专题22 二次函数-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题22 二次函数一、二次函数图形与系数的关系【学霸笔记】二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质与a、b、c及b24ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bab0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac0与x轴有两个交点b2-4ac0与x轴没有交点【典例】已知二次函数yax2+bx+c图象的对称轴为x1，其图象如图所示，现有下列结论：abc0，b2a0，ab+c0，a+bn（an+b），（n1），2c3b正确的

2、是（）ABCD【解答】解：由图象可知：a0，b0，c0，abc0，故错误；由于a0，所以2a0又b0，所以b2a0，故错误；当x1时，yab+c0，故错误；当x1时，y的值最大此时，ya+b+c，而当xn时，yan2+bn+c，所以a+b+can2+bn+c，故a+ban2+bn，即a+bn（an+b），故正确；当x3时函数值小于0，y9a+3b+c0，且该抛物线对称轴是直线x=-b2a=1，即a=-b2，代入得9（-b2）+3b+c0，得2c3b，故正确；故正确故选：D【巩固】如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象的对称轴是直线x1，则以下四个结论中：abc0，2a+b0，4a+b2

3、4ac，3a+c0正确的个数是（）A1B2C3D4【解答】解：根据抛物线开口向下可知：a0，因为对称轴在y轴右侧，所以b0，因为抛物线与y轴正半轴相交，所以c0，所以abc0，所以错误；因为抛物线对称轴是直线x1，即-b2a=1，所以b2a，所以b+2a0，所以正确；b2a，b24a2，如果4a+b24ac，那么4a+4a24ac，a0，c1+a，而根据抛物线与y轴的交点，可知c1，结论错误；当x1时，y0，即ab+c0，因为b2a，所以3a+c0，所以正确所以正确的是，共2个故选：B二、二次函数与直线【典例】如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（3，0），经

4、过B点的直线交抛物线于点D（2，3）（1）求抛物线的解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EFBD，交抛物线于点F，求直线BD和直线EF的解析式；（3）是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）将A、D两点代入yx2+bx+c可求得：b2，c3，抛物线解析式为yx2+2x3 （2）由抛物线解析式yx2+2x3可求B的坐标是（1，0），由B、D两点坐标求得直线BD的解析式为yx1；EFBD，直线EF的解析式为：yxa （3）若四边形BDFE是平行四边形，则DFx轴，如图，D、F两点的纵坐标相等，即点F的

5、纵坐标为3F点的坐标为（0，3），DF2，BEDF2，E（3，0），即：a3所以存在实数a3，使四边形BDFE是平行四边形【巩固】如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（1，0），连接AC、BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒（1）求b、c的值（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC

6、上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（1，0），则 0=-9+3b+c0=-1-b+c，解得：b=2c=3；（2）由（1）得：抛物线表达式为yx2+2x+3，C（0，3），A（3，0），OAC是等腰直角三角形，BAC45，由点P的运动可知：AP=2t，过点P作PHx轴，垂足为H，如图，AHPH=2t2=t，即H（3t，0），又Q（1+t，0），S四边形BCPQSABCSAPQ=1243-123-(-1+t)t =12t2-2t+6 =12（t2

7、）2+4，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC=32+32=32，AB4，0t3，当t2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；（3）存在假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MPPMQ是等腰直角三角形，PMPQ，MPQ90，MPF+QPE90，又MPF+PMF90，PMFQPE，在PFM和QEP中，F=QEPPMF=QPEPM=PQ，PFMQEP（AAS），MFPEt，PFQE42t，EF42t+t4t，又OE3t，点M的坐标为（32t，4t），点M在抛物线yx2+2x+3上，4t（32t）2+2（3

8、2t）+3，解得：t=9-178或9+178（舍），M点的坐标为（3+174，23+178）三、二次函数与几何面积问题【典例】如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线 y=-12x2+72x+4经过A、B两点（1）求出点A、点B的坐标；（2）若在线段AB上方的抛物线有一动点P，过点P作直线lx轴交AB于点Q，设点P的横坐标为t（0t8），求ABP的面积S与t的函数关系式，并求出ABP的最大面积；（3）在（2）的条件下，是否存在一点P，使SAPB=34SABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）当x0时，

