专题22.4 相似三角形的判定与性质（二）【九大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题22.4 相似三角形的判定与性质（二）【九大题型】【沪科版】【题型1 尺规作图与相似三角形综合运用】1【题型2 三角板与相似三角形综合运用】5【题型3 裁剪与相似三角形综合运用】13【题型4 折叠与相似三角形综合运用】21【题型5 判断与相似有关结论的正误】29【题型6 用相似三角形的判定与性质证明】37【题型7 用相似三角形的判定与性质求线段比值】44【题型8 利用相似三角形的判定与性质求最值】52【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决几何动点问题】59【题型1 尺规作图与相似三角形综合运用】【例1】（2023春福建福州九年级校考阶段练习）已知菱形ABCD中，E是BC边上一点(1)在B

2、C的右侧求作AEF，使得EFBD，且EF=12BD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若EAF=12ABC，求证：AE=2EF【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）连接AC交BD于O，在BC右侧作CEF=CBD，再在射线EF截取EF=OB，连接AE、AF，即可得AEF；（2）延长EF交AD延长线于点G，先证明四边形BEGD是平行四边形，可得EG=BD=2EF，G=CBD，【详解】（1）解：如图，连接AC交BD于O，在BC右侧作CEF=CBD，再在射线EF截取EF=OB，连接AE、AF，则AEF即为所要求作的三角形，再证EAFEGA，可得EFAE=AE

3、EG，最后证得结果；（2）证明：延长EF交AD延长线于点G，四边形ABCD是菱形，AD/BC，又EF/BD，EF=12BD，四边形BEGD是平行四边形，EG=BD=2EF，G=CBD，又在菱形ABCD中，CBD=12ABC，EAF=12ABC，EAF=G，又AEF=GEA，EAFEGA，EFAE=AEEG，AE2=EFEG=EF2EF=2EF2，AE=2EF；【点睛】本题考查作图-复杂作图、相似三角形的性质与判定、菱形的性质、平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型【变式1-1】（2023陕西九年级校考阶段练习）如图，ABC中，ABAC，A108，请你利用尺规在B

4、C边上求一点P，使PABABC（不写画法，保留作图痕迹）【答案】详见解析【分析】直接作出AB的垂直平分线，进而得出P点位置，利用相似三角形的判定方法得出即可.【详解】解：如图所示：点P即为所求，ABAC，A108，BC36，EP是AB的垂直平分线，PA=PB，BPAB36，PABABC【点睛】此题主要考查了尺规作图和相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键【变式1-2】（2023陕西西安西安行知中学校考模拟预测）如图，在ABC中，AMBC请用尺规作图法，在射线AM上求作一点D，使得DCAABC（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见详解【分析】作ACD=B，交AM于点D，点D即为所

5、求【详解】如图所示，作ACD=B，交AM于点D，点D即为所求，AMBC，DAC=ACB，ACD=B，DCAABC【点睛】本题考查了相似三角形的判定，作一个角等于已知角，掌握以上知识是解题的关键【变式1-3】（2023春河北保定九年级统考期末）在ABC中，ACB=90，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使ACDABC，根据下列作图痕迹判断，正确的是（）ABCD【答案】C【分析】根据ACDABC，可得CDA=BCA=90，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可【详解】解：当CD是AB的垂线时，ACDABC，CDAB，CDA=BCA=90，CAD=CAB，ACDABC根据作图痕迹可知，A选项中，C

6、D是ACB的角平分线，不符合题意；B选项中，CADCAB，不符合题意；C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；D选项中，CD不与AB垂直，ADCACB，不符合题意故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键【题型2 三角板与相似三角形综合运用】【例2】（2023春上海九年级专题练习）等边ABC边长为6，P为BC上一点，含30、60的直角三角板60角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PEAB时，判断EPF的形状；(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求EGB的面积；(3)在三角板旋

7、转过程中，若CFAE2，（CFBP），如图3，求PE的长【答案】(1)等边三角形(2)3(3)4【分析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了EPF60，主要再证得PEPF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FPBC和BEPC来实现；（2）由（1）不难得出CFG90，那么在CFG中，有C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EHBC，那么EH就是所求的高，在直角BEP中，有BP的长，有ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出GBE的

