专题2-3 八种隐圆类最值问题圆来如此简单（原卷版）.docx

1、专题2-3 八种隐圆类最值问题，圆来如此简单 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！知识点梳理题型一 定点定长得圆2023年湖北省鄂州市中考数学真题2023邵阳市中考真题2023广西南宁市二模2022辽宁抚顺中考真题2022长春中考真题题型二 直角的对边是直径2023菏泽市中考真题2022通辽中考真题2023汕头市金平区一模2023广州市天河区三模

2、2022成都市成华区二诊题型三 对角互补得圆2023年广元市一模题型四 定弦定角得圆2023成都市新都区二模2023成都市金牛区二模2023达州中考真题题型五 四点共圆题型六 相切时取到最值2023随州市中考真题2022江苏无锡中考真题2022扬州中考真题题型七 定角定高面积最小、周长最小问题题型八 米勒角（最大张角）模型徐州中考 知识点梳理一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算二、直角的对边是直径前世：在O中，AB为直径，则始终有AB所对的C=90今生：若有AB是固定线段，且总有ACB90，则C在以AB为直径径的

3、圆上(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)三、对角互补前世：在O上任意四点A，B，C，D所围成的四边形对角互补今生：若四边形ABCD对角互补，则A，B，C，D四点共圆四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算前世：在O中，若弦AB长度固定则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)今生：若有一固定线段AB及线段AB所对的C大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的点，C在O的优弧ACB上均可(至于是优弧还是劣弧取决于C的大小，小

4、于90，则C在优弧上运动；等于90，则C在半圆上运动；大于90则C在劣弧运动)五、四点共圆模型前世:在O中，ABCD是圆的内接四边形，则有1=2，3=4，BPCAPD(同理BPACPD)今生:若四边形ABCD中有1=2(通常情况下5=6对顶角相等，故不需要3=4，实际应用中长用1=2，5=6)则ABCD四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），BAC为定角。则ABC的面积有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。 问题解决：如果顶角和高，都

5、为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。所谓定角定高是指三角形的一条边和这条边上的高是定值一般是考查直角三角形，此时我们可以取斜边中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及斜垂关系来解决面积最小值问题；通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的问题这类问题都是在等腰时取得最小值当定角不是直角时，通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的方法仍然适用，而面积最小值可以通过构造三角形的外心或外接圆来解决七、米勒角（最大张角）问题【问题提出】己

6、知点A，B是MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，当P在何处时，APB最大?米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题.米勒定理：已知点AB是MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，APB最大。知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角圆外角，即问题解决证明：在直线l上任取一点Q（不与P点重合），连接AQ、BQ，AQB即为圆O的圆外角APBAQB，APB最大当圆与直线l相切时，APB最大题型一 定点定长得圆1 如图，在矩形ABCD中，已知AB3，BC4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连

7、接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A2BC3D2 如图 ，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E，F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF= 2，G 为 EF 的中点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为？2023年湖北省鄂州市中考数学真题3 如图，在平面直角坐标系中，为原点，点为平面内一动点，连接，点是线段上的一点，且满足当线段取最大值时，点的坐标是（）ABCD2023邵阳市中考真题4 如图，在矩形中，动点在矩形的边上沿运动当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 2023广西南宁市二模5 在矩形中，将

8、绕点B顺时针旋转（）得到，连接，若的最小值为2，则的长为 2022辽宁抚顺中考真题6 如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接当最小时，的长是 7 如图，在矩形ABCD中，AB3，AD4，E、F分别是边AD、BC上的动点，且CF2AE，连接EF，将四边形ABFE沿EF翻折，点A、B的对应点分别为A、B，连接AD，则AD的最小值为_ADEABCFB8 如图，半圆O的直径AB的长为6，长度为2的弦CD在半圆上滑动，E是CD的中点，DFAB于F，连接AC、EF，当线段EF的长最大时，AC的长为_ABOCDEF2022长春中考真题9 如图，在中，点M为边的中

9、点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结作点A关于直线的对称点，连结、设点P的运动时间为t秒(1)点D到边的距离为_；(2)用含t的代数式表示线段的长；(3)连结，当线段最短时，求的面积；(4)当M、C三点共线时，直接写出t的值题型二 直角的对边是直径10 如图，在中，为上的一个动点，以为直径的与相切于点，交于点，则的最小值为 11 （2021威海）如图，在正方形ABCD中，AB2，点E，F分别在边AB，BC上，AEBF，连接DE与AF交于点G，连接BG，则BG的最小值为_CBGDAEF12 （2023嘉兴二模）在中，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点

10、，连结 点从点向点运动的过程中，的最小值为 13 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA6，OC4，点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使得边EF经过点B，当点F到原点O的距离最大时，点F的坐标为_xBAODCyEF2023菏泽市中考真题14 如图，在四边形中，点E在线段上运动，点F在线段上，则线段的最小值为 15 （2023武汉一模）如图，中，点P为内一点，且满足当的长度最小时，则的面积是 2022通辽中考真题16 如图，是的外接圆，为直径，若，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长

11、为 17 （2023广州三模）如图，矩形中，点E、F分别是线段上的动点，且，过D作的垂线，垂足为H（1）当时， （2）当E在上运动时，的最小值为 18 （2023安阳一模）如图，正方形的边长为，点E是边上的一个动点，点F是边上的一个动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值为 19 （2023深圳模拟预测）如图，在矩形中，为边上一动点，为中点，为上一点，则的最小值为 2023汕头市金平区一模20 如图，的直径，点C为中点，弦经过点C，且点F为上一动点，连接于点G若，在点F运动过程中，线段的长度的最小值为 2023广州市天河区三模21 如图，矩形中，点E、F分别是线段上的动点，且，过D作的垂线

