专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（5类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）.docx

1、专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【考点1：三个“二次”之间的关系】1【考点2：解不含参的一元二次不等式】5【考点3：解含参的一元二次不等式】7【考点4：一元二次不等式存在性或恒成立问题】12【考点5：利用一元二次不等式解决实际问题】16【考点1：三个“二次”之间的关系】【知识点：三个“二次”之间的关系】判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x1x2)有两个相等实根x1x2没有实数根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx2R一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx21（2022

2、秋江苏盐城高一江苏省上冈高级中学校联考期中）已知不等式ax2+bx10的解集为x|3x0解集为xx4，则下列结论正确的有（）Aa0B不等式bx+c0的解集为xx0D不等式cx2bx+a0的解集为xx13【答案】AD【分析】根据不等式ax2+bx+c0解集为xx4，可判断a的正负，确定3,4是ax2+bx+c=0的两根，从而求出b=ac=12a，由此一一判断每个选项，可得答案.【详解】关于x的不等式ax2+bx+c0解集为xx4,结合二次函数y=ax2+bx+c和一元二次方程ax2+bx+c=0以及不等式的关系，可得a0，且3,4是ax2+bx+c=0的两根，A正确；则3+4=ba34=ca，故

3、b=ac=12a，所以bx+c0即ax12a0,x0的解集为xx0解集为xx4,故x=1时，ax2+bx+c0，即a+b+c0，C错误；由以上分析可知不等式cx2bx+a0即12ax2+ax+a0，故12x2x10,x13，故不等式cx2bx+a0的解集为xx13，D正确，故选：AD3（多选）（2022秋湖南永州高一校考期中）已知方程x2+ax+b=0(a0)有且只有一个实数根，则（）Aa2b24Ba2+1b4C若不等式x2+axb0的解集为x|x1x0D若不等式x2+axb0的解集为x|x1xx2，则x1x20【答案】ABD【分析】由判别式等于0得b=a24，代入选项A中式子后由二次函数知识

4、判断，代入B中式子后由基本不等式判断，再根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系，结合韦达定理判断CD【详解】由题意=a24b=0，b=a24，a2b2=a2a416=116(a28)2+44，a=22时取等号A正确；a2+1b=a2+4a22a24a2=4，当且仅当a2=4a2，即a=2时等号成立，B正确；不等式x2+axb0的解集为x1,x2，则x1,x2是方程x2+axb=0的解，所以x1x2=b=a240 的解集为 x|1x0Bx=1是方程ax2+bx+c =0的根Ccx2+bx+a0的解集为x|1x0的解集为x|x12【答案】BD【分析】对AB：根据二次方程和二次不等式的关系，即可判

5、断；对CD：根据题意求得a,b,c关系，再求解不含参数的一元二次不等式即可.【详解】对A：根据题意，易知a0，故A错误；对B：根据题意，1,2都是方程ax2+bx+c =0的根，故B正确；对C：根据题意，1+2=ba,2=ca，则b=a,c=2a，又a0可化为2ax2ax+a0，2x2+x10，即2x1x+10，解得xx|x12，故C错误，D正确.故选：BD.5（2023高一课时练习）已知不等式ax2+bx+c0的解集为(3,2)，则不等式cx2+bx+a0的解集为 【答案】x|x12【分析】由题可得a0的解集为(3,2)，所以a0可化为6ax2+ax+a0，因为a0可化为6x2x10，即3x

6、+12x10，解得：x12，故答案为：x|x12.7（2023高一校考课时练习）已知不等式ax2+5x+c0的解集是x13x0的解集是x13x0的解集为23,14，求不等式ax2+5x+b0的解集为(1,2)，求不等式cx2bx+a0的解集【答案】(1)x|x23；(2)x1x12【分析】（1）由题意知23+14=5a2314=baa0，求出a,b，代入解不等式即可；（2）由题意知b=3ac=2aa0，代入化简，解不等式即可；【详解】（1）由题意知，方程ax25x+b=0的两个根分别为23和14，且a0由韦达定理知23+14=5a2314=ba，解得a=12b=2，则不等式ax2+5x+b01

7、2x2+5x+204x+13x20，解得：x23所以不等式的解集为：x|x23（2）由题意知，方程ax2+bx+c=0的两个根分别为1和2，且a02ax2+3ax+a0，又a0，则2x2+3x+102x+1x+10，解得：1x12， 所以不等式的解集为：x1x12【考点2：解不含参的一元二次不等式】【知识点：解不含参的一元二次不等式】1（2022秋福建厦门高一厦门市海沧中学校考期中）设xR，则x2是x22x0的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得【详解】由x22x0，即xx20，解得0x2，令集合A=x0x2