8、面积；（3）由相似三角形的判定定理得出BPECFP，设BPx，则CP6x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可【详解】（1）PEAB，B60，因此直角三角形PEB中，BE=12BP=13BC=PC，BPE30，EPF60，FPBC，在BEP和CPF中，B=CBE=PCPEB=FPC=90，BEPCPF，EPPF，EPF60，EPF是等边三角形（2）过E作EHBC于H，由（1）可知：FPBC，FC=BP=23BC=4,BE=CP=13BC=2，在三角形FCP中，PFC90C30，PFE60，GFC90，直角三角形FGC中，C60，CF4，GC2CF8，GBGCB

9、C2，直角三角形BEP中EBP60，BP4，PE23，BE2，EHBEPEBP3，SGBE=12BGEH=3；（3）在BPE中，B60，BEP+BPE120，EPF60，BPE+FPC120，BEPFPC，又BC，BPECFP，BPCF=BECP，设BPx，则CP6xx246-x，解得：x2或4当x2时，在BEP中，B60，BE4，BP2，过E作EHBC于H，则EH23，BH2，PH0，即P与H重合，与CFBP矛盾，故x2不合题意，舍去；当x4时，在BEP中，B60，BE4，BP4，则BEP是等边三角形，PE4故PE4【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定

10、与性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用【变式2-1】（2023春全国九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=23，AD=10，直角三角板的直角顶点P在AD上滑动，(点P与A，D不重合)，一直角边经过点C，另一直角边与射线AB交于点E(1)求证：AEPDPC；(2)当CPD=30时，求PE的长；(3)是否存在这样的点P，使DPC的周长等于AEP周长的2倍？若存在，求出BE的长；若不存在，请说明理由【答案】(1)详见解析(2)8(3)5-532【分析】（1）根据矩形的性质，推出D=A=90，再由直角三角形的性质，得出PCD+DPC=90，又因CPE=90，推出EPA+DPC=90，PCD

11、=EPA，从而证明CDPPAE；（2）根据含30角的直角三角形的性质和勾股定理可得结论；（3）假设存在满足条件的点P，设AP=x，则DP=10-x，由CDPPAE知CDAP=2，解得x的值，从而得结论【详解】（1）证明：四边形ABCD是矩形，D=A=90，PCD+DPC=90，又CPE=90，EPA+DPC=90，PCD=EPA，AEPDPC；（2）解：在RtPCD中，DPC=30，CD=AB=23，CP=2CD=43，PD=PC2-CD2=(43)2-(23)2=6，AD=10，AP=10-6=4，CPE=90，APE=60，RtAPE中，AEP=30，PE=2AP=8；（3）解：假设存在满

12、足条件的点P，设AP=x，则PD=10-x，CDPPAE，根据CDP的周长等于PAE周长的2倍，得到两三角形的相似比为2，CDAP=PDAE，即23x=10-xAE=2，解得x=3，AE=10-32，BE=AE-AB=10-32-23=5-532【点睛】此题是相似三角形的综合题，考查了矩形的性质，含30角的直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，根据CDP的周长等于PAE周长的2倍，得到两三角形的相似比为2是解题的关键【变式2-2】（2023春江苏泰州九年级校考阶段练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC

13、的延长线于点Q则DP DQ（填“”“”或“”）；（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD2，CD4，其他条件不变如图2，若PQ5，求AP长如图3，若BD平分PDQ则DP的长为 【答案】（1）；（2）1，2103【分析】（1）先证明ADPCDQ，即可求解；（2）先证明ADPCDQ，可得APCQADCD24 12，设APx，则CQ2x，再由勾股定理，即可求解；过点B作BEDP交DP延长线于点E，BFDQ于点F，根据ADPCDQ，可得APD=Q，APCQADCD24 12，从而得到BPE=Q，再由角平分线的性质定理可得BE=BF，进而证得BEPBFQ，得到BP=BQ，从而得到A

14、P=23，再由勾股定理，即可求解【详解】解（1）在正方形ABCD中，A=BCD=DCQ=ADC=90，AD=CD，PDQ=90，PDQ=ADC=90，ADPPDCCDQPDC90，ADP=CDQ，ADPCDQ，DP=DQ；故答案为= （2）四边形ABCD是矩形，AADCBCD90ADPPDCCDQPDC90，ADPCDQ又ADCQ90ADPCDQ，APCQADCD24 12，设APx，则CQ2x，PB4x，BQ22x由勾股定理得，在RtPBQ中，PB2BQ2PQ2，代入得（4x）2（22x）252，解得x1，即AP1AP的长为1如图，过点B作BEDP交DP延长线于点E，BFDQ于点F，由得：A

