专题22 最值问题中的瓜豆原理模型(解析版).docx

1、专题22 最值问题中的瓜豆原理模型 【模型展示】特点瓜豆原理若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。模型总结：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？结论： 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 ； 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长； 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；如图，

2、P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？分析：观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2结论：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AOQ点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系结论主动点、从动点到定点的距离

3、之比是定量【模型证明】解决方案如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQAP且AQ=AP考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？分析：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆接下来确定圆心与半径考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM如图，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？分析考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:

4、AM=2:1即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为2模型总结为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”【题型演练

5、】一、单选题1如图，在矩形纸片ABCD中，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是AB3CD【答案】D【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，根据折叠的性质可知，在中利用勾股定理可求出CE的长度，用即可求出结论【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：在中，的最小值故选D【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出取最小值时点的位置是解题的关键2如图，在RtABC中，ABC90，ACB30，BC2 ，ADC与AB

6、C关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DECF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为()A1BCD2【答案】D【分析】连接BD，证明EDBFCD，可得BPD120，由于BD的长确定，则点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值【详解】解：连接AD，因为ACB30，所以BCD60，因为CBCD，所以CBD是等边三角形，所以BDDC因为DECF，EDBFCD60，所以EDBFCD，所以EBDFDC，因为FDCBDF60，所以EBDBDF60，所以BPD120，所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，直角ABC中，ACB30，BC2，

7、所以AB2，AC4，所以AP2当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，CP的最小值是ACAP422故选D【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值3如图，等腰RtABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQOP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）ABC1D2【答案】C【分析】连接OC，作PEAB于E，MHAB于H，QFAB于F，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC=BC=，A=B=45，OCAB，OC=OA=OB=1，OCB=45，再证明RtAO

8、PCOQ得到AP=CQ，接着利用APE和BFQ都为等腰直角三角形得到PE=AP=CQ，QF=BQ，所以PE+QF=BC=1，然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH=，即可判定点M到AB的距离为，从而得到点M的运动路线为ABC的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长【详解】连接OC，作PEAB于E，MHAB于H，QFAB于F，如图，ACB为等腰直角三角形，AC=BC=AB=，A=B=45，O为AB的中点，OCAB，OC平分ACB，OC=OA=OB=1，OCB=45，POQ=90，COA=90，AOP=COQ，在RtAOP和COQ中，RtAOPCOQ，AP=CQ，易得APE和B

9、FQ都为等腰直角三角形，PE=AP=CQ，QF=BQ，PE+QF=（CQ+BQ）=BC=1，M点为PQ的中点，MH为梯形PEFQ的中位线，MH=（PE+QF）=，即点M到AB的距离为，而CO=1，点M的运动路线为ABC的中位线，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1，故选C【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键.4如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90，得到点，连接，则的最小值为()ABCD【答案】B【分析】利用等腰直角三

10、角形构造全等三角形，求出旋转后Q的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题【详解】解：作QMx轴于点M，QNx轴于N，设Q(，)，则PM=，QM=，PMQ=PNQ=QPQ=90，QPM+NPQ=PQN+NPQ，QPM=PQN，在PQM和QPN中，PQMQPN(AAS)，PN=QM=，QN=PM=，ON=1+PN=，Q(，)，OQ2=()2+()2=m25m+10=(m2)2+5，当m=2时，OQ2有最小值为5，OQ的最小值为，故选：B【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐

11、标是解题的关键二、填空题5如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_【答案】【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动将绕点旋转，使与重合，得到，从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上，作，则即为的最小值，作，可知四边形为矩形，则.故答案为【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键6如图，等边

12、三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为_，当点D运动到点H，此时线段BE的长为_【答案】 【分析】由“SAS”可得ABDCBE，推出AD=EC，可得结论，再由勾股定理求解 当重合时， 从而可得答案.【详解】解：如图，连接EC ABC，BDE都是等边三角形， BA=BC，BD=BE，ABC=DBE=60， ABD=CBE， 在ABD和CBE中， ABDCBE（SAS）， AD=EC， 点D从点A运动到点H， 点E的运动路径的长为，当重合，而（即）为等边三角形， 故

