专题23 二次函数与等边三角形存在问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）（解析版）.docx

1、专题23 二次函数与等边三角形存在问题1（2021浙江鄞州中考一模）如图，点A是二次函数yx2图象上的一点，且位于第一象限，点B是直线yx上一点，点B与点B关于原点对称，连接AB，AB，若ABB为等边三角形，则点A的坐标是（ ）A（，）B（，）C（1，）D（，）【答案】B【分析】连接OA，作AMx轴于M，BNx轴于N，根据题意ABO60，AOBB，即可得到tanABO，设A（m，m2），通过证得AOMOBN，得到B（m2，m），代入直线yx即可得到关于m的方程，解方程即可求得A的坐标【详解】解：连接OA，作AMx轴于M，BNx轴于N，点B与点B关于原点对称，OBOB，ABB为等边三角形，ABO

2、60，AOBB，BON+AOM90，tanABO=，BON+OBN90，AOMOBN，BNOAMO90，AOMOBN，设A（m，m2），OMm，AMm2，BNm，ONm2，点A在第一象限内，B（m2，m），点B是直线yx上一点，m（m2），解得m或m0（舍去），当m时，m2=A（，），故选：B【点睛】本题考查二次函数上的点的坐标特征、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，熟练掌握相关性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键2（2021辽宁朝阳中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)（1）求抛物线的解析式

3、及对称轴；（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若BPD90，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标【答案】（1）yx22x3，对称轴x1；（2）P(1，1)或(2，1)；（3）M(，)或(1，)【分析】（1）利用待定系数法求解即可（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）求出PT的长，构建方程求出m即可（3）分两种情形：当点M在第一象限时，BMN是等边三角形，过点B作BTBN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E如图32中，当点M在第四象限时，

4、设N（1，n），过点B作BTBN交NM的延长线于T分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解【详解】解：（1）把A（1，0），点C（0，3）的坐标代入yx2bxc，得到，解得，抛物线的解析式为yx22x3，对称轴x1（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）点D与点C关于对称轴对称，C（0，3），D（2，3），B（3，0），T（，），BD，NPD90，DTTB，PTBD，（1）2（m）2（）2，解得m1或2，P（1，1），或（2，1）（3）当点M在第一象限时，BMN是等边三角形，过点B作BTBN交NM的延长线于T，设N（1，t），作TJx轴于点J，设抛

5、物线的对称轴交x轴于EBMN是等边三角形，NMBNBM60，NBT90，MBT30，BTBN，NMBMBTBTM60，MBTBTM30，MBMTMN，NBETBJ90，TBJBTJ90，NBEBTJ，BENTJB90，BENTJB，BJt，TJ2，T（3t，2），NMMT，M（，），点M在yx22x3上，（）223，整理得，3t2（42）t1240，解得t2（舍弃）或，M（，）如图32中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BTBN交NM的延长线于T同法可得T（3n，2），M（，），则有（）223，整理得，3n2（24）n1240，解得n（舍弃）或，M（1， ），综上所述，满足条件的点

6、M的坐标为（，）或（1，）【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题的关键3（20212022江苏射阳九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线yax2+bx经过A（4，0），B（3，）两点，连接AB，BO（1）求抛物线表达式和直线OB解析式；（2）点C是第二象限内直线OB上方抛物线上的一个动点，是否存在一点C使COB面积最大？若存在请求出点C坐标及最大面积，若不存在请说明理由；（3）若点D从点O出发沿线段OA向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OA上另一个点H从点A出发沿线段AO向点O作匀速运动，速度为每

7、秒2个单位长度（当点H到达点O时，点D也同时停止运动）过点D作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长DE到点F，使得EFDE，以DF为边，在DF左侧作等边DGF（当点D运动时点G、点F也随之运动）过点H作x轴的垂线，与直线AB交于点L，延长HL到点M，使得LMHL，以HM为边，在HM的右侧作等边HMN（当点H运动时，点M、点N也随之运动）当点D运动t秒时，DGF有一条边所在直线恰好过HMN的重心，直接写出此刻t的值【答案】（1）抛物线解析式，直线OB解析式；（2）存在，点，最大面积为；（3）t的值为或时，DGF有一条边所在直线恰好过HMN的重心【分析】（1）利用待定系数法分别把点A、B的坐标代入

