即6t12=3t6，解得t=67，即当t=125s或67s时，由P、B、Q三点连成的三角形与ABC相似故答案为：125s或67s总结提升：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似注意分类讨论思想的应用类型4 “一线三等角”型（K型相似）典例4 （2022兴化市模拟）在等边ABC

8、中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD60，BP4，CD2，则ABC的边长为 思路引领：根据等边三角形性质求出ABBCAC，BC60，推出BAPDPC，即可证得ABPPCD，据此知ABPC=BPCD，即ABAB4=42，解之可得解：ABC是等边三角形，ABBCAC，BC60，BAP+APB18060120，APD60，APB+DPC18060120，BAPDPC，即BC，BAPDPC，ABPPCD；ABPC=BPCD，BP4，CD2，ABAB4=42，解得AB8，ABC的边长为8故答案为：8总结提升：本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出

9、ABPPCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力典例 5（2022秋黄浦区期末）已知，如图1，在四边形ABCD中，BACADC90，CD4，cosACD=45（1）当BCAD时（如图2），求AB的长；（2）联结BD，交边AC于点E，设CEx，ABy，求y关于x的函数解析式并写出定义域；当BDC是等腰三角形时，求AB的长思路引领：（1）由锐角三角函数定义得AC5，再由勾股定理得AD3，然后证ABCDCA，即可解决问题；（2）过D作DNAC于点N，由三角形面积得DN=125，再由勾股定理得CN=165，然后证BAEDNE，即可解决问题；分两种情况，a、当BCBD时，过B作BQCD于点Q，过A作AP

10、BQ于点P，则CQDQ=12CD2，四边形APQD是矩形，再证APBADC，即可求解；b、当BDCD4时，过B作BM直线AD于点M，证BMAADC，得BMAM=34，设BM3k，则AM4k，然后由勾股定理得出方程，解方程，即可得出结论解：（1）ADC90，cosACD=CDAC=45，AC=54CD=5445，AD=AC2CD2=5242=3，BCAD，ACBDAC，BACADC90，ABCDCA，ABCD=ACAD，即AB4=53，AB=203，即AB的长为203；（2）如图1，过D作DNAC于点N，则DNEDNC90，ADC90，SACD=12ACDN=12ADCD，DN=ADCDAC=3

11、45=125，CN=CD2DN2=42(125)2=165，ANACCN5165=95，CEx，AEACCE5x，ENCECNx165，AE0，EN0，165x5，BAEDNE90，AEBNED，BAEDNE，ABDN=AENE，即y125=5xx165，y=12(5x)5x16=6012x5x16，即y关于x的函数解析式为y=6012x5x16（165x5）；BAC90，BCAC，AC5，CD4，BCCD，分两种情况：a、当BCBD时，如图3，过B作BQCD于点Q，过A作APBQ于点P，则CQDQ=12CD2，四边形APQD是矩形，APDQ2，PAD90，BAC90，PADBAC，BAPCA

12、D，APBADC90，APBADC，ABAC=APAD，即AB5=23，解得：AB=103；b、当BDCD4时，如图4，过B作BM直线AD于点M，则BMABACADC90，ABM+BAMCAD+BAM90，ABMCAD，BMAADC，BMAM=ADCD=34，设BM3k，则AM4k，DMAD+AM3+4k，在RtBDM中，由勾股定理得：BD2BM2+DM2，即42（3k）2+（3+4k）2，整理得：25k2+24k70，解得：k1=12+31925，k2=1231925（不符合题意舍去），AB=AM2+BM2=(4k)2+(3k)2=5k=12+3195；综上所述，当BDC是等腰三角形时，AB

13、的长为103或12+3195总结提升：本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、梯形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型针对训练1如图，在等边ABC中，点P是BC上一点，点D是AC上一点，APD60（1）若BP1，CD=23，求ABC的边长；（2）若AB3，BPx，CDy，求y与x之间的函数关系，并求y的最大值思路引领：（1）根据等边三角形性质求出ABBCAC，BC60，推出BAPDPC，即可证得ABPPCD，据此知ABPC=BPCD，即ABAB1

14、=123，解之可得（2）由（1）知ABPC=BPCD，据此得y=13x2+x=13（x32）2+34，依据二次函数的性质可得答案解：（1）ABC是等边三角形，ABBCAC，BC60，BAP+APB18060120，APD60，APB+DPC18060120，BAPDPC，即BC，BAPDPC，ABPPCD；ABPC=BPCD，BP1、CD=23，ABAB1=123，解得：AB3；（2）由（1）知ABPC=BPCD，即33x=xy，则y=13x2+x=13（x32）2+34，当x=32时，y最大=34总结提升：本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推