13、答案为：【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题7如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为_【答案】【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC，点E运动的路径为EE，由平移的性质可知AC=EE，在RtABC中，易知AB=BC=6，ABC=90，EE=AC=，故答案为点睛：主要考查轨迹、平移变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题

14、8如图，在RtABC中，BC2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是_【答案】3【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，E为AD的中点，E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值【详解】解：BC2，线段BC绕点B旋转到BD，BD2，由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，E为AD的中点，E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，CE的最大值即C到BA中点的距离加上长，BC2，C到BA中点的距离即，又，CE的最大值即故答案为3【点睛】本题考查

15、了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键9如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F沿线段AO从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接OE现给出以下结论：；直线；点E运动的路程是其中正确的结论是_（写出所有正确结论的序号）【答案】【分析】根据，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，即可得出结论正确；如图，连接，利用证明，再证明，即可得出结论正确；通过等量代换即可得出结论正确；如图，延长至 ，使，连接 ，通过，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段 运动到，从而得出结论错误【详解】解：DAC6

16、0，ODOA，OAD为等边三角形，DOADAOODA60，ADOD，DFE为等边三角形，EDFEFDDEF60，DFDE，BDE+FDOADF+FDO60，BDEADF，ADF+AFD+DAF180，ADF+AFD180DAF120，EFC+AFD+DFE180，EFC+AFD180DFE120，ADFEFC，BDEEFC，故结论正确；如图，连接OE，在DAF和DOE中， ，DAFDOE（SAS），DOEDAF60，COD180AOD120，COECODDOE1206060，COEDOE，在ODE和OCE中，ODEOCE（SAS），EDEC，OCEODE，故结论正确；ODEADF，ADFOCE

17、，即ADFECF，故结论正确；如图，延长OE至，使OD，连接，DAFDOE，DOE60，点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段运动到，ODADABtanABD4tan30 ，点E运动的路程是，故结论错误故答案为【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键10如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为_【答案】【分析】如图所示，延长PB到D使得PB=DB，先证明APD是等边三角形，从而推出AB

18、P=90，BAP=30，以AO为斜边在AC下方作RtAMO，使得MAO=30，连接CM，过点M作MHAC于H，解直角三角形得到，从而证明AMBAOP，得到，则，则点B在以M为圆心，以为半径的圆上，当M、B、C三点共线时，即点B在点的位置时，BC有最小值，据此求解即可【详解】解：如图所示，延长PB到D使得PB=DB，又APB=60，APD是等边三角形，B为PD的中点，ABDP，即ABP=90，BAP=30，以AO为斜边在AC下方作RtAMO，使得MAO=30，连接CM，过点M作MHAC于H，同理可得，OAM=30=PAB，BAM=PAO，又，AMBAOP，点P到点O的距离为2，即OP=2，点B在

19、以M为圆心，以为半径的圆上，连接CM交圆M（半径为）于，当M、B、C三点共线时，即点B在点的位置时，BC有最小值，AC=2AO=8，AO=4，BC的最小值为，故答案为：【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即证明点B在以M为圆心，半径为的圆上运动三、解答题11在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b满足，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；（1）如图1，若C（0，4），求ABC的面积；（2）如图1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且CBA

20、=CDE，求D点的坐标；（3）如图2，若CBA=60，以CD为边，在CD的右侧作等边CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离【答案】（1）ABC的面积为12；（2）D点的坐标为（-2，0）；（3）A，E两点之间的距离为【分析】（1）利用完全平方式和绝对值的性质求出a，b，然后确定A、B两点坐标，从而利用三角形面积公式求解即可；（2）根据题意判断出，从而得到，然后利用勾股定理求出，及可求出结论；（3）首先根据“双等边”模型推出，得到，进一步推出，从而确定随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE最短时，各点的位置关系，

