专题24正弦定理和余弦定理-2021年新高考数学基础考点一轮复习.docx

1、专题24 正弦定理和余弦定理【考点总结】1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C；abcsin_Asin_Bsin_C；cos A；cos B；cos C2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)(2)Sbcsin Aacsin_Babsin C.(3)Sr(ab

2、c)(r为三角形的内切圆半径)【常用结论】1三角形内角和定理在ABC中，ABC；变形：.2三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sin cos ；(4)cos sin .3三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos AacosB【易错总结】(1)利用正弦定理求角时解的个数弄错；(2)在ABC中角与角的正弦关系弄错；(3)判断三角形形状时弄错例1在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是()A有一解B有两解C无解D有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得，所以sin

3、 B1.所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在例2在ABC中，若sin Asin B，则A，B的关系为_；若sin Asin B，则A，B的关系为_解析：sin Asin BabAB；sin Asin BabAB.答案：ABAB例3在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_解析：由正弦定理，得sin Acos Asin BcosB，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形答案：等腰三角形或直角三角形【考点解析】【考点】一、利用正、余弦定理求解三角形角度一求边长例1、(一题多解)在ABC中，内角A，B，C的对边a

4、，b，c成公差为2的等差数列，C120.(1)求边长a；(2)求AB边上的高CD的长【解】(1)由题意得ba2，ca4，由余弦定理cos C得cos 120，即a2a60，所以a3或a2(舍去)，所以a3.(2)法一：由(1)知a3，b5，c7，由三角形的面积公式得absin ACBcCD，所以CD，即AB边上的高CD.法二：由(1)知a3，b5，c7，由正弦定理得，即sin A，在RtACD中，CDACsin A5，即AB边上的高CD.角度二求角度例2、(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C(1)求A；(

5、2)若ab2c，求sin C.【解】(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).由于0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程

6、，通过解方程求得未知元素(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系(3)涉及最值问题时，常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解 【变式】1(2020安徽安庆二模)若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2Aasin B，且c2b，则等于()A.BC. D解析：选D.由bsin 2Aasin B，及正弦定理得2sin Bsin Acos Asin Asin B，得cos A.又c2b，所以由余弦定理得a2b2c22bccos Ab24b24b23b2，得.

7、故选D.【变式】2(2020湖南郴州一模)在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c2bca2，bca2，则角C的大小是()A.或 BC. D解析：选A.由b2c2bca2，得b2c2a2bc，则cos A，则A，由bca2，得sin Bsin Csin2A，即4sin(CA)sin C，即4sin(CA)sin C4sinsin C，即4sin C2sin2C2sin Ccos C，即(1cos 2C)sin 2Ccos 2Csin 2C，则 cos 2Csin 2C0，则cos 2Csin 2C，则tan 2C，即2C或，即C或，故选A.【考点】二、判断三角形的形状例(2

8、020重庆六校联考)在ABC中，cos2 (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A直角三角形B等边三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形【解析】已知等式变形得cos B11，即cos B.由余弦定理得cos B，代入得，整理得b2a2c2，即C为直角，则ABC为直角三角形【答案】A【迁移探究1】(变条件)将“cos2”改为“cacos B(2ab)cos A”，试判断ABC的形状解：因为cacos B(2ab)cos A，C(AB)，所以由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以sin Acos Bcos Asin B

9、sin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以cos A(sin Bsin A)0，所以cos A0或sin Bsin A，所以A或BA或BA(舍去)，所以ABC为等腰或直角三角形【迁移探究2】(变条件)将“cos2”改为“，(bca)(bca)3bc”，试判断ABC的形状解：因为，所以，所以bc.又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，)，所以A，所以ABC是等边三角形(1)判定三角形形状的2种常用途径(2)判定三角形形状的3个注意点“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三

10、角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别 【变式】(2020河南洛阳一模)在ABC中，已知2acos Bc, sin Asin B(2cos C)sin2，则ABC为()A等边三角形B等腰直角三角形C锐角非等边三角形D钝角三角形解析：选B.将已知等式2acos Bc利用正弦定理化简得2sin Acos Bsin C，因为sin Csinsin Acos Bcos Asin B，所以2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，即sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)0，因为A与B都为ABC的内角，所

11、以AB0，即AB.因为sin Asin B(2cos C)sin2，所以sin Asin B(2cos C)(1cos C)1cos C，所以(2cos C)1cos C，所以(cos C1)(2cos C)1cos C，即(cos C1)(2cos C)2cos C，整理得cos2C2cos C0，即cos C(cos C2)0，所以cos C0或cos C2(舍去)，所以C90，则ABC为等腰直角三角形，故选B.【考点】三、与三角形面积有关的问题例1、(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin bsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c

12、1，求ABC面积的取值范围【解】(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0，所以sinsinB由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，故sin，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC0，所以sin B2cos B，所以2sin2，所以sin1，因为B(0，)，所以B，解得B.(2)由题意，可得SACDCDCAsinACD24sinACD，解得sinACD.又因为ACD为锐角三角形，所以cosACD，在ACD中，由余弦定理得AD2CA2CD22CACDcosACD422222416，所以AD4，在ACD中，由正弦定理得，则sin AsinACD，在ABC中，由正弦定理得，所以BC.