15、出ABPPCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力类型5 “母子”型典例6（2022秋黄浦区期末）如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E，过点E作BE的垂线，交边AD于点F，如果AB3，BC5，那么DF的长是 12534思路引领：利用矩形的性质求出AC，利用三角形的面积、勾股定理求出DE、CE的长，再利用等角的余角相等说明BAEADE、AEBDEF，得DEFBEA，最后利用相似三角形的性质得结论解：四边形ABCD是矩形，ABCADC90，ABCD3，BCAD5，ABCD，AC=AB2+BC2=32+52=34SADC=12ADCD=12ACDE，DE=153434DEAC，

16、CE=CD2DE2=32(153434)2=93434AEACCE=253434ABCD，BAEDCADCA+CDECDE+ADE90，BAEADEBEFE，DEAC，FEA+AEBDEF+FEA90AEBDEFDEFBEADFAB=DEAEDE=DFAEAB=12534故答案为：12534总结提升：本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质与判定、三角形的内角和定理及勾股定理是解决本题的关键针对训练8（2017泰安模拟）如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DEBC交AC于点E，已知ADAB，连接BE交AD于点F，下列结论：BECE；CADABE；SABF3SDEF；DEFDAE，其中正

17、确的有（）A1个B4个C3个D2个思路引领：要解答本题，首先由中垂线的性质可以求得BECE，利用外角与内角的关系可以得出CADABE，通过作辅助线利用等腰三角形的性质和三角形全等可以得出EFFH=12HB，根据等高的两三角形的面积关系求出AFDF，SABF3SDEF，利用角的关系代替证明54，从而得出DEF与DAE不相似根据以上的分析可以得出正确的选项答案解：D是BC的中点，且DEBC，DE是BC的垂直平分线，CDBD，CEBE，故正确；C7，ADAB，8ABC6+7，8C+4，C+46+7，46，即CADABE，故正确；作AGBD于点G，交BE于点H，连接DHADAB，DEBC，23，DGB

18、G=12BD，DEAG，CDECGA，BGHBDE，由AD与EH相互平分知，四边形AEDH是平行四边形，AFED，AEDH，DEAH，EDA3，51，在DEF与AHF中，EDA=35=1DE=AH，DEFAHF（AAS），AFDF，EFHF=12EH，且EHBH，EF：BF1：3，SABF3SAEF，SDEFSAEF，SABF3SDEF，故正确；12+6，且46，23，53+4，54，DEFDAE，不成立，故错误综上所述：正确的答案有3个故选：C 总结提升：本题考查了中垂线的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的中位线及相似三角形的判定及性质和等积变换等知识类型6 “手

19、拉手”型典例7（2021南通）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设ABE（1）求BCF的大小（用含的式子表示）；（2）过点C作CG直线AF，垂足为G，连接DG判断DG与CF的位置关系，并说明理由；（3）将ABE绕点B顺时针旋转90得到CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF当BFH为等腰三角形时，求sin的值思路引领：（1）由轴对称的性质可得ABBF，BEAF，可求CBF902，由等腰三角形的性质可求解；（2）通过证明点A，点D，点G，点C四点共圆，可得AGDACD45，由等腰三角形的性质可得AFB90，可得CFG45DG

20、A，可证DGCF；（3）分三种情况讨论，由旋转的性质可得AECH，BEBH，ABECBHFBE，ABBC，由“ASA”可证ABENHB，可得BNAE=12AB，即可求解解：（1）如图1，连接BF，点A关于直线BE的对称点为点F，ABBF，BEAF，ABEEBF，CBF902，四边形ABCD是正方形，ABBC，BFBC，BCF=180(902)2=45+；（2）DGCF，理由如下：如图2，连接AC，四边形ABCD是正方形，ACD45，ADC90，CGAF，CGAADC90，点A，点D，点G，点C四点共圆，AGDACD45，ABBF，ABF2，AFB=18022=90，AFC135，CFG45DG

21、A，DGCF；（3）BEAB，BHBF，BHBF；如图3，当BHFH时，过点H作HNBF于N，将ABE绕点B顺时针旋转90得到CBH，ABECBH，EBH90ABC，AECH，BEBH，ABECBHFBE，ABBC，HBF90，BHFH，HNBF，BNNF=12BF=12AB，BNH90BAE，BHN，ABEBHN，ABENHB（ASA），BNAE=12AB，BE=AE2+AB2=5AE，sin=AEBE=55，当BFFH时，FBHFHB90，BFH2ABF，ABFH，即点F与点C重合，则点E与点D重合，点E在边AD上（不与端点A，D重合），BFFH不成立，综上所述：sin的值为55总结提升：