9、y4，B（0，4），当y0时，-12x2+72x+40，解得：x8或1，A（8，0）；（2）设AB的解析式为：ykx+b，把A（8，0），B（0，4）代入得：8k+b=0b=4，解得：k=-12b=4，AB的解析式为：y=-12x+4，Q（t，-12t+4），P（t，-12t2+72t+4），PQ（-12t2+72t+4）（-12t+4）=-12t2+4t，S=12PQOA=12（-12t2+4t）82t2+16t2（t4）2+32，0t8，当t4时，S有最大值为32，即ABP的最大面积为32；（3）存在，OA是BC的垂直平分线，OBOC4，OA8，SABC=12BCOA=128832，SAP

10、B=34SABC，2t2+16t=3432，t28t12，t28t+120，（t2）（t6）0，解得：t2或6，当t2时，y=-1222+722+49，当t6时，y=-1262+726+47，点P的坐标为（2，9）或（6，7）【巩固】如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（2，0），抛物线的对称轴x1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；（3）一条动直线l与直线BC相交

11、于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标（4）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线的对称轴x1，-b2a=1，b2a，yax22ax+c，将A（2，0），C（0，4）代入yax22ax+c，得c=44a+4a+c=0，解得c=4a=-12，y=-12x2+x+4；（2）存在点F使四边形ABFC的面积最大，理由如下：令y0，则-12x2+x+40，解得x2或x4，B（4，0），设直线BC的解析式为ykx+b，b=44k+b=0，解

12、得k=-1b=4，yx+4，过点F作FGy轴交BC于点G，设F（t，-12t2+t+4），则G（t，t+4），PG=-12t2+t+4+t4=-12t2+2t，A（2，0），B（4，0），AB6，S四边形ABFCSABC+SBCF=1264+124（-12t2+2t）t2+4t+12（t2）2+16，当t2时，四边形ABFC的面积最大，最大值为16，此时F（2，4）；（3）抛物线的对称轴为直线x1，D（1，92），E（1，3），设P（m，m+4），Q（t，-12m2+m+4），当DE为平行四边形的对角线时，1+1=m+t3+92=-m+4-12m2+m+4，解得m=1t=1（舍）或m=-1t=

13、3，P（1，5）；当DP为平行四边形的对角线时，1+m=1+t-m+4+92=3-12m2+m+4，解得m=1t=1（舍）或m=3t=3，P（3，1）；当DQ为平行四边形的对角线时，1+t=1+m92-12m2+m+4=3-m+4，解得m=2+7t=2+7或m=2-7t=2-7，P（2+7，2-7）或（2-7，2+7）；综上所述：P点坐标为（1，5）或（3，1）或（2+7，2-7）或（2-7，2+7）；（4）存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：抛物线的对称轴为直线x1，设P（1，n），AP29+n2，AC220，PC21+（4n）2，当APAC时，209+n2，

14、解得n11，P（1，11）或（1，-11）；当APPC时，9+n21+（4n）2，解得n1，P（1，1）；当ACPC时，201+（4n）2，解得n4+19或n4-19，P（1，4+19）或（1，4-19）；综上所述：P点坐标为（1，11）或（1，-11）或（1，1）或（1，4+19）或（1，4-19）巩固练习1已知函数y=x2-x(x0)-x2-x(x0)，当axb时，-14y14，则ba的最大值为（）A1B2+1C22+12D22【解答】解：函数的图象如下图所示，当x0时，当y=-14时，x=12，当y=14时，x=1+22，故：顶点A的坐标为（12，-14），点B（1+22，14），同理点

15、C（ -1-22，-14）则ba的最大值为1+22-1-22=1+2，故选：B2将抛物线T：yx22x+4绕坐标原点O顺时针旋转30得到抛物线T，过点A（33，3）、B（3，33）的直线l与抛物线T相交于点P、Q则OPQ的面积为（）A8B9C10D11【解答】解点A（33，3）、B（3，33），OAOB，建立如图新的坐标系，OB为y轴，OA为x轴在新的坐标系中，A（6，0），B（0，6），直线AB解析式为yx+6，由y=-x+6y=x2-2x+4，解得x=2y=4或x=-1y=7，在新的坐标系中，P（1，7），Q（2，4），SOPQSOBP+SOBQ=1261+12629，故选：B3已知抛物线

16、yax2+bx+c（a0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记P1AB的面积为S1，P2AB的面积为S2，有下列结论：当x1x2+2时，S1S2；当x12x2时，S1S2；当|x12|x22|1时，S1S2；当|x12|x2+2|1时，S1S2其中正确结论的序号是（）ABCD【解答】解：不妨假设a0如图1中，P1，P2满足x1x2+2，P1P2AB，S1S2，故错误当x12，x21，满足x12x2，则S1S2，故错误|x12|x22|1，P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，S1S2，故正