8、，B=xx2，因为AB，所以x2是x22x0Bx2+25x+50Cx2+x20D2x23x30【答案】AC【分析】利用一元二次不等式的解法逐个分析判断即可.【详解】对于A，因为=624110=40，所以不等式x2+6x+100的解集为R，所以A正确，对于B，因为=(25)2415=0，所以方程x2+25x+5=0的两根为x1=x2=5，所以不等式x2+25x+50的解集为xx5，所以B错误，对于C，因为=124(1)(2)=70，所以不等式x2+x20，所以方程2x23x3=0的根为x=3334，所以不等式2x23x30的解集为x3334x2x的解集是 .【答案】x|4x2x得x2+2x80x

9、+4x204x2，故答案为：x|4x2.4（2022秋上海黄浦高一上海市光明中学校考期中）关于x的不等式x22x30解集是 【答案】x|3x3【分析】分x0和x0分别解一元二次不等式即可求解.【详解】当x0时，不等式化为x22x30，解得1x3，即0x3；当x0时，不等式化为x2+2x30，解得3x1，即3x0.综上所述，不等式的解集为x|3x3故答案为：x|3x0（2）x23x+50（3）6x2x+20（4）4x214x【答案】（1）x|x2；（2）R；（3）x|23x0，进而分析可得答案；（2）根据配方法将不等式转化为x322+1140，进而分析可得答案；（3）根据题意原不等式变形可得3x

10、22x10，进而分析可得答案；（4）根据题意原不等式变形可得2x120，进而分析可得答案.【详解】（1）2x23x20原不等式变形可得2x+1x20则该不等式的解集为x|x2；（2）x23x+50因为x23x+5=x322+1140恒成立，所以该不等式的解集为R；（3）6x2x+20原不等式变形可得3x22x10则该不等式的解集为x|23x0)的解集可能为（）ARBCx|x1或x2aDx|x2a或x1【答案】ACD【分析】讨论2a,1的大小关系，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.【详解】不等式ax2a+2x+20(a0)即(ax2)(x1)0，当2a1，即0a2时，不等式解集为x|x1或

11、x2a；当2a=1，即a=2时，不等式解集为R；当2a2时，不等式解集为x|x2a或x1，故选：ACD2（2023春浙江温州高二统考学业考试）关于x的不等式ax2+(12a2)x2a0，写出不等式的解集，由不等式ax+1x2a0的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为1,2,3,计算求解即可.【详解】不等式化简为ax+1x2a0的解集中恰有3个正整数，当a=0时，不等式化为x0，则解集中有无数个整数.当a0时，不等式ax+1x2a0，1a0，所以1a2a所以不等式的解集为：x|1ax2a， 根据0一定属于此集合，则由不等式ax+1x2a0的解集中恰有3个正整数，则这3个整数中一定为：1,2

12、,3，则32a4，解得320)的解集的区间长度为l，则（）A当a=1时，l=6Bl的最小值为4C当a=1时，l=5Dl的最小值为25【答案】AD【分析】根据一元二次不等式的解法解出不等式，运用代入法，并结合基本不等式求解最小值即可.【详解】因为一元二次不等式x+ax5a0a0的解集为x|ax5a，所以l=5aa=a+5a，当a=1时，l=6，故A正确，C错误；因为a0，所以l=a+5a2a5a=25（当且仅当a=5a，即a=5时，等号成立），所以l的最小值为25，故D正确，B错误.故选：AD4（2022秋云南曲靖高一校考期末）已知a0，则不等式x22ax3a20的解集为 【答案】x|3axa【

13、分析】将不等式x22ax3a20化为(x3a)(x+a)0，判断3a,a的大小，即可确定答案.【详解】不等式x22ax3a20即(x3a)(x+a)0，因为a0，故3aa，故由(x3a)(x+a)0可得3axa，则不等式x22ax3a20的解集为x|3axa，故答案为：x|3axa.5（2023高一校考课时练习）解关于x的不等式：ax2a+1x+11；当a0时，分解因式a(x1a)(x1)0，当a0，即(x1a)(x1)0，不等式的解集为x|x1或x0时，原不等式整理得：x2a+1ax+1a0，即(x1a)(x1)0，当0a1时，11a，不等式的解集为x|1x1时，1a1，不等式的解集为x|1