22、本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的有关知识，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键针对训练1（2022秋靖江市期末）如图，已知ABC中，ACB90，ACBC，点D、E在边AB上，CE2BEDE（1）求证：DCE45；（2）当AC3，AD2BD时，求DE的长思路引领：（1）先利用等腰直角三角形的性质求出B，再利用“两边对应成比例，夹角相等”判断CDEBCE，最后利用相似三角形的性质得结论；（2）先利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求出AB、AD、BD的长，再判断BECACD，利用相似三角形的性质求出BE，最后利

23、用线段的和差关系得结论（1）证明：ACB90，ACBC，BA45CE2BEDE，CEBE=DECE又BECBEC，CDEBCEECDB45（2）解：ACB90，ACBC3，BA45，AB=AC2+BC2=32AD2BD，AD+BDAB，3BD32BD=2，AD22BECA+ACE，DCE+ACEACDADCE45，BECACDAB45，BECACDBCAD=BEAC，即322=BE3BE=924BD+DEBE，DEBEBD=9242=524总结提升：本题主要考查了相似三角形，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理及相似三角形的性质和判定是解决本题的关键第二部分 专题提优训练1（2022秋海港区期末

24、）如图，在ABCD中，E是BA延长线上一点，CE分别与AD，BD交于点G，F下列结论：EGGC=AGGD；EFFC=BFDF；FCGF=BFDF；EAEB=AGAD；CF2GFEF，其中正确的个数是（）A5B4C3D2思路引领：利用平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论解：四边形ABCD为平行四边形，ADBCEGCG=AEAB四边形ABCD为平行四边形，ABCD，AEGDCG，EGCG=AGGD，EGCG=AGGDD 结论正确；ABCD，BEFDCF，EFFC=BFDF的结论正确；ADBC，GDFCBF，FCGF=BFFD的结论正确；

25、ADBC，EAGEBC，EAEB=AGBC，四边形ABCD为平行四边形，BCAD，EAEB=AGAD的结论正确；正确，EFFC=BFDF，FCGF=BFFD，EFFC=FCGF，FC2GFEFDJLZQ综上，正确的结论有：，故选：A总结提升：本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键2（2022环翠区一模）如图，把两个含30角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点N是AB边的中点，连接DN交BC于点M，则CMCB的值为（）A925B25C1125D1225思路引领：连接CN，设AC2a，利用含30角的直角三角形的

26、性质和勾股定理在两个直角三角形中用d的代数式表示出线段CN，BD，再利用直角三角形的性质和的以对角线的判定与性质得到NCD90，进而得出DCBD，利用平行线的判定与性质和相似三角形的性质得出CMBM=23，最后利用比例的性质即可求得结论解：连接CN，如图，设AC2a，ABC30，ACB90，AB4a，BC23a，点N是AB边的中点，CNANBN=12AB2aDBC30，CDB90，CD=12BC=3a，BD=BC2CD2=3aNCNB，NCBABC30，BCD60，NCDNCB+BCD90，NCD+BDC90+90180，NCBD，MCNMBD，CMMB=CNBD=2a3a=23，CMCB=2

27、5，故选：B总结提升：本题主要考查了含30的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，比例的性质，熟练掌握含30角的直角三角形的性质和相似三角形的性质是解题的关键3（2021秋藤县期末）如图，点A，B，C在同一直线上，ADBEC，则下列结论：DCBE，ABDCEB，ADBC=BDBE，其中正确的结论有（）个A0B1C2D3思路引领：根据三角形内角和和平角的定义可得正确，进行可得ABDCEB，得出正确；由相似三角形的性质可知，相似三角形的对应线段成比例，得出结论解：由图可知，A+D+ABD180，ABD+DBE+CBE180，ADBE，DCBE，故

28、正确；AC，ABDCEB，故正确；ADBC=BDBE，故正确；故选：D总结提升：本题主要考查相似三角形的性质与判定，“一线三等角模型”，三角形内角和等相关知识，通过导角得出DCBE是解题关键4（2022两江新区模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EGAE交BC于点G，若AB8，AD6，BG2，则AE（）A4175B6175C7175D8175思路引领：过点E作ENBC，垂足为N，延长NE交AD于点M，根据矩形的性质可得ADBC6，DABABC90，从而可得四边形AMNB是矩形，进而可得AMN90，ABMN8，AMBN，MNAB，然后设MEx，则

