专题24.12 求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型（沪科版）（解析版）.docx

1、专题24.12 求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型【沪科版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对求与圆有关的阴影部分的面积的技巧五大题型的理解！【题型1 直接法】1（2023山西忻州校联考模拟预测）如图，ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，以点A为圆心，AD长为半径画弧分别交AB，AC于点E，F，过点E作EGAC于点G，交AD于点H，若AB=6，则图中阴影部分的面积为（）A92-932B94-934C9-932D92-934【答案】A【分析】根据等边三角形的性质得BAC=60，AB=AC=BC=6，再利用AD是BC边上的中线得到ADBC，

2、BAD=CAD=30，BD=CD=3，则AD=33，易证得AEF是等边三角形，H是等边三角形AEF重心，然后根据扇形面积公式，用一个扇形的面积减去23AEF的面积可得到图中阴影部分的面积【详解】解：ABC为等边三角形，BAC=60，AB=AC=BC=6，AD是BC边上的中线，ADBC，BAD=CAD=30，BD=CD=3，AD=33，AE=AF=AD=33，AEF是等边三角形，EGAC于点G，EG是AEF的角平分线，EG=32AE=92，H是AEF是重心，SAEF=12AFEG=123392=2734，图中阴影部分的面积=60332360-232734=92-932故选：A【点睛】本题考查了扇

3、形面积的计算：阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积也考查了等边三角形的性质2（2023云南临沧统考三模）如图，正五边形ABCDE内接于O，其半径为1，作OFBC交O于点F，则图中阴影部分的面积为（）A3B25C310D35【答案】C【分析】连接OA、OB、OC，求出AOF，再利用扇形公式进行计算【详解】解：连接OA、OB、OC，正五边形ABCDE，AOB=BOC=3605=72，OB=OC， OFBC，BOF=12BOC=36，AOF=108，S=108360=310，故选：C【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握扇形面积公式和

4、求出AC所对的圆心角度数是解题的关键3（2023春云南德宏九年级统考期中）如图，在ABC中，A=80，O是ABC的内切圆，连接OB、OC，交O于点D、E，已知OD=3，则图中阴影部分的面积是（）A4B134C3D154【答案】B【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，求得圆心角DOE的度数，然后根据扇形的面积公式即可解答【详解】解：A=80，O是ABC的内切圆，OB，OC分别平分ABC和ACB，DOE=180-12ABC+ACB=180-12180-A=130，SDOE=13032360=134cm2故选：B【点睛】本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题

5、的关键4（2023春安徽合肥九年级校考开学考试）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为12，则正六边形的边长为（）A3B9C32D18【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可【详解】解：正六边形的内角是6-21806=120，阴影部分的面积为12，设正六边形的边长为r，120r23602=12，解得r=32则正六边形的边长为32故选：C【点睛】本题考查了扇形面积的计算本题的关键是根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角5（2023吉林长春吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在RtABC中，BAC=90

6、，BC=6，点D是BC的中点，将AD绕点A按逆时针方向旋转90得AD那么图中阴影部分的面积为 【答案】94【分析】先根据直角三角形的性质求出AD的长，再由扇形的面积公式即可得出结论【详解】解：在RtABC中，BAC=90，BC=6，点D是BC的中点，AD=12BC=3，S扇形ADD=9032360=94， 故答案为：94【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键6（2023春河南南阳九年级淅川县第一初级中学校联考期中）如图，在半径为43的扇形OAB中，AOB=90，D为OB的中点，过点D作DEOA交AB于点E，连接OE，则图中阴影部分的面积为 【答案】4【分析】解直

7、角三角形求得DEO=30，根据平行线的性质得到AOE=DEO=30，然后利用扇形的面积公式计算即可【详解】解：DEOA，AOB=90，ODE=90，OE=OB，D为OB的中点，OE=2OD，DEO=30，AOE=DEO=30，阴影部分的面积为30432360=4故答案为：4【点睛】本题考查了平行线的性质，扇形面积的计算，求得AOE=30是解题的关键7（2023河北石家庄统考二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则：（1）图中阴影部分的面积为 ；（2）直线DF与圆A的位置关系是 .【答案】 12 相切【分析】（1）根据正多边形内角和公式求出FAB，利用扇

