专题19 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型（原卷版）.docx

1、专题19 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型A字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。模型1. “A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比

2、例，就可以判定这两个三角形相似 图1 图2 图3 1）“A”字模型 条件：如图1，DEBC；结论：ADEABC.2）反“A”字模型 条件：如图2，AEDB；结论：ADEACB.3）同向双“A”字模型条件：如图3，EFBC；结论：AEFABC，AEGABD，AGFADC例1（2023湖北十堰统考中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，上的点，且，若菱形的面积等于24，则 例2（2023安徽九年级期末）如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，(1)求证：；(2)若的平分线交于点F，交于点G，求例3（2022山东东营中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的

3、高，那么的长为_例4（2022浙江宁波中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：(2)如图2，在（1）的条件下，连接若，求的值(3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F若平分，求的长例5. （2023安庆一模）如图，在ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DECA，DFAB（1）若点D是边BC的中点，且BECF，求证：DEDF；（2）若ADBC于D，且BDCD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AEAF1，求+的值模型2. “X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶

4、角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似 图1 图2 图3 图41）“8”字模型 条件：如图1，ABCD；结论：AOBCOD.2）反“8”字模型 条件：如图2，AD；结论：AOBDOC.3）平行双“8”字模型 条件：如图3，ABCD；结论：4）斜双“8”字模型条件：如图4，12；结论：AODBOC，AOBDOC34.例1（2022辽宁中考真题）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F若，则的面积为_例2（2023黑龙江哈尔滨九年级阶段练习）如图，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（）ABCD例3（2021上海中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E（1）当点E

5、在边上时，求证：；若，求的值；（2）若，求的长例4（2022贵州铜仁中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为（1）问题解决：如图，若AB/CD，求证：（2）探索推广：如图，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）拓展应用：如图，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值模型3. “AX”字模型（“A8”模型）【模型解读与图示】 图1 图2 图31）一“A”一“8”模型条件：如图1，DEBC；结论：ADEABC，DEFCBF2）两“A”一“8”模型条件：如图2，DEAFBC；结论：.3）四“A”一“8

6、”模型条件：如图3，DEAFBC,；结论：AF=AG例1（2022山东东营中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（）ABCD例2（2021江苏南京中考真题）如图，与交于点O，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F（1）求证；（2）若，求的长例3. （2022重庆九年级期中）如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且ABEFCD，求证：.例4（2022安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O（1）如图，若四边形ABCD为矩形，过点O作OEBC，求证：OECD（2）如图，若ABCD，过点O作EFAB分别交BC、AD于点E、F求证：

7、2（3）如图，若OC平分AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MNOB交OA于一点N，若OD8，OE6，直接写出线段MN长度课后专项训练1. （2021山东淄博中考真题）如图，相交于点，且，点在同一条直线上已知，则之间满足的数量关系式是（）ABCD2（2023秋山西阳泉九年级统考期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点E，则对角线与的长分别是（）A， B， C， D，3（2023福建福州校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝在骨架设计中，两条侧翼的长度设计，风筝顶角的度数为，在上取D，E两处，使得，并作一条骨架在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，

8、根据以上数据，B，C两点间的距离大约是（）（参考数据：）A41B57C82D1434（2022湖北十堰中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）ABCD5（2022湖南怀化中考真题）如图，ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若SADE2，则SABC_ 6（2023广东梅州九年级统考期末）如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，是的高，那么的长为 7.（2023广东深圳校考三模）如图，在中，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则 8（2022四川

9、宜宾中考真题）如图，中，点E、F分别在边AB、AC上，若，则_9（2022辽宁阜新中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是_10（2022湖北荆门中考真题）如图，点G为ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GDBG：GECG：GF2：1已知AFG的面积为3，则ABC的面积为 _11（2023福建统考中考真题）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点

10、间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程：（）在小水池外选点，如图4，测得，；（）分别在，上测得，；测得求解过程：由测量知， ，又_，又，_故小水池的最大宽度为_(1)补全小明求解过程中所缺的内容；(2)小明求得用到的几何知识是_；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程要求：测量得到的长度用字母，表示，角度用，表示；测量次数不超

11、过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）12（2023秋山西运城九年级统考期末）综合与实践问题情境：如图1，在中，点是上一点，将沿直线折叠，点落在上的点，连接独立思考(1)如图，求的值；问题拓展 如图，点是图1中AB上一动点，连接，交于点(2)当点是的中点时，求证：；(3)当点是的中点时，请你直接写出的值13（2023湖南郴州统考中考真题）已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点(1)如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点在线段的延长线上时，线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，连接设，若，求四边形的

12、面积14（2023浙江九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BEAB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD（1）求证：BNDCNM；（2）如果AD2ABAF，求证：CMABDMCN15（2023湖北武汉统考模拟预测）问题背景：如图1，在四边形中，点F，E，G分别在上，求证：尝试应用：如图 2，是的中线，点E在上，直线交于点G，直线交于点F，若，求的值迁移拓展：如图3，在等边中，点D在上，点E在上，若，直接写出的值（用含m的式子表示）16（2023浙江杭州统考中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射

13、线交于点(1)若，求的长(2)求证：(3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点若，求的长17（2022四川内江中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB6，BC4，点M、N分别在AB、AD上，且MNMC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F(1)当F为BE的中点时，求证：AMCE；(2)若2，求的值；(3)若MNBE，求的值18（2023重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E分别在ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段ADa，DBb，AEc，ECd，则SADE，SABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律如

14、图2，若DEBC，则ADEB，且AA，所以ADEABC，可得比例式：而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方可得根据上述这两个式子，可以推出：（2）如图3，若ADEC，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决如图4，D在ABC的边上，做AHBC于H，可得：借用这个结论，请你解决最初的问题延伸探究：（1）如图5，D、E分别在ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段ADa，ABb，AEc，ACd

15、，则 （2）如图6，E在ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连接DE，已知线段ADa，ABb，AEc，ACd， 结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线于F，若AB5，AG4，AE2，ABCD的面积为30，则AEF的面积是 19（2023河南郑州校考三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图，在中，点和点分别是斜边上的动点，并且满足，分别过点和点作边的垂线，垂足分别为点和点，那么的值是一个定值问题：若时，值为_ ；【操作探究】如图，在中，；爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前

16、发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当时，的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图进行证明，并用含和的式子表示的值【解决问题】如图，在菱形中，若、分别是边、上的动点，且，作，垂足分别为、，则的值为_ 20（2022湖北武汉中考真题）问题提出：如图（1），中，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值(1)先将问题特殊化如图（2），当时，直接写出的值；(2)再探究一般情形如图（1），证明（1）中的结论仍然成立问题拓展：如图（3），在中，是的中点，是边上一点，延长至点，使，延长交于点直接写出的值（用含的式子表示）21（2023浙江温州统考中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，(1)求证：(2)当，时，求的长