专题20 立体几何中的平行与垂直问题（教师版）.docx

1、专题20 立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一 、线面平行与垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点已知侧面PAD底面ABCD，底面ABCD是矩形，DADP.求证：(1)MN平面PBC；MD平面PAB.【证明】(1)在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MNAD.(2分)又底面ABCD是矩形，所以

2、BCAD.所以MNBC.(4分)又BC平面PBC，MN平面PBC，所以MN平面PBC. (6分)(2)因为底面ABCD是矩形，所以ABAD.又侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，AB底面ABCD，所以AB侧面PAD.(8分)又MD侧面PAD，所以ABMD.(10分)因为DADP，又M为AP的中点，从而MDPA. (12分)又PA，AB在平面PAB内，PAABA，所以MD平面PAB.(14分)例2、(2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点(1) 求证：

3、EF平面ABC；(2) 求证：BB1AC. 规范解答 (1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中点，所以EFAC.(4分)因为EF平面ABC，AC平面ABC，所以EF平面ABC.(8分)(2)因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1AB. 因为平面AA1B1B平面ABC，且平面AA1B1B平面ABCAB，BB1平面AA1B1B，所以BB1平面ABC.(12分)因为AC平面ABC，所以BB1AC.(14分)例3、(2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA

4、1B1C1中，ABAC，A1CBC1，AB1BC1，D，E分别是AB1和BC的中点求证：(1)DE平面ACC1A1；(2)AE平面BCC1B1.规范解答 (1)连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BB1且AA1BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点(2分)在BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DEA1C.又因为DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，所以DE平面ACC1A1.(6分)(2)由(1)知DEA1C，因为A1CBC1，所以BC1DE.(8分)又因为BC1AB1，AB1DED，AB1，DE平面ADE，所以B

5、C1平面ADE.又因为AE平在ADE，所以AEBC1.(10分)在ABC中，ABAC，E是BC的中点，所以AEBC.(12分)因为AEBC1，AEBC，BC1BCB，BC1，BC平面BCC1B1，所以AE平面BCC1B1. (14分)例4、(2019苏锡常镇调研）如图，三棱锥DABC中，已知ACBC，ACDC，BCDC，E，F分别为BD，CD的中点求证：(1) EF平面ABC；(2) BD平面ACE. 规范解答 (1)三棱锥DABC中，因为E为DB的中点，F为DC的中点，所以EFBC，(3分)因为BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF平面ABC.(6分)(2)因为ACBC，ACDC，BCDC

6、C，BC，DC平面BCD所以AC平面BCD，(8分)因为BD平面BCD，所以ACBD，(10分)因为DCBC，E为BD的中点，所以CEBD，(12分)因为ACCEC，AC，CE平面ACE，所以BD平面ACE.(14分)例5、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E.求证：(1) DE平面ABB1A1；(2) BC1平面A1B1C. 规范解答 (1)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，

7、E为BC1的中点所以DEAB.(3分)又AB平面ABB1A1，DE平面ABB1A1，所以DE平面ABB1A1.(6分)(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面A1B1C1.又因为A1B1平面A1B1C1，所以BB1A1B1.(8分)又A1B1B1C1，BB1，B1C1平面BCC1B1，BB1B1C1B1，所以A1B1平面BCC1B1.(10分)又因为BC1平面BCC1B1，所以A1B1BC1.(12分)又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1B1C.又A1B1B1CB1，A1B1，B1C平面A1B1C，所以BC1平面A1B1C.(14分)例6、(2017苏北四市一模）如图

8、，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EFC1D.求证：(1) 直线A1E平面ADC1；(2) 直线EF平面ADC1.规范解答 (1) 证法1 连结ED，因为D，E分别为BC，B1C1的中点，所以B1EBD且B1EBD，所以四边形B1BDE是平行四边形，(2分)所以BB1DE且BB1DE.又BB1AA1且BB1AA1，所以AA1DE且AA1DE，所以四边形AA1ED是平行四边形，所以A1EAD.(4分)又因为A1E平面ADC1，AD平面ADC1，所以直线A1E平面ADC1.(7分)证法2 连结ED，连结A1C，EC分别交AC1，DC1于点M

9、，N，连结MN，则因为D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1ECD且C1ECD，所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点(2分)因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，(4分)所以MNA1E.又因为A1E平面ADC1，MN平面ADC1，所以直线A1E平面ADC1.(7分)(2) 在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC.又AD平面ABC，所以ADBB1.又ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以ADBC.(9分)又BB1，BC平面B1BCC1，BB1BCB，所以AD平面B1BCC1，又EF平面B1BCC1，所以ADEF.(11分)又EFC1D，C1D，AD平