8、形面积公式求出阴影部分的面积即可；（2）连接DF，由六边形ABCDEF是正六边形得到AFE=FED=120，EF=DE，则 EFD=EDF=12180-FED=30，则AFD=90，即AFDF，即可得到结论.【详解】（1）解：六边形ABCDEF是正六边形，FAB=6-21806=120，AB=6，阴影部分的面积=12062360=12，故答案为：12（2）连接DF，六边形ABCDEF是正六边形，AFE=FED=6-21806=120，EF=DE，EFD=EDF=12180-FED=30，AFD=AFE-EFD=120-30=90，AFDF，AF是圆A的半径，DF是圆A的切线，直线DF与圆A的位

9、置关系是相切故答案为：相切【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算、切线的判定定理等知识，掌握扇形面积公式和切线的判定定理是解题的关键8（2023安徽池州校联考一模）如图，A=90，O与A的一边相切于点P，与另一边相交于B，C两点，且AB=1，BC=2，则扇形BC的面积为 【答案】23【分析】连接OP，过O点作OEBC于点E，作BFOP于点F，利用垂径定理的内容得出BE=CE=12BC=1，再证明四边形OEBF、四边形PABF是矩形，即有OP=PF+OF=2，进而有OP=OB=OC=2，从而得出OBC是等边三角形，即BOC=60，利用扇形面积公式求出即可【详解】连接OP，过O点作OEBC

10、于点E，作BFOP于点F，如图，OEBC，BC=2，BE=CE=12BC=1，O与A的一边相切于点P，APPO，OEBC，BFOP，A=90，可得四边形OEBF、四边形PABF是矩形，AB=1，BC=2，AB=1=PF，BE=OF=1，OP=PF+OF=2，OP=OB=OC=2，OBC是等边三角形，BOC=60，S扇形BOC=60360OP2=23，故答案为：23【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定方法以及扇形的面积求法等知识，利用已知得出OP=PF+OF=2是解决问题的关键.【题型2 和差法】1（2023秋云南昆明九年级昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）如图，点D在

11、O的直径AB上，DE弦BC于点E，点F为AB延长线上一点，BDE=BCF(1)求证：CF是O的切线；(2)若F=BDE，BF=3，求阴影部分的面积【答案】(1)见解析(2)93-32【分析】（1）根据等腰三角形的性质，垂直的定义以及三角形内角和定理得出OCF是直角即可；（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及切线的性质可得出OCB=60，进而求出扇形OBC所对应的圆心角的度数以及半径，再由S阴影部分=SOCF-S扇形OBC进行计算即可【详解】（1）证明：如图，连接OC，OB=OC，OBC=OCB，DEBC，DEB=90，BDE+DBE=90，又BDE=BCF，OCB+BCF=90，即O

12、CCF，OC是半径，CF是O的切线；（2）解：F=BDE，BCF=BDE，F=BCF，OBC=OCB=F+BCF，OCB=2BCF，OCF=90，OCB=23OCF=60，OB=OC，BOC是等边三角形，BOC=60，OB=OC=BC=BF=3，在RtCOF中，OC=3，OF=OB+BF=6，FC=OF2-OC2=33，S阴影部分=SOCF-S扇形OBC=12333-6032360=932-32=93-32【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提2（2023秋陕西安康九年级统考期末）如图，

13、已知点D为等腰RtABC的斜边AC的中点，连接BD，以点B为圆心，BD为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F，若AB=22，请求出图中阴影部分的面积（结果保留）【答案】4-【分析】先求解BC=AB=22，AC=4，可得SABC=4，证明BD=12AC=2，再求解扇形面积，从而利用面积之差可得答案【详解】解：在等腰RtABC中，AB=22，BC=AB=22，AC=4，SABC=122222=4点D为AC的中点，BD=12AC=2，S扇形BEF=9036022=，S阴影=SABC-S扇形BEF=4-【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算，熟练的利用割补法求解阴影部