29、ENMNEM8x，再证明A字模型相似三角形DMEDAB，并利用相似三角形的性质求出DM，从而求出AM，GN的长，最后证明一线三等角模型相似三角形AMEENG，利用相似三角形的性质列出关于x的方程，进行计算即可求出ME，AM的长，从而在RtAME中，利用勾股定理进行计算即可解答解：过点E作ENBC，垂足为N，延长NE交AD于点M，ENB90，四边形ABCD是矩形，ADBC6，DABABC90，四边形AMNB是矩形，AMN90，ABMN8，AMBN，MNAB，DMEDAB90，DEMDBA，DMEDAB，DMME=DAAB，设MEx，则ENMNEM8x，DMx=68，DM=34x，BNAMADDM

30、634x，BG2，GNBNBG434x，EGAE，AEG90，AEM+GEN90，AEM+MAE90，MAEGEN，AMEENG90，AMEENG，AMME=ENNG，634xx=8x434x，x1=4825，x28，经检验：x1=4825，x28都是原方程的根，x28（舍去），ME=4825，AM634x=11425，AE=AM2+ME2=(4825)2+(11425)2=6517，故选：B总结提升：本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键5（2021秋南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上

31、，DEEF，EFFG，BE3，BF2，FC6，则DG的长是（）A4B133C143D5思路引领：由矩形的性质可求出ABC90，ABCD，证明EFBFGC，由相似三角形的性质得出BEFC=BFCG，求出CG4，同理可得出DAEEBF，由相似三角形的性质求出AE的长，则可求出答案解：EFFG，EFB+GFC90，四边形ABCD为矩形，ABC90，ABCD，GFC+FGC90，EFBFGC，EFBFGC，BEFC=BFCG，BE3，BF2，FC6，36=2CG，CG4，同理可得DAEEBF，ADBE=AEBF，83=AE2，AE=163，BAAE+BE=163+3=253，DGCDCG=2534=1

32、33故选：B总结提升：本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求出CG和AE的长是解题的关键6（2019阜新）如图，在RtABC中，C90，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E若AC8，BC6，则线段DE的长度为思路引领：先求出AE长，根据相似三角形的判定得出AEDACB，得出比例式AEAC=DEBC，代入求出DE长即可解：C90，AC8，BC6，AB=AC2+BC2=82+62=10，DE垂直平分AB，DEA90，AE=12AB=1210=5，DEAC，又AA，AEDACB，AEAC=DEBC，即58=DE6DE=154故答案为：154总结提升：本题考

33、查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出AEDACB是解此题的关键7（2022秋黄浦区期末）将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD如图5所示，其中AC90，AB7厘米，BC9厘米，CD2厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是 平方厘米思路引领：分两种情况讨论，由勾股定理求出AD长，由三角形面积公式求出四边形ABCD的面积，由相似三角形的性质，即可解决问题解：（1）分别延长CD，BA交于M，连接BD，设MBC的面积是S（cm2），CDAB90，DC2+BC2AB2+AD2BD2，22+9272+AD

34、2，AD6（cm），ADB的面积=12ADAB=126721（cm2），DCB的面积=12DCBC=12299（cm2），四边形ABCD的面积21+930（cm2），DMA的面积（S30）（cm2），MM，MADMCB，MDAMBC，SMDASMBC=(ADBC)2=(23)2=49，S30S=49，S54（cm2）（2）分别延长AD，BC交于N，设NAB的面积是S（cm2），由（1）知四边形ABCD的面积30（cm2），NN，NCDA90，NCDNAB，SNCDSNAB=(DCAB)2=(27)2=449，S30S=449，S=983（cm2），原来的直角三角形纸片的面积是54cm2或983

35、cm2故答案为：54或983总结提升：本题考查相似三角形的应用，关键是应用相似三角形的性质，分两种情况讨论8（2022秋鼓楼区校级期末）如图，在ABC中，ABAC313，BC6，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 思路引领：以BC为边构建出和BPD相似的三角形，通过将CD边转化为其他边来求值解：如图所示，以BC为底边向上作等腰BQC，使BQC120，连接PQ由题意可得BQC和BPD均为顶角为120 的等腰三角形，可得BQBC=BPBD=13，QBCPBD30，QBCQBDPBDQBD，PBQDBC，PBQD

