专题22 二次函数-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（原卷版）.docx

1、专题22 二次函数一、二次函数图形与系数的关系【学霸笔记】二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质与a、b、c及b24ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bab0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac0与x轴有两个交点b2-4ac0与x轴没有交点【典例】已知二次函数yax2+bx+c图象的对称轴为x1，其图象如图所示，现有下列结论：abc0，b2a0，ab+c0，a+bn（an+b），（n1），2c3b正确的

2、是（）ABCD【解答】解：由图象可知：a0，b0，c0，abc0，故错误；由于a0，所以2a0又b0，所以b2a0，故错误；当x1时，yab+c0，故错误；当x1时，y的值最大此时，ya+b+c，而当xn时，yan2+bn+c，所以a+b+can2+bn+c，故a+ban2+bn，即a+bn（an+b），故正确；当x3时函数值小于0，y9a+3b+c0，且该抛物线对称轴是直线x=-b2a=1，即a=-b2，代入得9（-b2）+3b+c0，得2c3b，故正确；故正确故选：D【巩固】如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象的对称轴是直线x1，则以下四个结论中：abc0，2a+b0，4a+b2

3、4ac，3a+c0正确的个数是（）A1B2C3D4二、二次函数与直线【典例】如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（2，3）（1）求抛物线的解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EFBD，交抛物线于点F，求直线BD和直线EF的解析式；（3）是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）将A、D两点代入yx2+bx+c可求得：b2，c3，抛物线解析式为yx2+2x3 （2）由抛物线解析式yx2+2x3可求B的坐标是（1，0），由B、D两

4、点坐标求得直线BD的解析式为yx1；EFBD，直线EF的解析式为：yxa （3）若四边形BDFE是平行四边形，则DFx轴，如图，D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为3F点的坐标为（0，3），DF2，BEDF2，E（3，0），即：a3所以存在实数a3，使四边形BDFE是平行四边形【巩固】如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（1，0），连接AC、BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另

5、一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求b、c的值（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由三、二次函数与几何面积问题【典例】如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线 y=-12x2+72x+4经过A、B两点（1）求出点A、点B的坐标；（2）若在线段AB上方的抛物线有一动点P，过点P作直线lx轴交AB于点Q，设点P的横坐标为t（0t8），求ABP的面

6、积S与t的函数关系式，并求出ABP的最大面积；（3）在（2）的条件下，是否存在一点P，使SAPB=34SABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）当x0时，y4，B（0，4），当y0时，-12x2+72x+40，解得：x8或1，A（8，0）；（2）设AB的解析式为：ykx+b，把A（8，0），B（0，4）代入得：8k+b=0b=4，解得：k=-12b=4，AB的解析式为：y=-12x+4，Q（t，-12t+4），P（t，-12t2+72t+4），PQ（-12t2+72t+4）（-12t+4）=-12t2+4t，S=12PQOA=12（-12t2+4t）82t2+1

7、6t2（t4）2+32，0t8，当t4时，S有最大值为32，即ABP的最大面积为32；（3）存在，OA是BC的垂直平分线，OBOC4，OA8，SABC=12BCOA=128832，SAPB=34SABC，2t2+16t=3432，t28t12，t28t+120，（t2）（t6）0，解得：t2或6，当t2时，y=-1222+722+49，当t6时，y=-1262+726+47，点P的坐标为（2，9）或（6，7）【巩固】如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（2，0），抛物线的对称轴x1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E（1）求抛物

8、线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；（3）一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标（4）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由巩固练习1已知函数y=x2-x(x0)-x2-x(x0)，当axb时，-14y14，则ba的最大值为（）A1B2+1C22+12D222将抛物线T：yx22x+4绕坐标原点O顺时针旋转30

9、得到抛物线T，过点A（33，3）、B（3，33）的直线l与抛物线T相交于点P、Q则OPQ的面积为（）A8B9C10D113已知抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记P1AB的面积为S1，P2AB的面积为S2，有下列结论：当x1x2+2时，S1S2；当x12x2时，S1S2；当|x12|x22|1时，S1S2；当|x12|x2+2|1时，S1S2其中正确结论的序号是（）ABCD4在平面直角坐标系中，如图是二次函数yax2+bx+c（a0）的图象的一部分，给出下列命题：5a+b+c0；b2

10、a； 方程ax2+bx+c0的两根分别为3和1；b24ac0，其中正确的命题有（）A1个B2个C3个D4个5在平面直角坐标系中，将二次函数yx2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线yx+m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（）A-254m3B-254m2C2m3D6m26抛物线yax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C若ABC是直角三角形，则ac 7设m是整数，且方程3x2+mx20的两根都大于-95而小于37，则m 8如图，抛物线y=14px2（p0），点F（0，p），直线l：yp，已知抛物线上的点到点

11、F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1l，BB1l，垂足分别为A1、B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O若A1Fa，B1Fb，则A1OB1的面积（只用a，b表示）9若抛物线yax2+2na+an(n+1)x-an(n+1)与x轴交于An、Bn两点（a为常数，a0，n为自然数，n1），用Sn表示An、Bn两点间的距离，则S1+S2+S2018 10设a，b为整数，且方程ax2+bx+10的两个不同的正数根都小于1，求a的最小值11已知抛物线yx2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），其中x1x2；（2）求证：x1x0x2；（3）当点M为（1，1999）时，求整数x1，x2