14、分的面积是解本题的关键3（2023福建福州校考三模）如图，AB是O的直径，点D在O上，DAB=45，DCAB，BCAD(1)求证：CD为O的切线；(2)若O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留）【答案】(1)见解析(2)32-4【分析】（1）连接OD，易知DAB=ADO=45，进而可知DOB=90，由CDAB可知ODC=90，即可证明结论；（2）根据已知条件证明四边形ABCD是平行四边形，再利用阴影部分的面积S=S梯形OBCD-S扇形OBD即可求解【详解】（1）解：连接OD，OA=OD，DAB=45，DAB=ADO=45，DOB=90，CDAB，ODC=90，即半径ODCD于D，CD为圆

15、O的切线；（2）O的半径为1，AB=2，BCAD，CDAB，四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=2，S梯形OBCD=OB+CDOD2=1+212=32，图中阴影部分的面积S=S梯形OBCD-S扇形OBD=32-9012360=32-4【点睛】题考查了切线的证明，求扇形面积，平行四边形的性质与判定，求得扇形BOD的圆心角度数是解题的关键4（2023河北唐山统考模拟预测）如图，把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在一起，且AOB=COD，连接AC(1)求证：AOCBOD；(2)若OA=5cm,OC=3cm，弧AB的长为3cm，弧CD的长为1.8cm，求阴影部分的面积；(3)在（2）的条件

16、下求由扇形OAB围成的圆锥的高【答案】(1)见解析(2)245cm2(3)912cm【分析】（1）先证得AOC=BOD，即可利用SAS证明AOCBOD；（2）根据S阴影=S扇形AOB+SAOC-S扇形COD-SBOD =S扇形AOB-S扇形COD代入计算即可；（3）求出圆锥底面圆的半径长，利用勾股定理求出圆锥的高【详解】（1）证明：COD=AOB，AOC+AOD=AOD+BOD，AOC=BOD，在AOC和BOD中，OC=ODAOC=BODOA=OB，AOCBODSAS；（2）S阴影=S扇形AOB+SAOC-S扇形COD-SBOD=S扇形AOB-S扇形COD=1253-1231.8=245答：阴

17、影部分的面积是245cm2（3）圆锥底面圆的半径为32=1.5cm，母线长为5cm，圆锥的高=52-1.52=912cm【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和扇形的面积，勾股定理， 正确掌握扇形的面积公式是解题的关键5（2023秋安徽芜湖九年级统考期末）如图1，四边形ABCD内接于O，AD为直径，过点C作CEAB于点E，连接AC(1)求证：CAD=ECB；(2)如图2若CE是O的切线，CAD=30，连接OC如图2，当AB=2时，求图中阴影部分面积【答案】(1)证明见解析(2)S阴影=3+23【分析】（1）先判断出CBE=D，再用等角的余角相等，即可得出结论；（2）先判断出OCAB，再判断出B

18、COA，进而得出四边形ABCO是菱形，求出AC，BC，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案【详解】（1）证明：四边形ABCD是O的内接四边形，CBE=D，AD为O的直径，ACD=90，D+CAD=90，CBE+CAD=90，CEAB，CBE+BCE=90，CAD=BCE；（2）解：CAD=30，COD=2CAD=60，CE是O的切线，OCCE，CEAB，OCAB，DAB=COD=60，由（1）知，CBE+CAD=90，CBE=90-CAD=60=DAB，BCOA，四边形ABCO是平行四边形，OA=OC，ABCO是菱形；OA=OC=AB=2，AD=2OA=4，在RtACD中，CAD=

19、30，CD=2，AC=23，S阴影=SAOC+S扇形COD=1212223+6022360=3+23【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的判定、扇形的面积公式，判断出BCOA是解本题的关键6（2023秋浙江金华九年级统考期末）如图，AB是O的直径，BC与O相切，切点为B，AC与O相交于点D，点E是AD上任一点(1)求证：BED=DBC(2)已知AD=CD=3，求阴影部分的面积（结果保留）【答案】(1)见解析(2)9-188【分析】(1)利用圆周角定理得到A+ABD=90，再根据切线的性质得DBC+ABD=90，再根据圆周角定理可证得结论；(2)连接OD，首先利用直角三角形斜边上的中线性质得到B