15、DPCDQ，APD=Q，APCQADCD24 12，CQ=2AP，APD=BPE，BPE=Q，BD平分PDQ，BEDE，BFDQ，BE=BF，E=BFQ=90，BEPBFQ，BP=BQ，设AP=m，则BQ=BP=4-m，CQ=2m，2+2m=4-m，解得：m=23，即AP=23，DP=AD2+AP2=22+232=2103【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键【变式2-3】（2023春广东广州九年级校考阶段练习）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角

16、板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足CME=2ADE，EM= 【答案】294【分析】由CE=5， AE=2，得AC=7，利用勾股定理，得到AD的长度，过E作ENAD于N，求出EN和DN的长度，由于CME=2ADE，延长MB至P，是MP=ME，可以证明DNEPCE，MP=x，在RtMCE中，利用勾股定理列出方程，即可求解【详解】解：如图，过E作ENAD于N，END=ENA=90,NEA=A=45,NE= NA，AE=NE2+NA2=2NA,NE=NA=AE2=2,同理，AD=AC2=722,DN=AD-NA=522, 延长MB至P，使MP=ME，连接

17、PE，可设MPE=MEP=x，EMC=MPE+MEP=2x，EMC=2ADE,ADE=MPE=x,又DNE=PCE=90,DNEPCE,CEPE=NEDN=2522=25,PC=252,设MP=ME=x,则CM=252-x,在RtMCE中，ME2=CM2+CE2,252-x2+25=x2,x=294,ME=294【点睛】本题考查了勾股定理，二倍角的辅助线的构造，方程思想求线段，熟练掌握二倍角辅助线是解决问题的关键【题型3 裁剪与相似三角形综合运用】【例3】（2023春全国九年级期中）如图1所示，一个木板余料由一个边长为6的正方形和一个边长为2的正方形组成，甲、乙两人打算采用剪拼的办法，把余料拼

18、成一个与它等积的正方形木板甲：如图2，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM2乙：如图3，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM32下列说法正确的是（）A甲的分割方式不正确B甲的分割方式正确，AM的值求解不正确C乙的分割方式与所求AM的值都正确D乙的分割方式正确，AM的值求解不正确【答案】D【分析】根据题意画出相应的图形，再逐个验证拼图是否符合题意，再利用全等三角形的性质，正方形的性质以及相似三角形的判定与性质求解即可【详解】解：如图所示，将FAM平移至NDC，将MBC平移至FEN，由此可得AMDC2，FAND6，NEBC2，DENDNE4（符合题意），甲的分割方式正确，AM的值求解也

19、正确，故选项A、选项B的说法都是错误的，不符合题意；如下图所示，将FEG平移至NBH，连接GH，交AB于点M，将GAM平移至EDP，将PCB平移至MNH，由此可得GAED624，AMDP，MNPC，NBEF，DPPCEF268AB，当FGNHBC2时，GAED4（符合题意），AHNM90，AMGNMH，AMGNMH，AMMN=AGNH，AM2-AM=42，解得：AM=43，乙的分割方式正确，AM的值求解不正确，故选项C的说法是错误的，不符合题意，选项D的说法是正确的，符合题意，故选：D【点睛】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质，正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形

20、的判定与性质是解决本题的关键【变式3-1】（2023河北保定统考二模）如图为三角形纸片ABC，其中D点和E点将AB三等分，F点为DE中点若小慕从AB上的一点P，沿着与直线BC平行的方向将纸片剪开后，剪下的小三角形纸片面积为ABC的13，则下列关于P点位置的叙述正确的是（）A在FE上，但不与F点也不与E点重合B在DF上，但不与D点也不与F点重合C与E点重合D与D点重合【答案】A【分析】根据题意确定出剪下来的三角形与三角形ABC相似，面积比为13，得到相似比33，逐一判断各选项即可【详解】解：由题意得，剪下来的三角形与三角形ABC相似，面积比为13，故相似比为13=33，即APAB=33，选项A：

21、12ABAP23AB，则12APAB23，符合题意；选项B：13ABAP12AB，则13APAB12，不符合题意；选项C：23AB=AP，则APAB=23，不符合题意；选项D：13AB=AP，则APAB=13，不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了相似三角形性质的实际应用，对于操作类题目，要对每个选项逐一分析，解题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方【变式3-2】（2023福建泉州中考真题）（1）如图1是某个多面体的表面展开图请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点；如果沿BC、GH将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么BMC应满足什么条件？（不必说理）（2