21、最后根据含30角的直角三角形的性质求解即可【详解】解：（1），由非负性可知，解得：，；（2）由（1）知，在和中，在和中，；（3）由（2）可知CB=CA，CBA=60，ABC为等边三角形，BCA=60，DBC=120，CDE为等边三角形，CD=CE，DCE=60，DCE=DCB+BCE，BCA=BCE+ECA，DCB=ECA，在DCB和ECA中，即：随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，要使得OE最短，如图所示，当OEPQ时，满足OE最短，此时OEA=90，当OE最短时，A，E两点之间的距离为【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性

22、质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用全等三角形的判定与性质是解题关键12如图所示，在中，点是上一点，以为一边向右下方作等边，当由点运动到点时，求点运动的路径长【答案】点运动的路径长为【分析】根据是等边三角形，得出点运动的路径长等于点运动的路径长，即为的长，根据勾股定理即可得出答案【详解】点为定点，可以看作是绕点顺时针旋转60而来，点运动的路径长等于点运动的路径长，即为的长，点运动的路径长为【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹，属于中考常考题型13如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线

23、AB上一点将线段CD绕点D顺时针旋转60得到线段DE，连结BE（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC，A=B=60，由旋转的性质得：ACB=DCE=60，CD=CE，得出ACD=BCE，证明ACDBCE，即可得出结论；（2）过点A作AFEB交EB延长线于点F由ACDBCE，推出CBE=A=60，推出点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，利用勾股定理求出CF即可

24、【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：ABC是等边三角形，AB=BC=AC，A=B=60，由旋转的性质得：ACB=DCE=60，CD=CE，ACD=BCE，ACDBCE（SAS），AD=BE（2）如图2，过点A作AFEB交EB延长线于点FACDBCE，CBE=A=60，点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，ACB=CBE=60，ACEF，AFBE，AFAC，在RtACF中，CF=，CD=CF=.【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角

25、形全等是解题关键14如图，在中，D是BC的中点小明对图进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转，点B的对应点是点E，连接BE，得到小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图所示 ；连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 （2）请在图中画出，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值【答案】（1）50；（2）；（3

26、）AE的最小值【分析】（1）利用等腰三角形的性质即可解决问题证明，推出即可（2）如图中，以P为圆心，PB为半径作P利用圆周角定理证明即可解决问题（3）因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值【详解】（1）如图中，结论：理由：，AE垂直平分线段BC，故答案为50，（2）如图中，以P为圆心，PB为半径作PAD垂直平分线段BC， （3）如图中，作于H，点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知

27、识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题15如图，过抛物线上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴于点C，已知点A的横坐标为（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；连结BD，求BD的最小值；当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式【答案】(1)x=4；B（10，5）（2）y=x+【详解】试题分析：（1）确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；（2）由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最

28、小值=OBOD；当点D在对称轴上时，在RtOD=OC=5，OE=4，可得DE=3，求出P、D的坐标即可解决问题.试题解析：（1）由题意A（2，5），对称轴x=4，A、B关于对称轴对称，B（10，5）（2）如图1中，由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，当O、D、B共线时，BD的最小值=OBOD=如图2中，图2当点D在对称轴上时，在RtODE中，OD=OC=5，OE=4，DE=3，点D的坐标为（4，3）设PC=PD=x，在RtPDK中，x2=（4x）2+22，x=，P（，5），直线PD的解析式为y=x+考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式16如图所示，在等腰中，点在以斜边为直径

29、的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，求点运动的路径长【答案】点运动的路径长为【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=4，则OC=AB=2，OP=AB=2，再根据等腰三角形的性质得OMPC，则CMO=90，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长【详解】解：如图所示，取的中点，的中点，的中点，连接、，在