14、ax1；当a=1时，不等式的解集为，综上所述，当a1或x1；当0a1时，不等式的解集为x|1x1时，不等式的解集为x|1ax16（2023高一校考课时练习）解关于x的不等式: ax22a+1x+a+10，a0进行分类讨论进而解方程即可.【详解】当a=0时，不等式化为x+11，此时不等式的解集为xx1;当a0时，原不等式化为x1axa+10，解得不等式的解集为:x1x1+1a；当a0，解得不等式的解集为:xx1或x1;当a0时，解集为x1x1+1a;当a1或x0，且不等式ax2+b3xc0有且仅有10个整数解，求a的取值范围；(2)解关于x的不等式：ax2+b1x+50.【答案】(1)1a32(

15、2)答案见解析【分析】（1）根据已知可得方程ax2+bx+c=3的2个根为2，3，由韦达定理解得0a4，从而得不等式ax6a+3x+10，结合不等式有且仅有10个整数解可得答案；（2）分4a0、a=0,b0、0a15、a=15、150，原不等式等价于ax2+bx+c2恒成立，且ax2+bx+c3的解集为2,3，故方程ax2+bx+c=3的2个根为2，3，故由韦达定理2+3=ba23=c3ab=5ac=6a+3，ax2+bx+c=ax25ax+6a+32恒成立，可得1ax2+5x6=x522+14恒成立，所以1a14，解得0a4，ax2+b3xc0ax25a+3x6a+30，故ax6a+3x+1

16、0，1x6+3a,不等式有且仅有10个整数解，故86+3a91a32，所以a的取值范围为10时，由（1）得a0时1a4，ax2+b1x+50ax25a+1x+50，即：ax1x50，当0a15时，原不等式解集为x5x1a；当a=15时，原不等式解集为；当15a4时，原不等式解集为x1ax5.2当a0时，原不等式等价于ax2+bx+c3恒成立，且ax2+bx+c2的解集为2,3，由韦达定理：2+3=ba23=c2ab=5ac=6a+2,ax2+bx+c=ax25ax+6a+23恒成立，解得4a0，ax2+b1x+5=ax1x50，该不等式解集为xx5，3当a=0,b0时，2b+c=23b+c=3

17、b=1c=0，则ax2+b1x+5=50无解.4当a=0,b0时，2b+c=33b+c=2b=1c=5，则ax2+b1x+5=2x+552.综上：当4a0时，不等式解集为xx5；当a=0,b0时，不等式解集为；当a=0,b52；当0a15时，不等式解集为x5x1a；当a=15时，原不等式解集为；当15a4时，原不等式解集为x1ax0对任意实数x恒成立或不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或方法二：将一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题.1（2022秋重庆渝中高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）“3m1”是“不等式m1x2+m1x10对任意的xR恒成立

18、”的（）条件A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式恒成立，求实数m的取值范围，再利用集合的包含关系，判断充分，必要条件.【详解】当m=1时，m1x2+m1x10对任意的xR恒成立，当m1时，则m10，解得：3m1，故m的取值范围为3m1故“3m1”是30”为真命题，则实数a的取值范围为 .【答案】a|4a0”为真命题，则有判别式=a24140，解得4a4.故答案为：a|4a4.3（2023春河北保定高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）若不等式2kx2+kx380对一切实数x都成立，则k的取值范围为 .【答案】k|3k0【分析】根据题意，

19、分k=0和k0，两种情况，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】由不等式2kx2+kx380对一切实数x都成立，当k=0时，可得380，此时对一切实数x都成立；当k0时，则满足2k0k242k(38)0，解得3k0，综上可得，实数k的取值范围是k|3k0.故答案为：k|3k0.4（江西省南昌市部分学校2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题）已知xR，a2,4，使得x2+ax+a2x+am1成立，则m的取值范围为 .【答案】m|m5916【分析】根据一元二次方程恒成立，将问题转化为判别式小于等于0，然后参变分离转化为函数最值问题，利用对勾函数性质可解.【详解】由x2+ax+a2x

20、+am1，得x2+a1x+a2am+10.由题意可得a2,4，使得a124a2am+10成立，即a2,4，使得m3a4+34a+12成立.记f(a)=34(a+1a)+12，由对勾函数性质可知f(a)在2,4上单调递增，所以f(a)max=f(4)=34(4+14)+12=5916，故m5916.故答案为：m|m5916.5（2022秋河南开封高一校考期末）若不等式(a2)x2+2(a2)x40对一切xR恒成立，则a的取值范围是 .【答案】a|2a2【分析】分a2=0和a20两种情况讨论求解.【详解】当a2=0，即a=2时，40恒成立，当a20时，因为不等式(a2)x2+2(a2)x40对一切