36、BC，PQDC=BQBC=13，当PQAC时，有PQ最小，即此时CD最小，如图所示，设OPAC，延长AQ与BC交K，此时QP为QP的最小值，可得AKBC，BQC中，BQC120，BC6，BK3，QBK30，QK=BK3=3，ABAC313，KC3，AK=AB2BK2=63，AQAKQK53，APQAKC90，QAPCAK，AQPACK，AQAC=QPKC，53313=QP3，QP=53913，CD=3QP=151313总结提升：本题考查的是瓜豆原理的知识点，重难点在于构造相似三角形的手拉手模型，属于难题9（2022秋静安区期末）在等腰直角ABC中，C90，AC4，点D为射线CB上一动点（点D不

37、与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角ADF，ADF90，射线AB与射线FD交于点E，联结BF（1）如图所示，当点D在线段CB上时，求证：ACDABF；设CDx，tanBFDy，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当AB2BE时，求CD的长思路引领：（1）利用等腰直角三角形的性质和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可；过点E作EHBD于点H，设BHHEm，利用相似三角形的拍等于性质和直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）利用分类讨论的思想方法，画出图形，列出关于x的方程，解方程即可得出结论（1）证明：ABC和ADF是等腰直角三角形，AB=2AC，AF=

38、2AD，CABDAF45ACAB=ADAF=22，CADBAF，ACDABF；解：过点E作EHBD于点H，如图，ABC是等腰直角三角形，ABC45，EHBD，BHHE设BHHEm，则BE=2m，DHBCCDBM4xmADF90，ADC+FDH90，CAD+ADC90，CADFDHACDDHE90，ACDDHE，ACCD=DHHE，4x=4xmm，m=4xx24+x，BHHE=4xx24+x由知：ACDABF，ACDABF90ADF90，ADFABF90AEDBEF，BFDDAEtanBFDtanDAE=DEADACDDHE，DEAD=EHCD=4xx24+xx=4x4+x，ytanBFD=DE

39、AD=4x4+x，y关于x的函数解析式y=4x4+x，x的取值范围：0x4；（2）解：当点D在线段CB上时，如图，由（1）知：BHHE=4xx24+xBE=2BH=24xx24+xAB2BE，AB=2AC42，42=224xx24+x，8+2x4xx2，x22x+80（2）2418432280，此方程没有实数根，当点D在线段CB上时，不存在AB2BE；当点D在线段CB的延长线上时，如图，过点E作EHBD于点H，ABC和ADF是等腰直角三角形，AB=2AC，AF=2AD，CABDAF45ACAB=ADAF=22，CADBAF，ACDABFACDABF90ABC是等腰直角三角形，ABC45，EBH

40、ABC45EHBD，BHHE设BHHEn，则BE=2n，DHBCCDBMx4nADF90，ADE90，ADC+EDH90，CAD+ADC90，CADEDHACDDHE90，ACDDHE，ACCD=DHHE，4x=x4nn，n=x24x4+xBHHE=x24x4+xBE=2BH=2x24x4+xAB2BE，AB42，42=22x24x4+x8+2xx24x，x26x80，解得：x=6(6)241(8)2=317，x0，x3+17CD3+17综上，当AB2BE时，CD的长为3+17总结提升：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，一元二次方程的解

41、法，本题是相似三角形的综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键10（2022秋松原期末）已知ABC是等腰三角形，ABAC，将ABC绕点B逆时针旋转得到ABC，点A、点C的对应点分别是点A、点C感知：如图，当BC落在AB边上时，AAB与CCB之间的数量关系是 （不需要证明）；探究：如图，当BC不落在AB边上时，AAB与CCB是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；应用：如图，若BAC90，AA、CC交于点E，则AEC 度思路引领：感知：由旋转知，BCC，BAA是顶角相等的等腰三角形，从而得出答案；探究：由旋转知BCBA=BCBA，可证明ABACBC，从而结论不变；应用：设C

42、B与AE相交于点O，由CBCB，得CCBCCB，则BAACCB，再利用三角形内角和解决问题解：感知：将ABC绕点B逆时针旋转得到ABC，ABC+CBAABC+CBA，即ABACBC，又ABAB，CBBC，180ABA2=180CBC2，即AABCCB，故答案为：相等；探究：AABCCB，证明如下：将ABC绕点B逆时针旋转得到ABC，BCBC，BABA，CBCABA，BCBA=BCBA，ABACBC，AABCCB；应用：CBCB，CCBCCB，BAACCB，设CB与AE相交于点O，AOBCOE，CEOOBAACB，ABAC，BAC90，ACB45CEO，AEC180CEO135总结提升：本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明ABACBC是解题的关键