30、等腰中，为的中点，点在以为直径的圆上，当点与点重合时，点与点重合：当点与点重合时，点与点重合，易得四边形为正方形，点运动的路径为以为直径的半圆点运动的路径长为【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆17如图所示，点，的半径为2，点是上的动点，点是的中点，求的最小值【答案】的最小值为【分析】如图，连接OP交P于M，连接OM因为OA=AB，CM=CB，所以AC=OM，所以当OM最小时，AC最小，M运动到M时，OM最小，由此即可解决问题【详解】解：如图所示，连接交于点，连接，由勾股定理得：，当

31、最小时，最小当运动到时，最小此时的最小值为【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，所以中考常考题型18如图所示，为等腰直角三角形，直角顶点在第二象限，点在轴上移动，以为斜边向上作等腰直角，我们发现直角顶点点随着点的移动也在一条直线上移动，求这条直线的函数解析式【答案】直线的函数解析式为【分析】抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程

32、组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式【详解】如图所示当与轴平行时，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点， 是等腰直角三角形，点的坐标是，又是等腰直角三角形，点的坐标为当与原点重合时，在轴上，此时，即，设所求直线解析式为：，将、代入得解直线的函数解析式为【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解本题的关键19如图1，在中，以点为圆心，为半径作圆点为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接，（1）求的度数，并证明；（2）如图2，若点在上时，连接，求的长；（3）点在运动过程中，是否有最大

33、值或最小值？若有，请求出当取得最大值或最小值时，的度数；若没有，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）；（3）有 当取得最大值时，；当取得最小值时，【分析】（1）利用锐角三角函数求出BAC，先判断出，再判断出，即可得出结论；（2）先求出PAC，进而得出PAB90，再利用相似求出AP，即可得出结论；（3）先求出AP1是定值，判断出点P在以点A为圆心，1为半径的圆上，分当点在的延长线上时和当点在线段上时，两种情况讨论即可【详解】（1）在中，；（2）由（1）知，在中，由勾股定理得；（3）有由（1）知，是定值，点是在以点为圆心，半径为的圆上，如图所示，当点在的延长线上时，取得最大值，当取得最大值时，；

34、如图所示，当点在线段上时，取得最小值，当取得最小值时，【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出APCBPC是解本题的关键20如图所示，在扇形中，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长【答案】点经过的路径长为【分析】如图，由此BO交O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD易知FHB是等腰直角三角形，HFHB，FHB90，由FDB45FHB，推出点D在H上运动，轨迹是（图中红线），易知HFGHGF15，推出FHG150，推出GHB120，易知HB3，利用弧长公式即可解决问题【详解】解：如图，由此B

35、O交O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD 易知FHB是等腰直角三角形，HFHB，FHB90，FDB45FHB，点D在H上运动，轨迹是（图中红线），易知HFGHGF15，FHG150，GHB120，易知HB3，点D的运动轨迹的长为2【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点D的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题21如图所示，在矩形中，为的中点，为上一动点，为的中点，连接，求的最小值【答案】的最小值为【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BPP1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及

36、已知的数据即可知BP1P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，P1P2CE且P1P2=CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP由中位线定理可知：P1PCE且P1P=CF点P的运动轨迹是线段P1P2，当BPP1P2时，PB取得最小值矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP1=2ADE=CDE=CP1B=45，DEC=90DP2P1=90DP1P2=45P2P1B=90，即BP1P1P2，BP的最

37、小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2，BP1=PB的最小值是故答案是：【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度22如图，在矩形ABCD中，连接BD，将绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为，旋转角为a（，且）(1)在旋转过程中，当落在线段BC上时，求的长；(2)连接、，当时，求；(3)在旋转过程中，若的重心为G，则CG的最小值=_【答案】(1)(2)3(3)【分析】（1）当落在线段BC上时，如图，由题意可得，在中，由勾股定理可求得：，继而求得的长；（2）由题意可得当时，点B，D三点共线，如图，过点作，在中，由勾股定理得：，易证，由