21、xR恒成立，所以a20=4a22+16a20，解得2a2，综上，2a2，即a的取值范围是a|2a2故答案为：a|2a26（2023秋新疆喀什高一校联考期末）（1）已知不等式kx2+2kxk+20恒成立，求实数k的取值范围；（2）若不等式x2+2x+3a23a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）k|1k0;（2）a|a1或a4.【分析】（1）分k=0和k0两种情况，结合一元二次不等式在实数集上的恒成立问题运算求解；（2）先求y=x2+2x+3的最大值，再根据恒成立问题分析求解.【详解】（1）当k=0时，不等式20恒成立，所以k=0符合题意；当k0时，则k0=4k2+4kk+20，

22、解得1k0；综上所述：实数k的取值范围k|18xk对一切实数x恒成立的k的取值范围记为集合A，不等式x23mx+2m1m+10的解集为B(1)求集合A；(2)若“xB”是“xA”的充分条件，求实数m的取值范围【答案】(1)A=x1x8xk对一切实数x恒成立，所以=16k2244k=16k25k+4=16k1k40，所以1k4，所以集合A=k1k4（2）若“xB”是“xA”的充分条件，则BA，因为x23mx+2m1m+10，所以x2m1xm+12，即2m1m+1，B=xm+1x2m1，由（1）知A=x1x4，所以2m14,m+11，所以0m52，所以2m52当m2，即2m1m+1， B=x2m1

23、xm+1所以m+14,2m11，所以1m3，所以1m2，综上所述，实数m的取值范围m1m528（2022秋四川遂宁高一射洪中学校考阶段练习）设y=ax2+(1a)x+a2(1)若不等式y2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式ax2+(1a)x10=(1a)24a20a0(3a1)a+10解得a13.综上，实数a的取值范围为a13.（2）当a=0时，ax2+(1a)x10x10解得x1.当a0时，ax2+(1a)x10ax+1x10，ax+1x10的解为1ax1；若a0，当1a=1即a=1时，ax+1x10解得x1.当a1时，1a1，ax+1x10的解为x1.当1a1，

24、ax+1x10的解为x1a.综上，当a0时，不等式解集为x|1ax1；当a=0时，不等式解集为x|x1； 当1a0时，不等式解集为x|x1a； 当a=1时，不等式解集为x|x1；当a1时，不等式解集为x|x1.【考点5：利用一元二次不等式解决实际问题】【知识点：利用一元二次不等式解决实际问题】1（2023高一课时练习）某商品在最近30天内的价格m与时间t (单位：天)的函数关系是m=t+10(0t30,tN)；销售量y与时间t的函数关系是y=t+35(0t30,tN)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为（）At|15t20,tNBt|10t15,tNCt|10t15,tNDt|0

25、0，解得3t5，即实数t的取值范围为t|3t5.故选：C.3（2022秋高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P（单位：元/件）与月销售量x（单位：件）之间的关系为P=1602x，生产x件的成本（单位：元）R=500+30x.若每月获得的利润y（单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x的取值范围为（）Ax|20x45Bx|20x45Cx|208，化简可得x215x+400，8062x0，即(4x)(3x)6x3，所以x27x+6=(x1)(x6)0x3，故1x3，所以花卉带的宽度至少应为1米.故答案为：17（2023春山东滨州高二校考阶段练习）某商场新进一批风衣，在市场试销中发

26、现，此风衣的销售价p（元/件）与日销售量x之间的关系为p1602x，总成本R为（50030x）元，该商场的日销售量在什么范围时，每天获得的利润不少于1300元？【答案】该商场的日销售量在20x45时，每天获得的利润不少于1300元【分析】用销售价p乘以件数x减去成本得利润，然后列不等式求解【详解】由题意(1602x)x(500+30x)1300，解得20x45所以该商场的日销售量在20x45时，每天获得的利润不少于1300元8（2023全国高一假期作业）学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)要求草坪的面积不少于总面积的一半，

27、求花卉带宽度的取值范围【答案】花卉带宽度的取值范围为x|00302x0x0，所以x5或x30x20x0，解得0x5,故花卉带宽度的取值范围为x|0x59（2023高一课时练习）某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0x1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，为使日利润有所增加，求x的取值范围【答案】x|0x34【分析】根据题意求出y关于x的函数关系式，再解一元二次不等式可得结果.【详解】设增加成本后的日利润为y元y=601

28、+0.5x401+x10001+0.8x=20004x2+3x+10 0x60401000，且0x00x1，解得0x34. 所以为保证日利润有所增加，x的取值范围是x|0x3410（2022秋江苏连云港高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：s甲=0.01x20.1x，s乙=0.005x20.05x，问：甲、乙两车有无超速现象？【答案】甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速【分析】由题意列不等式求解后判断，【详解】由题意得，对于甲车，0.01x20.1x12，即x210x12000，解得0x10，x210x20000，而x0，解得x50，乙车超过规定限速答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速