20、D=AD=CD=3，可证得ABD为等腰直角三角形，根据勾股定理可求得AB=32，A=45，再利用圆周角定理可得到BOD=90，然后根据扇形面积公式，利用S阴=S扇形BOD-SRtBOD进行计算即可求解【详解】（1）证明：AB是O的直径，ADB=90，A+ABD=90，BC与O相切，切点为B，ABBC，ABC=90，DBC+ABD=90，A=DBC，A=BED，BED=DBC；（2）解：如图：连接OD，AD=CD=3，BD是RtABC斜边上的中线，BD=AD=CD=3，又ADB=90，ABD为等腰直角三角形，AB=AB2+BD2=32+32=32，A=45，BOD=2A=90，OB=12AB=3

21、22，S阴=S扇形BOD-SRtBOD=90OB2360-12OBOD=903222360-123222=9-188故阴影部分的面积为9-188【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式，得到ABD为等腰直角三角形是解决本题的关键7（2023秋浙江九年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，点P在BC上，以点C为圆心，PC为半径画弧交边AC于点D，以点B为圆心，PB为半径画弧交边AB于点E设PB=x，图中阴影部分的面积为y（取3）(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围(2)当点P在什么位置时，

22、y有最大值？最大值是多少？【答案】(1)y=-34x2+32x-122-2x2；(2)当PB=1时，即为BC的中点，y有最大值，最大值为1【分析】（1）利用扇形面积以及等腰直角三角形的性质得出面积即可，利用三角形边长得出自变量x的取值范围；（2）利用（1）中所求求出面积最值即可【详解】（1）解：（1）AB=AC=2，BC=2，设PB=x，PC=2-x，y=1222-45x2360-452-x2360=1-x26-2-x26=1-2-2x+x24-34x2+32x-12以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E，CP=2-x，BP=x，则02-x20x2，2-2x2；（2）解：y=-34x2+32x

23、-12=-34x-12+14，当x=1时，y最大=14，当PB=1时，即为BC的中点，y有最大值，最大值为1【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及扇形面积求法和二次函数的最值求法，根据已知得出y与x的函数关系是解题关键8（2023秋浙江九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、D三个点在O上，CD与O交于点F，连结BO并延长交边AD于点E，点E恰好是AD的中点（1）求证：BC是O的切线（2）若AE=1，BAD=75，求BE的长求阴影部分的面积【答案】（1）见解析；（2）BE=2+3，1+3-23【分析】（1）根据垂径定理可得BEAD，再结合平行四边形的性质推出BEBC，即可得证；（

24、2）由平行四边形的性质以及垂径定理可推出BAO=ABO=15，AOE=30，然后在RtAOE中分别求出AO，OE，从而得出结论；连接OD，OF，BF，然后根据S阴影=S梯形BCDE-SDOE-SDOF-S扇形BOF求解即可【详解】（1）由题意，根据垂径定理BEAD，四边形ABCD平行四边形，AD/BC，BEBC，OB为半径，BC是O的切线；（2）如图，连接AO，AD/BC，BAD=75，ABC=105，OBC=90，ABO=105-90=15，OA=OB，BAO=ABO=15，OAE=75-15=60，在RtAOE中，AOE=30，AO=2AE=2，OE=3AE=3，BO=AO=2，BE=BO

25、+OE=2+3，BE=2+3；如图，连接OD，OF，BF，由题意，ADC=105，由可知，ODE=60，DOE=30，ODF=45，OD=OF，ODF=OFD=45，DOF=90,ODF为等腰直角三角形，BOF=60，S阴影=S梯形BCDE-SDOE-SDOF-S扇形BOF，由可知，ED=AE=1，BC=AD=2，S梯形BCDE=12ED+BCBE=121+22+3=3+332，SDOE=12EDOE=1213=32，SDOF=12DOOF=1222=2，S扇形BOF=6022360=23，S阴影=3+332-32-2-23=1+3-23，阴影部分的面积S=1+3-23【点睛】本题考查证明圆的