38、相似三角形的性质可得，继而可求得，然后即可求得的值；（3）如图，分别取的中点H，N，分别连接HD，HN，CG，过点G作GM/HN，可得，HN是的中位线，继而可得，由点G是的重心和相似三角形的判定和性质，可求得，即可确定点G的运动轨迹是以M为圆心，以为半径的圆，然后根据CG的最小值即可求得答案.（1）解：当落在线段BC上时，如图，四边形ABCD是矩形，由旋转的性质可得：，在中，由勾股定理得：，.（2）解：四边形ABCD是矩形，当时，点B，D三点共线，如图，过点作，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，；（3）解：如图，分别取的中点H，N，分别连接HD，HN，CG，过点G作GM/HN，HN是的中位线

39、，点G是的重心，GM/HN，点G的运动轨迹是以M为圆心，以为半径的圆，当点C、G、M三点共线时，CG的值最小，在中，由勾股定理得：，CG的最小值为.【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角形中位线的判定与性质、三角形重心的性质以及瓜豆模型求最值等，熟练掌握相关判定和性质定理以及解题方法是解题的关键.23在菱形中，是对角线上的一点，连接（1）当在的中垂线上时，把射线绕点顺时针旋转后交于，连接如图，若，求的长（2）在（1）的条件下，连接，把绕点顺时针旋转得到如图，连接，点为的中点，连接，求的最大值【答案】（1） （2）【分析】（1）通过菱形性质证明，

40、在中，利用勾股定理求出AE的长度，再中，可以得到，在等腰中，利用角度推导出，代入数值求解即可（2）判断出点的运动轨迹，从而知道点的运动轨迹，根据三角形三边关系，即可得到AN的最大值【详解】（1）解：过点F作于点M，如下图：四边形ABCD是菱形,且为菱形对角线,又在的中垂线上 , 在中， 设：，则 即： 解得： ， 又 （2）连接AC,延长AE交BC于点M，则有,点H的运动轨迹是以点B为圆心，BH为半径的圆，因为点C为固定点，点为CH的中点，所以点N的运动轨迹是以点M为圆心，NM为半径的圆，如下图：此时：在在，,当 A、M、N三点共线时，AN最大则：在中， 又M点是BC的中点，N是CH的中点【点

41、睛】本题看考查勾股定理，等腰三角形性质瓜豆模型等相关知识点，根据题意列出相关等量关系是解题重点24如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形点分别在轴和轴的正半轴上，连结，是的中点.(1)求OC的长和点的坐标；(2)如图2，是线段上的点，点是线段上的一个动点，经过三点的抛物线交轴的正半轴于点，连结交于点将沿所在的直线翻折，若点恰好落在上，求此时的长和点的坐标；以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点从点运动到点时，点也随之运动，请直接写出点运动路径的长.【答案】(1) OC=，点的坐标为；(2) 点的坐标为，.【分析】（1）由OA=3，tanOAC=，得OC= ，由四边形OABC是矩形，

42、得BC=OA=3，所以CD= BC= ，求得D（）；（2）由易知得ACB=OAC=30，设将DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B处，则DB=DB=DC，BDF=BDF，所以BDB=60，BDF=BDF=30，所以BF=BDtan30=，AF=BF=，因为BFD=AEF，所以B=FAE=90，因此BFDAFE，AE=BD=，点E的坐标（ ，0）；动点P在点O时，求得此时抛物线解析式为y=，因此E（，0），直线DE： ，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，求得此时抛物线解析式为，所以E（6，0），直线DE：，所以F2（3，）；所以点F运动路径的长为，即G运动路径的长为 【详解】(1) ，.四边形是矩形，.是的中点，点的坐标为.(2) ，.设将翻折后，点落在上的处，则，.，.，.，点的坐标为.动点P在点O时，抛物线过点P（0，0）、求得此时抛物线解析式为y=E（，0），直线DE： ，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，抛物线过点求得此时抛物线解析式为，E（6，0），直线DE：y=-F2（3，）点F运动路径的长为，DFG为等边三角形，G运动路径的长为【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、特殊三角函数以及三角形全等的判定与性质是解题的关键