8、抛物线解析式，设直线OB解析式为，进而代点求解即可；（2）过点C作CQy轴，交OB于点Q，由（1）可设点，则有，然后根据铅垂法可进行求解；（3）由题意可分两种情况：当直线DF经过HMN的重心P时，当直线DG经过HMN的重心P时，然后根据相似三角形的性质与判定及三角函数可进行求解【详解】解：（1）由题意得：把点A、B的坐标代入抛物线解析式yax2+bx得：，解得：，抛物线解析式为，设直线OB解析式为，解得：，直线OB解析式为；（2）过点C作CQy轴，交OB于点Q，如图所示：由（1）可设点，点B（3，），COB的水平宽为3，当时，COB的面积为最大，最大值为，把代入抛物线解析式得：，点；（3）由题

9、意可分两种情况：当直线DF经过HMN的重心P时，如图2，连接NL，且HMN是等边三角形，点P在NL上，由题意得：，且，MHx轴，ALH=30，LHN=60，FDx轴，MHx轴，四边形是矩形，点P是重心，解得：；当直线DG经过HMN的重心P时，如图3，连接NL，即，解得：，综上所述：t的值为或时，DGF有一条边所在直线恰好过HMN的重心【点睛】本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键4（2021重庆市育才中考模拟预测）如图，抛物线yax22xc与x轴相交于A(1，0)，B(3，0)两点（1）求抛物线的函数表

10、达式；（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将ABC沿直线AC翻折得到，点恰好落在抛物线的对称轴上若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当面积最大时点G的横坐标；（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式【答案】（1）yx22x3；（2）；（3）y或y【分析】（1）根据待定系数法，把点A（1，0），C（3，0）的坐标代入yax22xc得到方程组求解即可；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH2，由翻折得ABAB4，求出BH的长，可得点B的坐标，设点G（t，r），且rt22t3

11、，设直线AG解析式为ykxb，对称轴与AG交于点D，先求得AG解析式，再求得点D的坐标，将ABG面积表示成关于t的函数，利用二次函数的最值即可（3）由题意可知BBA为等边三角形，分两种情况讨论：当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，BP证出BAQBBP，可得AP垂直平分BB，则C点在直线AP上，可求出直线AP的解析式，当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方同理可求出另一直线解析式【详解】解：（1）由题意得：，解得：，抛物线的函数表达式为yx22x3（2）抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0），AB4，抛物线的对称轴为直线x1，如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1

12、，0），AH2，由翻折得ABAB4，在RtABH中，由勾股定理，得BH，点B的坐标为（1，2），设点G（t，r），且rt22t3，设直线AG解析式为ykxb，对称轴与AG交于点D，则：，解得：，直线AG解析式为y，D（1，），BD2，BD2BD（t1）BD（t1）（2）（t1）（t1）（t22t3）t2（2）t3，10，当t时，SABG的值最大，此时点G坐标为（，）；（3）取（2）中的点B，B，连接BB，ABAB，BAB60，ABB为等边三角形分类讨论如下：当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，BPPBQ，ABB为等边三角形，BQBP，ABBB，PBQBBA60，ABQBBP，ABQ

13、BBP（SAS），AQBP点Q在抛物线的对称轴上，AQBQ，BPBQBP，又ABAB，AP垂直平分BB，由翻折可知AC垂直平分BB，点C在直线AP上，设直线AP的函数表达式为yk1xb1，则，解得：，直线AP的函数表达式为yx当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方PBQ，ABB为等边三角形，BPBQ，ABBB，BBAQBPBBA60ABPBBQ，ABPBBQ（SAS），BAPBBQ，ABBB，BHAB，BBQBBA30，BAP30，设AP与y轴相交于点E，在RtAOE中，OEOAtanBAPOAtan301，点E的坐标为（0，）设直线AP的函数表达式为ymxn，则，解得：，直线AP的函数表达式为