26、切线，垂径定理，以及与扇形相关的阴影部分面积计算问题，掌握证明切线的方法，熟记扇形的面积计算是解题关键【题型3 割补法】1（2023春江苏苏州九年级苏州中学校考开学考试）如图，正方形的边AB=2，弧BD和弧AC都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（）A2-1B1-4C3-1D2-4【答案】D【分析】设弧BD和弧AC的交点为E,连接DE、AE,作EFAD.先求出SADE，再求出S扇形ADE，即可得到S拱形DE.再根据S空白ADE =S扇形ADE+S拱形AE即可得到空白ADE的面积.再根据S阴影DCE=S扇形DCE-S拱形DE即可得到得到阴影DCE的面积，再用S空白BCE=S正方形A

27、BCD-S扇形ABD-S阴影DCE即可得到空白BCE的面积，最后用S空白ADE-S空白BCE即可得到图中空白两部分的面积之差.【详解】设弧BD和弧AC的交点为E,连接DE、AE,则ADE是等边三角形作EFAD，则DF=1,DE=2EF=22-12=3SADE=1223=3S扇形ADE=6036022=23S拱形DE=23-3S拱形AE=23-3S空白ADE =S扇形ADE+S拱形AE=23+(23-3)=43-3S阴影DCE=S扇形DCE-S拱形DE=3036022-(23-3)=3-3S空白BCE=S正方形ABCD-S扇形ABD-S阴影DCE=22-1422-(3-3)=4-23-3S空白A

28、DE-S空白BCE=43-3-(4-23-3)=2-4故选：D【点睛】本题主要考查了圆中求不规则图形的面积，熟练掌握扇形的面积公式及拱形面积的计算方法是解题的关键2（2023秋江苏南通九年级统考期中）德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件，下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知AB是O的直径分别以A，B为圆心、AB长为半径作弧，两弧交于点C，D两点若设AB长为2，则图中阴影部分的面积为（）A53-23B83-23C53-3D83-43【答案】A【分析】利用作法得到BC=BA=AC=BD=AD，则ACB和ADB都是等边三角形，所以ABC=A

29、BD=60，然后根据扇形的面积公式求出扇形面积，再减去三角形的面积求出弓形的面积再减圆的面积可求出阴影的面积【详解】解：连接AC、BC、DA、DB，如图，由作法得BC=BA=AC=BD=AD=2，ACB和ADB都是等边三角形，ABC=ABD=60，CAD=120，S扇形CAD =12022360=43SCAD =2312=3S阴影 =2（S扇形CAD - SCAD -12S圆）=2（43-3-12 ）=83-23-=53-23故选A【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合

30、几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了扇形的面积公式3（2023秋贵州黔西九年级校考期中）如图，有一圆形纸片圆心为O，直径AB的长为2，BC/AD，将纸片沿BC、AD折叠，交于点O，那么阴影部分面积为（）A23-12B3+34C2-32D23-32【答案】D【分析】如图，过点O作OGBC于G，延长交O于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，由折叠得OG=GE=12，利用OC=1，求出OCG=30，CG=OC2-OG2=32，得到BC=2CG=3，BOC=120，同理：AD=3，证明BOGAOH，推出OG=OH，得到弓形BC与弓形AD的面积相等，利用阴影的面积=2（S

31、扇形BOC-SBOC）代入数值计算即可【详解】如图，过点O作OGBC于G，延长交O于E，反向延长GO交AD于H，连接OC、OD，由折叠得OG=GE，OGBC，OGC=90，CG=BG，OG=12OE=12，OC=1，OCG=30，CG=OC2-OG2=32，BC=2CG=3，BOC=120，同理：AD=3，ADBC，OBC=OAD，OHAD，OA=OB，BOGAOH，OG=OH，弓形BC与弓形AD的面积相等，阴影的面积=2（S扇形BOC-SBOC）=2(12012360-12312)=23-32，故选：D【点睛】此题考查折叠的性质，同圆的半径相等，垂径定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，