10、面ADC1，C1DADD，所以直线EF平面ADC1.(14分)题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。平面与平面的平行关键是在一个平面内找两条相交直线；平面与平面垂直可以从二面角入手页可以从线面垂直进行转化。例7、（2020年江苏高考）在三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC，B1C平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点（1）求证：EF平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C平面ABB1【解析】（1）由于分别是的中点，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平

11、面，所以平面平面.例8、(2019宿迁期末）在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，底面ABCD是菱形(1) 求证：平面SAC平面SBD；(2) 若点M是棱AD的中点，点N在棱SA上，且ANNS，求证：SC平面BMN. 规范解答 (1)因为SA平面ABCD，BD平面ABCD，所以SABD.(2分)又因为底面ABCD是菱形，所以ACBD.又SA，AC平面SAC，且SAACA，所以BD平面SAC.(5分)由BD平面SBD，得平面SAC平面SBD.(7分)(2)设AC与BM的交点为E，连结NE.由底面ABCD是菱形，得ADBC.所以.(9分)又因为ANNS，所以，所以NESC.(11分)因为NE平面

12、BMN，SC平面BMN，所以SC平面BMN.(14分)例9、(2019苏北四市、苏中三市三调）ABCDPEF如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面BPC平面DPC，E，F分别是PC，AD的中点求证：（1）BECD； （2）EF平面PAB证（1）在PBC中，因为，E是PC的中点， 所以BEPC. 2分 又因为平面BPC平面DPC， 平面BPC平面DPC，平面BPC，ABCDPEFH 所以BE平面PCD. 5分 又因为平面DPC， 所以BECD. 7分 （2）取PB的中点H，连结EH，AH. 在PBC中，又因为E是PC的中点， 所以HEBC，. 9分 又底面ABCD是平行四边形

13、，F是AD的中点， 所以AFBC，. 所以HEAF， 所以四边形AFEH是平行四边形， 所以EFHA. 12分 又因为平面PAB，平面PAB， 所以EF平面PAB. 14分例10、(2018扬州期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点(1) 求证：B1C1平面A1DE；(2) 若平面A1DE平面ABB1A1，求证：ABDE. 规范解答 (1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形B1BCC1是平行四边形，所以B1C1BC.(2分)在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，故BCDE，所以B1C1DE.(4分)又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C

14、1平面A1DE.(7分)(2) 如图，在平面ABB1A1内，过A作AFA1D于F.因为平面A1DE平面A1ABB1，平面A1DE平面A1ABB1A1D，AF平面A1ABB1，所以AF平面A1DE.(11分)又DE平面A1DE，所以AFDE.在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，DE平面ABC，所以A1ADE.因为AFA1AA，AF平面A1ABB1，A1A平面A1ABB1，所以DE平面A1ABB1.因为AB平面A1ABB1，所以DEAB.(14分)(注：作AFA1D时要交代在平面内作或要交代垂足，否则扣1分)例11、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在

15、棱上(异于点，)，平面与棱交于点（1）求证：；ABCDEFP(（2）若平面平面，求证：规范解答 （1）因为是矩形，所以又因为平面，平面，所以平面又因为平面，平面平面，所以（2）因为是矩形，所以 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面 又平面，所以 又由（1）知，所以二、达标训练1、(2018无锡期末）如图，ABCD是菱形，DE平面ABCD，AFDE，DE2AF.(1) 求证：AC平面BDE；(2) 求证：AC平面BEF.规范解答 (1) 证明：因为DE平面ABCD，AC平面ABCD，所以DEAC.(2分)因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，(4分)因为DE，BD平面BDE，且DEBDD，

16、所以AC平面BDE.(6分)(2) 证明：设ACBDO，取BE中点G，连结FG，OG，易知OGDE且OGDE.(8分)因为AFDE，DE2AF，所以AFOG且AFOG，从而四边形AFGO是平行四边形，所以FGAO.(10分)因为FG平面BEF，AO平面BEF，所以AO平面BEF，即AC平面BEF.(14分)2、(2018苏北四市期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABAA1，M，N分别是AC，B1C1的中点求证：(1) MN平面ABB1A1；(2) ANA1B.规范解答 (1) 如图，取AB的中点P，连结PM，PB1.因为P，M分别是AB，AC的中点，所以PMBC，且PMB