14、y综上所述，直线AP的函数表达式为y或y【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度5（2021广西柳南中考三模）如图，抛物线yx2bxc过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点N，交抛物线于点M，点D为线段MN上一动点（1）求抛物线的表达式及C点坐标；（2）若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）连接BD，在BD左侧构造等边BDH，求当点D从点M运动到点

15、N的过程中，H运动的路径长【答案】（1）yx22x3，（0，3）；（2）（1，1）或（1，）；（3）4【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，进而求出C的坐标；（2）分CDAD、ACAD两种情况，利用勾股定理求出边的长度，分别求解即可；（3）设点H的坐标为（x，y），点D（1，m），过点H作HEBD，过点E作x轴的平行线GR，交过点B与y轴的平行线于点R，交过点H与y轴的平行线于点G，证明EGHBRE，可得，从而确定点H的轨迹为：，进而求解【详解】解：（1）抛物线yx2bxc过点A（1，0）和点B（3，0），把A，B两点的坐标代入关系式，得，解得，抛物线的关系式为：yx22x3，把x0代入y

16、x22x3得y3，C点坐标为（0，3）；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为：直线x1，设D点坐标为（1，m），当CDAD时，由题意得：1（3m）222m2，解得：m1，D点坐标为（1，1）；当ACAD时，由题意得：123222m2，解得：m（舍去负值），故m，D点坐标为（1，），D点坐标为（1，1）或（1，）；（3）设点H的坐标为（x，y），点D（1，m），过点H作HEBD，DBH为等边三角形，则点E是BD的中点且BDEH，则EH：BEtan60=，点E为BD的中点，则点E的坐标为（2，），过点E作x轴的平行线GR，交过点B与y轴的平行线于点R，交过点H与y轴的平行线于点G，REBGEH90

17、，GEHGHE90，REBGHE，EGHBRE，则GHy，ER321，GE2x，BR，即，解得，整理得：，即点H的轨迹为直线，当点D在点M处时，则m4，则=，即此时点H的坐标为（，），当点D在点N处时，则m2，同理可得，此时点的坐标为（2，），则H运动的路径长为H【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系6如图，已知抛物线y=x22x3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线顶点为D，对称轴交x轴于点H（1）求A，B两点的坐标；（2）设

18、点P在x轴下方的抛物线上，当ABP=CDB时，求出点P的坐标；（3）以OB为边最第四象限内作等边OBM设点E为x轴的正半轴上一动点（OEOH），连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60得MF，求线段DF的长的最小值【答案】（1）A（1，0），B（3，0）；（2）P（2，3）；（3）线段DF的长的最小值存在，最小值是2+【详解】试题分析：（1）令y=0，求得关于x的方程x22x3=0的解即为点A、B的横坐标；（2）设P（x，x22x3），根据抛物线解析式求得点D的坐标为D（1，4）；结合坐标与图形的性质求得线段CD=，CB=3，BD=2；所以根据勾股定理的逆定理推知BCD=90，则易推知相似三角

19、形BCDPNB，由该相似三角形的对应边成比例来求x的值，易得点P的坐标；（3）正确做出等边OBM和线段ME所对应的旋转线段MF，如图2过点B，F作直线交对称轴于点G构建全等三角形：EOMFBM，由该全等三角形的性质和图形中相关角间的和差关系得到：OBF=120为定值，即BF所在直线为定直线过D点作DKBF，K为垂足线段DF的长的最小值即为DK的长度解：（1）令y=0，得x22x3=0，解得x1=1，x2=3，A（1，0），B（3，0）（2）设P（x，x22x3），如图1，过点P作PNx轴，垂足为N连接BP，设NBP=CDB令x=0，得y=x22x3=3，C（0，3）y=x22x3=（x1）24

20、，D（1，4）由勾股定理，得CD=，CB=3，BD=2BD2=BC2+CD2，BCD=90BCD=PNB=90，NBP=CDBBCDPNB=，=，即x25x+6=0，解得x1=2，x2=3（不合题意，舍去）当x=2时，y=3P（2，3）；（3）正确做出等边OBM和线段ME所对应的旋转线段MF，如图2过点B，F作直线交对称轴于点G由题意可得：，EOMFBM，MBF=MOB=60OBF=OBM+MBF=60+60=120为定值，BF所在直线为定直线过D点作DKBF，K为垂足在RtBGH中，HBG=180120=60，HGB=30HB=3，BG=4，HG=2D（1，4），DH=4，DG=2+4在Rt