22、）如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图2，那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少？为什么？（注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计）【答案】（1）直三棱柱，点A、M、D三个字母表示多面体的同一点BMC应满足的条件是：a、BMC=90，且BM=DH，或CM=DH；b、MBC=90，且BM=DH，或BC=DH；c、BCM=90，且BC=DH，或CM=DH；（2）12【分析】（1）根据多面体的侧面展开图可以判断，且A、M、D是一点；要使最后的图形为矩形，必须使BMC是直角三角形，且BMCHGN；（2）连接AB、BC、CA，可知矩形ACKL、BIJC、AGHB为棱柱的三个侧面，且

23、四边形DGAL、EIBH、FKCJ须拼成与底面ABC全等的另一个底面的三角形，然后根据三角形相似的判定和相似比可确定结果【详解】解：（1）根据这个多面体的表面展开图，可得这个多面体是直三棱柱，点A、M、D三个字母表示多面体的同一点BMC应满足的条件是：a、BMC=90，且BM=DH，或CM=DH；b、MBC=90，且BM=DH，或BC=DH；c、BCM=90，且BC=DH，或CM=DH；（2）如图2，连接AB、BC、CA，DEF是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成，矩形ACKL、BIJC、AGHB为棱柱的三个侧面，且四边形DGAL、EIBH、FKCJ须拼成与底面ABC全等的另一个底面的三角形，AC

24、=LK，且AC=DL+FK，ACDF=12，同理，可得ABDE=BCEF=ACDF=12，ABCDEF，SABCSDEF=14，即SDEF=4SABC，S侧面积S表面积=SDEF-2SABCSDEF=2SABC4SABC=12，即该三棱柱的侧面积与表面积的比值是12【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握同时此题还考查了直三棱柱的表面展开图的特征和应用，要熟练掌握【变式3-3】（2023吉林长春一模）综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美

25、丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识折一折：把边长为2的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF.如图；点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图(1)图中，CMD=_；线段NF=_(2)图中，试判断AND的形状，并给出证明剪一剪、折一折：将图中的AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A处，分别得到图、图(3)图中，阴影部分的周长为_(4)图中，若AGN=80，则AHD=_.(5)图中，相似三角形(包括全等三角形)共有_对(6)如图，点A落在边ND上，若AN=2AD，则AGAH=_【答

26、案】(1)75，2-3；(2)AND是等边三角形，理由见解析；(3)6；(4)40；(5)4对；(6)54【分析】（1）由折叠知DE=AE=12AD，则EDN=60，CDM=NDM=15，EN=32DN=3，可得答案；（2）由折叠知EF是AD的垂直平分线，得AN=DN，由（1）得EDN=60，从而得出答案；（3）由折叠知AG=AG，AH=AH，则图中阴影部分的周长=ADN的周长=32=6；（4）由折叠知AGH=50，则AHG=AHG=70，再利用平角的定义可得答案；（5）根据两组角相等可说明NMGAMPDHP，由折叠知，AGHAGH，从而得出答案；（6）设AN=2x，AD=x，说明AGNHAD

27、，则AGAH=ANDH=GNAD，设AG=AG=m，AH=AH=n，则GN=2-m，DH=2-n，得出mn=2x2-n=2-mx，解得：m=2+2xx+2n，得出AGAH=mn=2+2xx+2=2+2232+23=10383=54【详解】（1）解：由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，EF=CD，EDF=90，DE=AE=12AD，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，DN=CD=2DE，MN=CM，EDN=60，CDM=NDM=15，EN=32DN=3，CMD=75，NF=EF-EN=2-3，故答案为：75；2-3；（2）解：ADN是等边三角形，理由如下：由第一次折叠

28、知，EF是AD的垂直平分线，AN=DN，EDN=60，ADN是等边三角形；（3）解：将图中的AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A处，AG=AG，AH=AH，图中阴影部分的周长=ADN的周长=32=6，故答案为：6；（4）解：将图中的AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A处，AGH=AGH ，AHG=AHG，AGN=80，AGH=50，AHG=AHG=70，AHG=180-70-70=40，故答案为：40；（5）解：如图，NMG=AMP，APM=DPH， NMGAMPDHP，由折叠知，AGHAGH，图中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对，故答案为：4对；（6）解：AN=