17、确如图2中，P1，P2满足|x12|x2+2|1，但是S1S2，故错误故选：D4在平面直角坐标系中，如图是二次函数yax2+bx+c（a0）的图象的一部分，给出下列命题：5a+b+c0；b2a； 方程ax2+bx+c0的两根分别为3和1；b24ac0，其中正确的命题有（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x1，过（1，0）点，把（1，0）代入yax2+bx+c得，a+b+c0，a0，所以5a+b+c0，因此错误；对称轴为直线x1，即：-b2a=-1，整理得，b2a，因此错误；由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的两个交点为（1，0）（3，0），因此方程a

18、x2+bx+c0的两根分别为3和1；故是正确的；由图可得，抛物线有两个交点，所以b24ac0，故正确；故选：B5在平面直角坐标系中，将二次函数yx2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线yx+m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（）A-254m3B-254m2C2m3D6m2【解答】解：如图，当y0时，x2+x+60，解得x12，x23，则A（2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y（x+2）（x3），即yx2x6（2x3），当直线yx+m经过点A（2，0）时，2+

19、m0，解得m2；当直线yx+m与抛物线yx2x6（2x3）有唯一公共点时，方程x2x6x+m有相等的实数解，解得m6，所以当直线yx+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为6m2故选：D6抛物线yax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C若ABC是直角三角形，则ac 【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0），由ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，则x1x2=ca0，由于函数图象与y轴相交于C点，所以C点坐标为（0，c），由射影定理知，|OC|2|AO|BO|，即c2|x1|x2|ca|，故|ac|1，ac1，由于ca0，所以ac1故答案为：17设m是整数，且方程3x2+mx2

20、0的两根都大于-95而小于37，则m 【解答】解：由题设可知，3(-95)2+m(-95)-203(37)2+m(37)-20，解得3821m41345因为m是整数，所以m4故答案为48如图，抛物线y=14px2（p0），点F（0，p），直线l：yp，已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1l，BB1l，垂足分别为A1、B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O若A1Fa，B1Fb，则A1OB1的面积（只用a，b表示）【解答】解：AA1AF，B1BBF，AFA1AA1F，BFB1BB1F，AA1l，BB1l，AA1BB1，BAA1+ABB118

21、0，1802AFA1+1802BFB1180，AFA1+BFB190，A1FB190，A1OB1的面积=12A1FB1的面积=14ab；故答案为14ab9若抛物线yax2+2na+an(n+1)x-an(n+1)与x轴交于An、Bn两点（a为常数，a0，n为自然数，n1），用Sn表示An、Bn两点间的距离，则S1+S2+S2018 【解答】解：yax2+2na+an(n+1)x-an(n+1)=-a（x-1n+1）（x-1n）0，点An的坐标为（1n+1，0），点Bn的坐标为（1n，0）（不失一般性，设点An在点Bn的左侧），Sn=1n-1n+1，S1+S2+S20181-12+12-13+1

22、2018-12019=1-12019=20182019故答案为：2018201910设a，b为整数，且方程ax2+bx+10的两个不同的正数根都小于1，求a的最小值【解答】解：设方程的两根为x1，x2，由x1x2=1a0，a0由题意有：b24acb24a0 用函数的观点看一元二次方程有：0-b2a1 a+b+10 由得：（a+1）b0由得：b2a（a+1）b2a当a1，2，3，4时，满足式的整数b不存在当a5时，b5，这时方程是5x25x+10，两根为x=12510在0和1之间故a的最小值为511已知抛物线yx2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方（1）求证：已知抛物线必与x轴有两

23、个交点A（x1，0），B（x2，0），其中x1x2；（2）求证：x1x0x2；（3）当点M为（1，1999）时，求整数x1，x2【解答】解：（1）函数yx2+px+q可化为y（x+p2）2+q-p24，将M（x0，y0）代入得，y0（x0+p2）2+q-p240，y00，q-p240，即p24q，p24q，0，抛物线必与x轴有两个不同的交点；（2）设y（xx1）（xx2），将x0代入，则y0（x0x1）（x0x2）0，（x0x1）0且（x0x2）0，或（x0x1）0且（x0x2）0，x1x2，只能是前一种情况，x1x0x2；（3）x1+x2p，x1x2q，M点代入方程，p和q用x1和x2代换整理得，x1x2（x1+x2）+11999，即（x11）（x21）1999，又x1和x2是整数及x1x2，x11998，x22，或x10，x22000