21、DGK中，DGK=30DK=DG=2+当点E与点H重合时，这时BF=OH=1，则GF=4+1=5而GK=DK=3+25，即点K在点F运动的路径上，所以线段DF的长的最小值存在，最小值是2+考点：二次函数综合题7如图，抛物线经过点A和点B.已知点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是2.（1）求a的值及点B的坐标；（2）设点D为线段AB上的一个动点，过D作x轴的垂线,垂足为点H.在DH的右侧作等边DHG. 将过抛物线顶点的直线记为l，设l与x轴交于点N. 如图1，当动点D的坐标为(1，2)时，若直线l过DHG的顶点G.求此时点N的横坐标是多少？ 若直线l与DHG的边DG相交，试求点N横坐标的取值范

22、围.【答案】(1)a=1,B(-2,-4);(2);【分析】（1）由于抛物线经过A、B两点，将A点坐标代入抛物线中，即可求得待定系数的值，进而可求出B点的坐标（2）已知点D的坐标，即可求得正DGH的边长，过G作GEDH于E，易求得DE、EH、EG的长；根据（1）题所求得抛物线的解析式，即可求出点M的坐标，也就能得到ME、MH的长，易证MEGMHN，根据相似三角形所得比例线段，即可求得N点的横坐标求点N横坐标的取值范围，需考虑N点横坐标最大、最小两种情况：当点D、A重合，且直线l经过点G时，N点的横坐标最大；解法可参照（2）的思路，过点G作GQx轴于Q，过点M作MFx轴于F，设出点N的横坐标，然

23、后分别表示出NQ、NF的长，通过证NQGNFM，根据所得比例线段，即可求得此时N点的横坐标；当点D、B重合，直线l过点D时，N点的横坐标最小，解法同【详解】（1）点A（2，4）在抛物线上，代入得a=1 ,于是抛物线的解析式为,又点B的横坐标为2，代入得y=-4,B(2,4) ;（2）由题意M(1，5)，D(1，2)，且DHx轴，点M在DH上，MH=5，过点G作GEDH，垂足为E.DHG是正三角形，可得EG=,EH=1，ME4.设N(x，0 )，则NHx1,由MEGMHN，得, 解得,点N的横坐标为 ;如图，当点D运动至与点A重合时，直线与DG交于点G，此时点N的横坐标最大过点G，M作x轴的垂线

24、，垂足分别为点Q，F.设N（x，0），A(2, 4)，G(, 2)NQ=，NF=x-1，GQ=2，MF=5.由题意，NGQNMF，,.,如图，当点D运动至与点B重合时，直线与DG交于点D（即点B）此时点N的横坐标最小. B(2, 4) ，H(2, 0)，D(2, 4).设N（x，0）.由题意BHNMFN，,综上，点N的横坐标取值范围是.【点睛】二次函数的综合题，主要考查二次函数解析式的确定、等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质；在解答（2）题时，关键是正确地作图，构造出与所求相关的相似三角形，然后利用相似三角形的性质来求解8（2021江西寻乌九年级期末）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与

25、y轴交于点将抛物线向右平移个单位得到抛物线与x轴交于D，E两点（点D在点E的左侧），与抛物线在第一象限交于点M（1）求抛物线的解析式，并求出其对称轴；（2）当时，直接写出抛物线的解析式；直接写出用含m的代数式表示点M的坐标；（3）连接在抛物线平移的过程中，是否存在是等边三角形的情况？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由【答案】（1），其中对称轴是直线；（2）；点M的坐标为；（3）存在，【分析】（1）直接利用待定系数法即可求得抛物线解析式，继而根据解析式即可求得抛物线的对称轴；（2）利用抛物线平移规律即可求得C2解析式；利用抛物线平移规律即可求得M的横坐标，进而代入C1抛物线解析式即可