17、C.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，BCB1C1，又因为N是B1C1的中点，所以PMB1N，且PMB1N.(2分)所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MNPB1.(4分)而MN平面ABB1A1，PB1平面ABB1A1，所以MN平面ABB1A1.(6分)(2) 因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面A1B1C1.又因为BB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1B1C1.(8分)又因为ABC90，所以B1C1B1A1.又平面ABB1A1平面A1B1C1B1A1，B1C1平面A1B1C1，所以B1C1平面ABB1A1.(10分)又因为A1B平面ABB1A1，

18、所以B1C1A1B，即NB1A1B.连结AB1，在平行四边形ABB1A1中，ABAA1，所以AB1A1B.又因为NB1AB1B1，且AB1，NB1平面AB1N，所以A1B平面AB1N.(12分)而AN平面AB1N，所以ANA1B.(14分)3、(2018南京、盐城、连云港二模）如图，已知矩形ABCD所在平面与ABE所在平面互相垂直，AEAB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点(1) 求证：MN平面BEC；(2) 求证：AHCE.规范解答 (1) 解法1 取CE中点F，连结FB，MF. 因为M为DE的中点，F为CE的中点，所以MFCD 且MFCD.(2分) 又因为在矩形ABCD中，N为AB的

19、中点，所以BNCD 且BNCD，所以MFBN 且MFBN，所以四边形BNMF为平行四边形，所以MNBF.(4分) 又MN平面BEC，BF平面BEC，所以MN平面BEC.(6分) 解法2 取AE中点G，连结MG，GN. 因为G为AE的中点，M为DE的中点，所以MGAD.又因为在矩形ABCD中，BCAD，所以MGBC.又因为MG平面BEC，BC平面BEC，所以MG平面BEC.(2分) 因为G为AE的中点，N为AB的中点，所以GNBE.又因为GN平面BEC，BE平面BEC，所以GN平面BEC.又因为MGGNG，MG，GN平面GMN，所以平面GMN平面BEC.(4分) 又因为MN平面GMN，所以MN平

20、面BEC.(6分) (2) 因为四边形ABCD为矩形，所以BCAB.因为平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，BC平面ABCD，且BCAB，所以BC平面ABE.(8分) 因为AH平面ABE，所以BCAH.因为ABAE，H为BE的中点，所以BEAH.(10分) 因为BCBEB，BC平面BEC，BE 平面BEC，所以AH平面BEC.(12分) 又因为CE平面BEC，所以AHCE.(14分) 4、(2018苏州暑假测试）如图，在三棱锥PABC中，已知平面PBC平面ABC.(1) 若ABBC，CPPB，求证：CPPA；(2) 若过点A作直线l平面ABC，求证：l平面PBC.规范解答 (1

21、) 因为平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABCBC，AB平面ABC，ABBC，所以AB平面PBC.(2分)因为CP平面PBC，所以CPAB.(4分)又因为CPPB，且PBABB，PB，AB平面PAB，所以CP平面PAB.(6分)又因为PA平面PAB，所以CPPA.(8分)(2) 如图，在平面PBC内过点P作PDBC，垂足为D.因为平面PBC平面ABC，又平面PBC平面ABCBC，PD平面PBC，所以PD平面ABC.(11分)又l平面ABC，所以lPD.又l平面PBC，PD平面PBC，所以l平面PBC.(14分) 一般地，已知面面垂直，需要将面面垂直转化为线面垂直，找出两平面的交线后，寻找平

22、面中是否有直线垂直于另外一个平面，若没有，则在某平面内构造一条线垂直于交线即可5、(2018常州期末）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC平面ABCD，PBPD，点Q是棱PC上异于P，C的一点(1) 求证：BDAC；(2) 过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QFBC.规范解答 (1) 因为PC平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPC.记AC，BD交于点O，连结OP.因为平行四边形对角线互相平分，则O为BD的中点又PBD中，PBPD，所以BDOP.(4分)又PCOPP，PC，OP平面PAC.所以BD平面PAC，又AC平面PAC，所以BDAC.(7分)(第(1)问也可按如下方式证明：可由PC平面ABCD，得PCCD，PCCB，则由PD，PB，得CDCB，故ABCD为菱形，从而ACBD.)(2) 因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC.又AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC.(10分)又AD平面ADQF，平面ADQF平面PBCQF，所以ADQF，所以QFBC.(14分)