32、平行线的性质，扇形面积计算公式，全等三角形的判定及性质，熟记各部分知识并综合运用是解题的关键4（2023秋全国九年级专题练习）如图，在扇形AOB中，AOB=90，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D点E为弧AB的中点，连接CE、DE若OA=4，则阴影部分的面积为 【答案】+22/22+【分析】连接CD，OE，OE交CD于J，如图所示，证明CDOE，求出四边形OCED的面积，进而得到阴影部分BDE面积和阴影部分CDE面积，求和即可解决问题【详解】解：连接CD，OE，OE交CD于J，如图所示：由点C为半径OA的中点可知OC=AC，由圆的性质可知OD=OC,OB=O

33、A，即OD=DB，点E为弧AB的中点，即AE=EB，AOE=BOE，在等腰RtCOD中，OD=OC，COD=90，由等腰三角形“三线合一”可知CDOE， OA=4，点C为半径OA的中点，OC=AC=OD=12OA=2，在等腰RtCOD中，COD=90，CD=OC2+OD2=22+22=22，CJ=OJ=JD=2，S四边形OCED=12CDOE=42，则S阴影CDE=S四边形OCED-S扇形COD=42-1422=42-；由圆的对称性可知，ACE面积等于阴影部分BDE，S阴影BDE=12S扇形AOB-S四边形OCED=121442-42=2-22，S阴影=42-+2-22=+22，故答案为：+2

34、2【点睛】本题考查扇形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，从图中将不规则图形转化为规则图形的面积来表示5（2023秋重庆武隆九年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，以A为圆心AD为半径作弧与BC交于点E，再以C为圆心，CD为半径作弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 【答案】4-32-712【分析】连接AE，根据矩形的性质得出A=C=B=90，AD=BC=2，AB=CD=1，ADBC，求出DAE=AEB=30，根据勾股定理求出BE，根据图形得出阴影部分的面积S=（S矩形ABCD-S扇形DAE-SABE）+（S矩形ABCD-S扇形DCF），再求出答案即可【详解】

35、解：如图，连接AE，则AD=AE=2，四边形ABCD是矩形，AB=1，A=C=B=90，AD=BC=2，AB=CD=1，ADBC，AB=12AE，AEB=30，ADBC，DAE=AEB=30，由勾股定理得：BE=AE2-AB2=22-12=3，阴影部分的面积S=（S矩形ABCD-S扇形DAE-SABE）+（S矩形ABCD-S扇形DCF）=（12- 3022360-1213）+（12-9012360）=4-32-712；故答案为：4-32-712【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理和扇形面积的计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是n，半径是r

36、，那么这个扇形的面积=nr23606（2023重庆巴南统考一模）如图，在RtACB中，ACB=90，B=30，BC=43，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点D，E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交AE于点G，则图中阴影部分的面积为 【答案】4-43【分析】连接CG,EG，则阴影部分的面积为S扇形CEG-SCEG+S扇形DCG，计算即可.【详解】如图，连接CG,EG， ACB=90，B=30，BC=43，AC=CG=CD=CE=EG=4，A=60，ACD是等边三角形，CEG是等边三角形，GCD=DCE =30，GCE=60，阴影部分的面积为：S扇形CEG-S

37、CEG+S扇形DCG=6042360-124432+3042360=4-43.故答案为：4-43.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，拱形的面积，熟练运用扇形的面积公式，正确进行图形面积的分割是解题的关键.7（2023秋浙江九年级期中）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”（1）如图1，AB是O的一条弦（非直径），若在O上找一点C，使得ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_个（2）如图2，四边形ABCD是O的内接四边形，连结对角线BD，ABD和BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD当A=140时，求BDC的度数；如图3，当A=120，AB=3时，求阴影部分的面积【答案】（1）4个；（2）40或70或100；3-934【分析】(1)根据等腰三角形的画法画图即可判断；(2) 求出C的度数，再分类讨论，求BCD即可；连结OA、OB、OC，得出BCD是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形面积即可