26、；（3）过点M做于点N，分别表示出点D、M、N、A的坐标，根据两点间的坐标公式可得DN、MN，根据等边三角形的性质列方程，解方程即可求解【详解】解：（1）设抛物线的解析式为则解得抛物线的解析式为，其中对称轴是直线（2）由（1）知：抛物线的解析式为，即，当时，根据抛物线平移规律可得：抛物线解析式为：根据抛物线平移规律可得，抛物线向右平移个单位得到抛物线解析式为： ，其对称轴为：交点M横坐标为： 将其代入抛物线解析式可得：点M的坐标为；（3）存在m值使是等边三角形理由如下：过点M做于点N，若是等边三角形，则，即解得（不合题意，舍去），当时，是等边三角形【点睛】本题考查二次函数的有关知识，解题的关键

27、是熟练掌握抛物线的性质、待定系数法求解析式、抛物线平移规律、等边三角形的性质9如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形点分别在轴和轴的正半轴上，连结，是的中点.(1)求OC的长和点的坐标；(2)如图2，是线段上的点，点是线段上的一个动点，经过三点的抛物线交轴的正半轴于点，连结交于点将沿所在的直线翻折，若点恰好落在上，求此时的长和点的坐标；以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点从点运动到点时，点也随之运动，请直接写出点运动路径的长.【答案】(1) OC=，点的坐标为；(2) 点的坐标为，.【分析】（1）由OA=3，tanOAC=，得OC= ，由四边形OABC是矩形，得BC=OA=3，所

28、以CD= BC= ，求得D（）；（2）由易知得ACB=OAC=30，设将DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B处，则DB=DB=DC，BDF=BDF，所以BDB=60，BDF=BDF=30，所以BF=BDtan30=，AF=BF=，因为BFD=AEF，所以B=FAE=90，因此BFDAFE，AE=BD=，点E的坐标（ ，0）；动点P在点O时，求得此时抛物线解析式为y=，因此E（，0），直线DE： ，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，求得此时抛物线解析式为，所以E（6，0），直线DE：，所以F2（3，）；所以点F运动路径的长为，即G运动路径的长为 【详解】(1) ，.四边形

29、是矩形，.是的中点，点的坐标为.(2) ，.设将翻折后，点落在上的处，则，.，.，. ，点的坐标为.动点P在点O时，抛物线过点P（0，0）、求得此时抛物线解析式为y=E（，0），直线DE： ，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，抛物线过点求得此时抛物线解析式为，E（6，0），直线DE：y=-F2（3，）点F运动路径的长为，DFG为等边三角形，G运动路径的长为【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、特殊三角函数以及三角形全等的判定与性质是解题的关键10如图1，矩形OABC的顶点A的坐标为（4,0），O为坐标原点，点B在第一象限，连接AC， tanACO=2，D是BC的中点，（1

30、）求点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM=OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交 轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F.将DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时点P的坐标； 以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动的路径的长.【答案】（1）D（2,2）；（2）P（0,0）；【分析】（1）根据三角函数求出OC的长度，再根据中点的性质求出CD的长度，即可求出D点的坐标；（2）证明在该种情况下DE为ABC的中位线，由此可得F为AB的中点，结合三角形全等即可求得E点坐标，

31、结合二次函数的性质可设二次函数表达式（此表达式为交点式的变形，利用了二次函数的平移的特点），将E点代入即可求得二次函数的表达式，根据表达式的特征可知P点坐标；可得G点的运动轨迹为，证明DFFFGG，可得GGFF，求得P点运动到M点时的解析式即可求出F的坐标，结合可求得FF即GG的长度.【详解】解：（1）四边形OABC为矩形，BC=OA=4，AOC=90，在RtACO中，tanACO=2，OC=2，又D为CB中点，CD=2，D（2,2）；（2）如下图所示，若点B恰好落在AC上的时,根据折叠的性质,D为BC的中点，CD=BD,，,DF为ABC的中位线，AF=BF,四边形ABCD为矩形ABC=BAE