12、，垂足为H（1）当时， （2）当E在上运动时，的最小值为 2022成都市成华区二诊22 如图，在中，若点为平面上一个动点，且满足，则线段长度的最小值为 ，最大值为 23 如图，在矩形中，为边上一动点，为中点，为上一点，则的最小值为 24 如图，在矩形中，E，F分别为，边的中点动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最小值为 题型三 对角互补得圆25 （2023广东深圳统考二模）如图，矩形ABCD中，BAC=60，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以

13、线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（）ABCD26 如图，在矩形ABCD中，AB3，BC5，点E在对角线AC上，连接BE，作EFBE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则_.27 如图，在四边形ABCD中，BADBCD90，ACD30，AD2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 2023年广元市一模28 如图，正方形的边长为4，点E是边上的动点，过点E作交于点F，点G在上，且，点M、N分别为、的中点，连接，则的最小值为 29 （2023广东深圳统考二模）如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为 题型四 定弦定角得圆

14、30 如图，在ABC中，BC2，点D是BC的中点，DAC45，则AB 2AC 2的最大值为_DBCA31 如图，ABC中，BAC60，AB5，AC8，P是ABC内一点，BPC120，连接AP，则AP长的最小值为_ABCP32 如图，在ABC中，BAC120，点D为BC边上一点，且BD3DC，若AD1，则ABC的面积的最大值为_ABCD33 如图，ABC中，BAC30，AD是中线，AD2，求ABC面积的最大值ABCD2023成都市新都区二模34 如图，在边长为的等边中，动点在边上（与点，均不重合），点在边上，且，与相交于点，连接当点在边上运动时，的最小值为 2023成都市金牛区二模35 在菱形中

15、，点P是对角线上一动点，点Q是边上一动点，与始终相等，连结，交点为E，连结，则的最小值是 2023达州中考真题36 在中，在边上有一点，且，连接，则的最小值为 题型五 四点共圆37 如图，在ABC中，C90，AC3，BC4，点D是BC边上一动点，BEAD交AD的延长线于点E，则 的最大值为_CABED38 如图，在ABC中，BAC120，ABAC，ADAC交BC于点D，点E是AB边上一动点，过A、D、E三点的圆交EC于点F，连接AF，则AF的最小值是_ABCEDF39 如图，在ABC中，BAC120，ABAC2，点D是BC边上一点，BD2DC，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且EDF120

16、，连接EF，则线段EF长的最小值为_ABCDEF题型六 相切时取到最值40 如图，矩形ABCD中，AB6，AD8，点E是CD边上一动点，BGAE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值为_ADBCEGF2023随州市中考真题41 如图，在矩形中，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 2022江苏无锡中考真题42 ABC是边长为5的等边三角形，DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F如图，若点D在ABC内，DBC=20，则BAF ；现将DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 2022扬

17、州中考真题43 如图，在ABC中，BAC90，C60，AB6，点D是BC边上一动点，过点D作DEAD，交AB于点E，则线段AE长度的最小值为_CBDAE题型七 定角定高面积最小、周长最小问题44 如图，点A是直线l外一点，AHl于H，AH2，点B、C是直线l上的动点，且BAC90，探究ABC面积的最小值和周长的最小值，并说明理由ABCHl45 如图，在ABC中，BAC60，ADBC于点D，且AD4，则ABC面积的最小值为 46 在RtABC中，ACB90，AB，AC2，过点B作直线mAC，将ABC绕点C顺时针旋转得到ABC（点A、B的对应点分别为A、B），CA、CB 的延长线分別交直线m于点P

18、、Q试探究四边形PABQ的面积是否存在最小值若存在，求出四边形PABQ的最小面积；若不存在，请说明理由mBQACBDAP47 如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点B、C是直线l上的两个动点，且BAC30，求线段BC长度的最小值ABCHl48 如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别是边BC、CD上的动点，EAF60，求AEF面积的最小值ADBCEF49 如图，在ABC中，BAC120，ABAC，点D是BC边上的一点，BD2，CD4，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且EDF120，求DEF的面积的最小值ABDCEF50 如图，在四边形ABCD中，ABC90，ADC45，B

19、D2（1）求ABC周长的最小值；（2）当ABC的周长最小时，求四边形ABCD面积的最大值ABCD51 如图，在等边ABC中，点D是BC边上的一点，BD2，CD4，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且EDF90，则DEF的面积的最小值为_ABDCEF题型八 米勒角（最大张角）模型52 如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则ACB就是射门角在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角若AB4，BD1，则当球员甲在此次带球中

20、获得最佳射门角时DC的长度为（）A2B3CD53 如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当DPM的度数最大时，则BP 54 在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使MPN最大，则P点的坐标为 55 如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走已知AOB30，MN2OM40m，当观景视角MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米.56 已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C是x轴正半轴上一动点，当 ACB最大时，点C的坐标为_57 如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，点E，F分

21、别是边CD，BC上的动点，且AFE90（1）证明：ABFFCE；（2）当DE取何值时，AED最大 58 辅助圆之定角定高求解探究（1）如图，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图，在中，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由59 问题提出（1）如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E为CD的中点，则AEBACB（填“”“”“”）；问题探究（2）如图，

22、在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，APB最大？并说明理由；问题解决（3）如图，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB6米），下边沿到地面的距离BD11.6米如果小刚的眼睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离60 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果APB45，那么称点P为线段AB的“完美点”设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 _，C的半径是 y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当APB的度数最大时，点P的坐标为 徐州中考61 如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接（1）求的度数及点的坐标；（2）的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由