29、2AD，设AN=2x，AD=x，ND=NA+AD,2=2x+x=3x，x=23，N=D=A=A=60，NAG+AGN=NAG+DAH=120，AGN=DAH，AGNHAD， AGAH=ANDH=GNAD，设AG=AG=m，AH=AH=n，GN=2-m ，HD=2-n，mn=2x2-n=2-mx，解得：m=2+2xx+2n，AGAH=mn=2+2xx+2=2+2232+23=10383=54；故答案为：54【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，利用相似三角形的周长比等于相似比是解决问题的关键【题型4 折叠与相似三

30、角形综合运用】【例4】（2023辽宁鞍山统考一模）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，连接DE，将DCE沿DE所在直线翻折得到DCE，CE与AD交于F，点N为DE中点，射线AN交CD边于点G，连接AE，若FAE=FEC，AB=15，BC=6，则DG长为_【答案】6157【分析】过点E作EHAD，延长AG交BC延长线于T，由垂直证明四边形ABEH为矩形，设BE=AH=x，由角相等推出EA=EF，因为EHAF，AH=HF=x，即可表示出 DF=6-2x，用HL证明ABEDCF，FC=x，由勾股定理求出x=1，再由N为DE中点，可由AAS证明DANETN，可求得CT=1，再利用角相等证明DA

31、GCTG，相似三角形对应边成比例可求得DG的长度【详解】解：过点E作EHAD，延长AG交BC延长线于T，B=BAF=AHE=90，四边形ABEH为矩形，BE=AH，设BE=AH=x，ADBC，FEC=AFE，FAE=FEC，AFE=FAE，EA=EF，EHAF，AH=HF=x，AF=2x，DF=6-2x，ADBC，ADE=DEC，由折叠可知：FED=DEC，ADE=FED，EF=FD，EA=FD，AB=CD=15，ABE=DCE=90，ABEDCFHL，FC=BE=x，在RtCFD中由勾股定理可得：FD2=FC2+CD2，6-2x2=x2+152，解得：x=1或x=7（舍去），BE=1，N为D

32、E中点，DN=NE，ADBC，DAN=T，又ADE=DEC，DANETNAAS ，AD=ET=6，AD=BC=6，BE=CT=1，ADBC，ADG=GCT=90，DAG=T，DAGCTG，ADCT=DGCG=DG15-DG=61，解得：DG=6157故答案为：6157【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的知识，相似三角形判定和性质，正确做出辅助线是解答本题的关键【变式4-1】2023上海九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，AB=3，点E在边AB上，AE=2，连接DE，将ADE沿着DE翻折，点A的对应点为P，连接EP、DP，分别交边BC于点F、G，如果BF=14BC，那么CG的长是 【答案】6

33、55【分析】延长EP交DC于点Q，根据已知得出BFFC=13，证明EBFQCF，求得CQ=3，根据折叠的性质以及平行线的性质得出QE=QD，在RtPDQ中，PD=DQ2-PQ2=62-42=25，进而得出BC=AD=PD=25，证明EBFGCD，根据相似三角形的性质即可求解【详解】解：如图所示，延长EP交DC于点Q，BF=14BC，BFFC=13，四边形ABCD是矩形，ABCD，AB=CD=3，AD=BCEBFQCF，EFFQ=EBCQ=BFFC=13，BE=1，CQ=3BE=3，DQ=DC+CQ=6，折叠，AD=PD，AED=QED，AE=EP，则BC=PD，又ABCD，AED=EDQDEQ

34、=EDQ，QE=QD=6AE=EP=2，PQ=EQ-EP=6-2=4，在RtPDQ中，PD=DQ2-PQ2=62-42=25，BC=AD=PD=25，BF=14BC=52，BEF=90-BFE,BFE=PFG=90-PGF，PGF=DGC=90-GDCBEF=DGC，又B=C=90，EBFGCD，EBCG=BFCD，即1CG=523，CG=655，故答案为：655【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质以及相似三角形的性质是解题的关键【变式4-2】（2023安徽九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EGCD交AF于

35、点G，连接DG（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）求证EG212GFAF；（3）若AG3，EG5，求BE的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE=655【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明DGF=DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O由菱形的性质可知GFDE，OG=OF=12GF，接下来，证明DOFADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GHDC，垂足为H利用（2）的结论可求得FG=4，然后再ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明FGHFAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可【详解】（1）证明：GEDF，EGF=DFG由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，DGF=EGF，DGF=DFGGD=DFDG=GE=DF=EF四边形EFDG为菱形（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O四边形EFDG为菱形，GFDE，OG=OF=12GF，