32、=90在BDF和AEF中， BDFAEF，AE=BD=2,E(6,0),设，将E（6,0）带入，8a+2=0 a=，则二次函数解析式为，此时P（0,0）；如图，当动点P从点O运动到点M时，点F运动到点F，点G也随之运动到G连接GG当点P向点M运动时，抛物线开口变大，F点向上线性移动，所以G也是线性移动 OM=OC=,当P点运动到M点时，设此时二次函数表达式为，将代入得，解得，所以抛物线解析式为，整理得.当y=0时，解得x=8（已舍去负值），所以此时，设此时直线 的解析式为y=kx+b，将D（2,2），E（8,0）代入解得，所以，当x=4时，所以,由得，所以,DFG、DFG为等边三角形，GDFG

33、DF60，DGDF，DGDF，GDFGDFGDFGDF，即GDGFDF，在DFF与FGG中，DFFFGG（SAS），GGFF，即G运动路径的长为【点睛】本题考查二次函数综合，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，一次函数的应用，折叠问题.（1）中能根据正切求得OC的长度是解决此问的关键；（2）熟练掌握折叠前后对应边相等，对应角相等是解题关键；中能通过分析得出G点的运动轨迹为线段GG,它的长度等于FF，是解题关键.11（20202021辽宁和平九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过，两点，连接，（1）求抛物线表达式；（2）点是第三象限内的一个动点，若与全等

34、，请直接写出点坐标_；（3）若点从点出发沿线段向点作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段上另一个点从点出发沿线段向点作匀速运动，速度为每秒2个单位长度(当点到达点时，点也同时停止运动)过点作轴的垂线，与直线交于点，延长到点，使得，以为边，在左侧作等边三角形(当点运动时，点、点也随之运动)过点作轴的垂线，与直线交于点，延长到点，使得，以为边，在的右侧作等边三角形(当点运动时，点、点也随之运动)当点运动秒时，有一条边所在直线恰好过的重心，直接写出此刻的值_【答案】（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）将A、B两点坐标代入解析式，可求得；（2）存在2种情况，一种是AOBAOC，则点B与点C关

35、于x轴对称，可求得C点坐标；另一种是AOBOAC，则OCAB，ACBO，联立直线AC和OC的解析式，可求得点C的坐标；（3）有2大类情况，一种是点D在点H的左侧，还有一种是点D在点H的右侧，画图可得出只有点D在点H的左侧有可能又分为3种情况，一种是DF过HMN的重心，第二种是GF过HMN的重心，第三种是GD过HMN的重心【详解】（1）抛物线过点A(5，0)，B(，)，解得：，抛物线解析式为：；（2）情况一：AOBAOC，图形如下从图形易知，点C与点B关于x轴对称B(，)，C(，)；情况二：AOBOBC，图形如下BAO=AOC，BOA=CAOABCO，BOACA(5，0)，B(，)直线AB的解析

36、式为：y=直线OB的解析式为：y=OC的解析式为：y=AC的解析式设为：y=，将点A代入得：y=联立OC和AC的解析，解得：x=，y=C(，)；（3）当点D在点H的左侧时，即53t，t时，图形如下根据题意可知D(t，0)，H(2t5，0)OB的解析式为：y=E(t，)，F(t，)，L(2t5，)，M(2t5，)MH=，HD=53t，FD=GFD是等边三角形，易知FDMH，FGHN，GDMN情况一：当DF过MHN的重心时，图形如下，连接LN，交FD于点O则点O为MHN的重心ON：OL=2：1，OL=HMN是等边三角形NL=MH=5tOL=HD=53t53t=解得：t=(成立)；情况二：FG过HM

37、N的重心，如下图，GF交HM于点P，过点P作FD的垂线，交FD于点Q，过点M作HN的垂线，交GF于点O，交HN于点R则点O为HNM的中线，MO：OR=2:1易知MOPMRH，MP：PH=2:1PH=由题意可知，PQ=HD=53t，FPQ=30在RtFPQ中，FQ=QD=FDFQ=PH=QD=解得：t=(成立)；情况三：DG过MHN的重心，如下图，HN与GD交于点S，过点S作x轴的垂线，交x轴于点T易知SDH=SHD=30，HSD=120，HD=53t则在RtSHR中，HT=，ST=，SH=同理：SH=t=5(舍)综上得：t=或t=【点睛】本题考查二次函数的综合，注意第（2）、（3）问都存在多种情况，第（3）问解题关键是利用重心的性质，即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，从而转化为边长之比进行求解